Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Mặt phẳng số phức Phần 1複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん） 第（だい）1部（ぶ）

Công thức公式

\overline{\overline{\alpha}}=\alpha
\overline{\alpha+\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta}
\overline{\alpha-\beta}=\overline{\alpha}-\overline{\beta}
\overline{\alpha\beta}=\overline{\alpha}\overline{\beta}

Ví dụ例題

Cho hai số phức \(\alpha\) và \(\beta\). Hãy tìm biểu thức biểu diễn số phức liên hợp của \(\alpha\) \(\beta\) - (\(\alpha\) + \(\beta\)) theo \(\overline{\alpha}\) và \(\overline{\beta}\).

2つの複素（ふくそ）数（すう） \(\alpha\) と \(\beta\) が与（あた）えられています。\(\alpha\) \(\beta\) - (\(\alpha\) + \(\beta\)) の共役（きょうやく）複素（ふくそ）数（すう）を \(\overline{\alpha}\) と \(\overline{\beta}\) を用（もち）いて表（あらわ）しなさい。

  1. Áp dụng công thức liên hợp của hiệu: \(\overline{\alpha \beta - (\alpha + \beta)}\) = \(\overline{\alpha \beta}\) - \(\overline{\alpha + \beta}\).差（さ）の共役（きょうやく）公式（こうしき）を適用（てきよう）します: \(\overline{\alpha \beta - (\alpha + \beta)}\) = \(\overline{\alpha \beta}\) - \(\overline{\alpha + \beta}\)。
  2. Áp dụng công thức liên hợp của tích và tổng: \(\overline{\alpha \beta}\) = \(\overline{\alpha}\)\(\overline{\beta}\) và \(\overline{\alpha + \beta}\) = \(\overline{\alpha}\) + \(\overline{\beta}\).積（せき）と和（わ）の共役（きょうやく）公式（こうしき）を適用（てきよう）します: \(\overline{\alpha \beta}\) = \(\overline{\alpha}\)\(\overline{\beta}\) および \(\overline{\alpha + \beta}\) = \(\overline{\alpha}\) + \(\overline{\beta}\)。
  3. Thay thế vào biểu thức ta được: \(\overline{\alpha}\)\(\overline{\beta}\) - (\(\overline{\alpha}\) + \(\overline{\beta}\)).式（しき）に代入（だいにゅう）すると \(\overline{\alpha}\)\(\overline{\beta}\) - (\(\overline{\alpha}\) + \(\overline{\beta}\)) が得（え）られます。
Kết quả rút gọn của biểu thức liên hợp là \(\overline{\alpha}\)\(\overline{\beta}\) - \(\overline{\alpha}\) - \(\overline{\beta}\).共役（きょうやく）複素（ふくそ）数（すう）の整理（せいり）結果（けっか）は \(\overline{\alpha}\)\(\overline{\beta}\) - \(\overline{\alpha}\) - \(\overline{\beta}\) となります。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho số phức \(\alpha\). Biểu thức \(\overline{\overline{\alpha}}\) tương đương với giá trị nào sau đây?複素（ふくそ）数（すう） \(\alpha\) に対（たい）して、式（しき） \(\overline{\overline{\alpha}}\) は次（つぎ）のうちどれと等（ひと）しいですか。

2. Cho hai số phức \(\alpha\) và \(\beta\). Biểu thức liên hợp của tổng \(\overline{\alpha+\beta}\) bằng biểu thức nào sau đây?2つの複素（ふくそ）数（すう） \(\alpha\) と \(\beta\) について、和（わ）の共役（きょうやく） \(\overline{\alpha+\beta}\) と等（ひと）しい式（しき）はどれですか。

3. Cho hai số phức \(\alpha\) và \(\beta\). Biểu thức \(\overline{\alpha\beta}\) bằng biểu thức nào dưới đây?2つの複素（ふくそ）数（すう） \(\alpha\) と \(\beta\) について、式（しき） \(\overline{\alpha\beta}\) と等（ひと）しいものはどれですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.14.2 · MATH.15.1 · MATH.15.2 · MATH.15.3. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.14.2 · MATH.15.1 · MATH.15.2 · MATH.15.3。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nắm vững định nghĩa và tính chất của số phức liên hợp, giá trị tuyệt đối và dạng lượng giác.共役（きょうやく）な複素（ふくそ）数（すう）、複素（ふくそ）数（すう）の絶対（ぜったい）値（ち）、複素（ふくそ）数（すう）の極（ごく）形式（けいしき）の定義（ていぎ）と性質（せいしつ）を理解（りかい）する。
  2. Áp dụng các công thức liên hợp của tổng, hiệu và tích để thực hiện phép biến đổi đại số số phức.和（わ）・差（さ）・積（せき）の共役（きょうやく）公式（こうしき）を適用（てきよう）して、複素（ふくそ）数（すう）の代数（だいすう）変形（へんけい）を行（おこな）う。
Trực giác · イメージ

Trực giác về số phức liên hợp trên mặt phẳng số phức複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）における共役（きょうやく）複素（ふくそ）数（すう）の直感（ちょっかん）

Số phức liên hợp biểu diễn điểm đối xứng qua trục thực trên mặt phẳng số phức. Phép lấy liên hợp hai lần trả về số phức ban đầu, và lấy liên hợp của tổng, hiệu, tích tương ứng bằng tổng, hiệu, tích các liên hợp.

共役（きょうやく）な複素（ふくそ）数（すう）は複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）で実（じつ）軸（じく）に関（かん）して対称（たいしょう）な点（てん）を表（あらわ）します。2回（かい）共役（きょうやく）をとると元（もと）の複素（ふくそ）数（すう）に戻（もど）り、和（わ）・差（さ）・積（せき）の共役（きょうやく）はそれぞれの共役（きょうやく）の和（わ）・差（さ）・積（せき）に一致（いっち）します。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 共役（きょうやく）な複素（ふくそ）数（すう）Số phức liên hợp

    Số phức liên hợp của \(\alpha\) có phần thực giữ nguyên và phần ảo đổi dấu, kí hiệu là \(\overline{\alpha}\).

    複素（ふくそ）数（すう） \(\alpha\) の共役（きょうやく）な複素（ふくそ）数（すう）は、実部（じつぶ）が等（ひと）しく虚部（きょぶ）の符号（ふごう）が逆（ぎゃく）の複素（ふくそ）数（すう）であり、\(\overline{\alpha}\) で表（あらわ）されます。

  • 複素（ふくそ）数（すう）の絶対（ぜったい）値（ち）Giá trị tuyệt đối của số phức

    Giá trị tuyệt đối của số phức là khoảng cách từ điểm biểu diễn số phức đó đến gốc tọa độ.

    複素（ふくそ）数（すう）の絶対（ぜったい）値（ち）とは、複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）においてその複素（ふくそ）数（すう）を表（あらわ）す点（てん）と原点（げんてん）との距離（きょり）のことです。

  • 複素（ふくそ）数（すう）の極（ごく）形式（けいしき）Dạng lượng giác của số phức

    Dạng lượng giác của số phức biểu diễn số phức thông qua khoảng cách đến gốc tọa độ và góc quay.

    複素（ふくそ）数（すう）の極（ごく）形式（けいしき）とは、原点（げんてん）からの距離（きょり）と回転（かいてん）角（かく）を用（もち）いて複素（ふくそ）数（すう）を表現（ひょうげん）する形式（けいしき）のことです。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1: 複素（ふくそ）数式（すうしき）と共役（きょうやく）操作（そうさ）を確認（かくにん）する

    Bước 1: Nhận diện biểu thức số phức và phép lấy liên hợp

    Xác định các số phức \(\alpha\) và \(\beta\) trong bài toán. Quan sát phép lấy liên hợp được áp dụng cho tổng, hiệu hay tích.

    問題（もんだい）における複素（ふくそ）数（すう） \(\alpha\) や \(\beta\) を確認（かくにん）します。共役（きょうやく）操作（そうさ）が和（わ）、差（さ）、積（せき）のどれに適用（てきよう）されているかを観察（かんさつ）します。

  2. 02
    ステップ2: 公式（こうしき）を用（もち）いて共役（きょうやく）を分解（ぶんかい）する

    Bước 2: Phân tách liên hợp bằng các công thức nguồn

    Áp dụng các công thức liên hợp để tách phép lấy liên hợp cho từng số phức thành phần. Nếu lấy liên hợp hai lần, áp dụng công thức \(\overline{\overline{\alpha}}\)=\(\alpha\).

    共役（きょうやく）公式（こうしき）を適用（てきよう）して、各（かく）成分（せいぶん）への共役（きょうやく）操作（そうさ）に分解（ぶんかい）します。2重（じゅう）の共役（きょうやく）の場合（ばあい）は公式（こうしき） \(\overline{\overline{\alpha}}\)=\(\alpha\) を適用（てきよう）します。

  3. 03
    ステップ3: 式（しき）を整理（せいり）して結果（けっか）を計算（けいさん）する

    Bước 3: Rút gọn và tính toán kết quả

    Sử dụng các tính chất đại số để rút gọn biểu thức về dạng đơn giản nhất. Kiểm tra lại tính chính xác của các phép biến đổi.

    代数（だいすう）的（てき）性質（せいしつ）を用（もち）いて式（しき）を最（さい）簡（かん）形（けい）に整理（せいり）します。変形（へんけい）操作（そうさ）の正確（せいかく）さを再（さい）確認（かくにん）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Cho rằng liên hợp của tích bằng tích của các số phức ban đầu mà không lấy liên hợp từng thừa số.積（せき）の共役（きょうやく）をとる際（さい）に、各（かく）因数（いんすう）の共役（きょうやく）をとらずに元（もと）の複素（ふくそ）数（すう）の積（せき）のままにしてしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Phép lấy liên hợp của tích phải được phân tách thành tích của từng số phức liên hợp theo công thức \(\overline{\alpha\beta}\)=\(\overline{\alpha}\)\(\overline{\beta}\).積（せき）の共役（きょうやく）は、公式（こうしき） \(\overline{\alpha\beta}\)=\(\overline{\alpha}\)\(\overline{\beta}\) に従（したが）って各（かく）共役（きょうやく）の積（せき）に分解（ぶんかい）しなければなりません。

Nhầm lẫn rằng \(\overline{\overline{\alpha}}\) tạo ra dấu âm -\(\alpha\).2重（じゅう）の共役（きょうやく） \(\overline{\overline{\alpha}}\) がマイナス符号（ふごう）を伴（ともな）う -\(\alpha\) になると誤解（ごかい）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Lấy liên hợp hai lần khôi phục lại số phức ban đầu, tức là \(\overline{\overline{\alpha}}\)=\(\alpha\).共役（きょうやく）を2回（かい）適用（てきよう）すると元（もと）の値（あたい）に戻（もど）るため、\(\overline{\overline{\alpha}}\)=\(\alpha\) となります。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Phép lấy liên hợp hai lần khôi phục số phức ban đầu: \(\overline{\overline{\alpha}}\)=\(\alpha\).2重（じゅう）の共役（きょうやく）操作（そうさ）は元（もと）の複素（ふくそ）数（すう）を復元（ふくげん）します: \(\overline{\overline{\alpha}}\)=\(\alpha\)。
  • Liên hợp của tổng và hiệu phân tách trực tiếp: \(\overline{\alpha\pm\beta}\)=\(\overline{\alpha}\)\(\pm\)\(\overline{\beta}\).和（わ）と差（さ）の共役（きょうやく）はそれぞれ直接（ちょくせつ）分解（ぶんかい）されます: \(\overline{\alpha\pm\beta}\)=\(\overline{\alpha}\)\(\pm\)\(\overline{\beta}\)。
  • Liên hợp của tích bằng tích hai số phức liên hợp: \(\overline{\alpha\beta}\)=\(\overline{\alpha}\)\(\overline{\beta}\).積（せき）の共役（きょうやく）はそれぞれの共役（きょうやく）複素（ふくそ）数（すう）の積（せき）に等（ひと）しくなります: \(\overline{\alpha\beta}\)=\(\overline{\alpha}\)\(\overline{\beta}\)。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\overline{\overline{\alpha}}=\alpha

Lấy số phức liên hợp hai lần liên tiếp thu được chính số phức ban đầu \(\alpha\).

複素（ふくそ）数（すう）の共役（きょうやく）を2回（かい）繰り返（くりかえ）すと、元（もと）の複素（ふくそ）数（すう） \(\alpha\) 自身（じしん）に戻（もど）ります。

\overline{\alpha+\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta}

Số phức liên hợp của một tổng bằng tổng các số phức liên hợp thành phần.

和（わ）の共役（きょうやく）複素（ふくそ）数（すう）は、それぞれの共役（きょうやく）複素（ふくそ）数（すう）の和（わ）に等（ひと）しくなります。

\overline{\alpha-\beta}=\overline{\alpha}-\overline{\beta}

Số phức liên hợp của một hiệu bằng hiệu các số phức liên hợp thành phần.

差（さ）の共役（きょうやく）複素（ふくそ）数（すう）は、それぞれの共役（きょうやく）複素（ふくそ）数（すう）の差（さ）に等（ひと）しくなります。

\overline{\alpha\beta}=\overline{\alpha}\overline{\beta}

Số phức liên hợp của một tích bằng tích các số phức liên hợp thành phần.

積（せき）の共役（きょうやく）複素（ふくそ）数（すう）は、それぞれの共役（きょうやく）複素（ふくそ）数（すう）の積（せき）に等（ひと）しくなります。

EJU 2026 · MATH.14.2 · MATH.15.1 · MATH.15.2 · MATH.15.3

Bài học giới thiệu các khái niệm cơ bản trên mặt phẳng số phức như số phức liên hợp, giá trị tuyệt đối và dạng lượng giác. Học sinh sẽ nắm vững các tính chất biến đổi của số phức liên hợp qua phép cộng, trừ và nhân.

本課（ほんか）では、複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）における共役（きょうやく）な複素（ふくそ）数（すう）、複素（ふくそ）数（すう）の絶対（ぜったい）値（ち）、複素（ふくそ）数（すう）の極（ごく）形式（けいしき）といった基本（きほん）概念（がいねん）を学（まな）びます。共役（きょうやく）複素（ふくそ）数（すう）の加減（かげん）乗算（じょうざん）に関（かん）する性質（せいしつ）と変形（へんけい）規則（きそく）をしっかりと習得（しゅうとく）します。

複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん） 第（だい）1部（ぶ）
共役な複素数複素数の絶対値複素数の極形式