Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Tổng của chuỗi vô hạn無限（むげん）級数（きゅうすう）の和（わ）

Công thức公式

S_{n} = \sum_{k=1}^{n} a_{k} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}
\sum_{n=1}^{∞} a_{n} = S
lim_{n -> ∞} S_{n} = S
\sum_{n=1}^{∞} a_{n} 収束 => lim_{n -> ∞} a_{n} = 0

Ví dụ例題

Xét chuỗi vô hạn có số hạng tổng quát an = 1/(n(n+1)). Hãy tính tổng một phần Sn và xác định tổng S của chuỗi.

一般（いっぱん）項（こう）が an = 1/(n(n+1)) で表（あらわ）される無限（むげん）級数（きゅうすう）を考（かんが）えます。部分（ぶぶん）和（わ）Snを求（もと）め、級数（きゅうすう）の和（わ）Sを決定（けってい）しなさい。

  1. Phân tích an = 1/n - 1/(n+1). Viết tổng một phần Sn = (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + ... + (1/n - 1/(n+1)).an = 1/n - 1/(n+1) と部分（ぶぶん）分数（ぶんすう）分解（ぶんかい）します。部分（ぶぶん）和（わ） Sn = (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + ... + (1/n - 1/(n+1)) を書き出（かきだ）します。
  2. Rút gọn Sn các số hạng triệt tiêu lẫn nhau, ta được Sn = 1 - 1/(n+1).隣り合（となりあ）う項（こう）が打ち消（うちけ）し合（あ）うため、Sn = 1 - 1/(n+1) に簡略（かんりゃく）化（か）されます。
  3. Tính giới hạn: lim_{n -> ∞} Sn = lim_{n -> ∞} (1 - 1/(n+1)) = 1 - 0 = 1.極限（きょくげん）を計算（けいさん）します：lim_{n -> ∞} Sn = lim_{n -> ∞} (1 - 1/(n+1)) = 1 - 0 = 1。
Vậy chuỗi vô hạn hội tụ và có tổng S = 1.したがって、この無限（むげん）級数（きゅうすう）は収束（しゅうそく）し、その和（わ）は S = 1 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho chuỗi vô hạn có số hạng tổng quát an = 2/(n(n+1)). Giá trị của tổng một phần Sn là bao nhiêu?一般（いっぱん）項（こう）が an = 2/(n(n+1)) である無限（むげん）級数（きゅうすう）において、部分（ぶぶん）和（わ）Snの値（あたい）はいくらですか。

2. Cho chuỗi vô hạn có tổng một phần Sn = (3n - 1)/(n + 2). Chuỗi vô hạn này có hội tụ không và tổng S bằng bao nhiêu?部分（ぶぶん）和（わ）が Sn = (3n - 1)/(n + 2) で表（あらわ）される無限（むげん）級数（きゅうすう）は収束（しゅうそく）しますか。また、その和（わ）Sはいくらですか。

3. Xét dãy số an có lim_{n -> ∞} an = 2. Phát biểu nào sau đây về chuỗi vô hạn ∑_{n=1}^{∞} an là đúng?lim_{n -> ∞} an = 2 である数列（すうれつ）anについて、無限（むげん）級数（きゅうすう） ∑_{n=1}^{∞} an に関（かん）する記述（きじゅつ）として正（ただ）しいものはどれですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.18.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.18.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu định nghĩa chuỗi vô hạn và cách lập tổng một phần Sn.無限（むげん）級数（きゅうすう）の定義（ていぎ）と部分（ぶぶん）和（わ）Snの求（もと）め方（かた）を理解（りかい）する。
  2. Xác định sự hội tụ hoặc phân kỳ của chuỗi dựa vào giới hạn của Sn khi n tiến tới vô cùng.nが無限（むげん）大（だい）に向（む）かうときの部分（ぶぶん）和（わ）Snの極限（きょくげん）に基（もと）づき、級数（きゅうすう）の収束（しゅうそく）または発散（はっさん）を判定（はんてい）する。
  3. Vận dụng tính chất nếu chuỗi hội tụ thì giới hạn của số hạng tổng quát an bằng 0.級数（きゅうすう）が収束（しゅうそく）するならば一般（いっぱん）項（こう）anの極限（きょくげん）が0になるという性質（せいしつ）を活用（かつよう）する。
Trực giác · イメージ

Cộng vô hạn các số thông qua giới hạn極限（きょくげん）を通（つう）じた無限（むげん）の足し算（たしざん）

Việc cộng vô hạn các số hạng không thể thực hiện trực tiếp từng số một. Thay vào đó, chúng ta cộng n số hạng đầu tiên để có tổng một phần Sn, sau đó quan sát xu hướng của Sn khi n ngày càng lớn. Nếu Sn tiến tới một số thực S xác định, số S đó chính là tổng của chuỗi vô hạn.

無限（むげん）個（こ）の項（こう）を1つずつ順番（じゅんばん）に足し合（たしあ）わせることは直接（ちょくせつ）できません。代（か）わりに、最初（さいしょ）のn項（こう）を足（た）して部分（ぶぶん）和（わ）Snを求（もと）め、nを大（おお）きくしたときのSnの挙動（きょどう）を観察（かんさつ）します。Snが一定（いってい）の実数（じっすう）Sに近（ちか）づく場合（ばあい）、そのSを無限（むげん）級数（きゅうすう）の和（わ）と呼（よ）びます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 無限（むげん）級数（きゅうすう）chuỗi vô hạn

    Chuỗi vô hạn là biểu thức biểu diễn tổng của vô hạn các số hạng a1 + a2 + ... + an + ... xếp theo thứ tự.

    無限（むげん）級数（きゅうすう）とは、項（こう）a1 + a2 + ... + an + ...を順番（じゅんばん）に無限（むげん）に足し合（たしあ）わせた式（しき）です。

  • 無限（むげん）級数（きゅうすう）の和（わ）tổng của chuỗi vô hạn

    Khi giới hạn của tổng một phần Sn khi n tiến tới vô cùng bằng S, số S được gọi là tổng của chuỗi vô hạn.

    nが無限（むげん）大（だい）に近（ちか）づくときの部分（ぶぶん）和（わ）Snの極限（きょくげん）値（ち）Sを、無限（むげん）級数（きゅうすう）の和（わ）と呼（よ）びます。

  • 部分（ぶぶん）和（わ）tổng một phần

    Tổng một phần Sn là tổng của n số hạng đầu tiên của chuỗi vô hạn, từ a1 đến an.

    部分（ぶぶん）和（わ）Snとは、無限（むげん）級数（きゅうすう）の最初（さいしょ）のn項（こう）、a1からanまでの和（わ）のことです。

  • 収束（しゅうそく）hội tụ

    Chuỗi vô hạn hội tụ nếu giới hạn của tổng một phần Sn tồn tại và là một số thực hữu hạn S.

    部分（ぶぶん）和（わ）Snの極限（きょくげん）が存在（そんざい）し、有限（ゆうげん）の実数（じっすう）Sになるとき、無限（むげん）級数（きゅうすう）は収束（しゅうそく）すると言（い）います。

  • 発散（はっさん）phân kỳ

    Chuỗi vô hạn phân kỳ nếu tổng một phần Sn không tiến tới một số thực hữu hạn nào khi n tiến tới vô cùng.

    nが無限（むげん）大（だい）に近（ちか）づくとき、部分（ぶぶん）和（わ）Snが有限（ゆうげん）の実数（じっすう）に収束（しゅうそく）しない場合（ばあい）、無限（むげん）級数（きゅうすう）は発散（はっさん）すると言（い）います。

  • 部分（ぶぶん）和（わ）tổng phần

    Tổng phần Sn phản ánh giá trị tích lũy của n số hạng đầu trước khi xét giới hạn.

    部分（ぶぶん）和（わ）Snは、極限（きょくげん）を考（かんが）える前（まえ）の最初（さいしょ）のn項（こう）の累積（るいせき）値（ち）を表（あらわ）します。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：部分（ぶぶん）和（わ）Snの公式（こうしき）を求（もと）める

    Bước 1: Tìm công thức tổng một phần Sn

    Viết tổng n số hạng đầu tiên Sn = a1 + a2 + ... + an. Biến đổi đại số để thu gọn Sn thành biểu thức phụ thuộc vào n.

    最初（さいしょ）のn項（こう）の和（わ） Sn = a1 + a2 + ... + an を書き出（かきだ）します。代数（だいすう）計算（けいさん）を行（おこな）い、Snをnの式（しき）として簡潔（かんけつ）に表（あらわ）します。

  2. 02
    ステップ2：nが無限（むげん）大（だい）のときのSnの極限（きょくげん）を計算（けいさん）する

    Bước 2: Tính giới hạn của Sn khi n tiến tới vô cùng

    Xét giới hạn lim_{n -> ∞} Sn. Xác định xem giá trị giới hạn này có phải là một số thực S duy nhất hay không.

    極限（きょくげん） lim_{n -> ∞} Sn を計算（けいさん）します。この極限（きょくげん）値（ち）が一意（いちい）の実数（じっすう）Sになるかどうかを確認（かくにん）します。

  3. 03
    ステップ3：収束（しゅうそく）または発散（はっさん）を結論（けつろん）付（つ）ける

    Bước 3: Kết luận sự hội tụ hoặc phân kỳ

    Nếu giới hạn bằng S thì chuỗi hội tụ và có tổng là S. Nếu giới hạn không tồn tại hoặc bằng vô cực thì chuỗi phân kỳ.

    極限（きょくげん）がSとなる場合（ばあい）、級数（きゅうすう）は収束（しゅうそく）しその和（わ）はSです。極限（きょくげん）が存在（そんざい）しないか無限（むげん）大（だい）になる場合（ばあい）、級数（きゅうすう）は発散（はっさん）します。

  4. 04
    ステップ4：必要（ひつよう）条件（じょうけん） lim_{n -> ∞} an = 0 を確認（かくにん）する

    Bước 4: Kiểm tra điều kiện cần lim_{n -> ∞} an = 0

    Nếu lim_{n -> ∞} an khác 0 thì chuỗi chắc chắn phân kỳ. Điều này giúp loại trừ nhanh các chuỗi không hội tụ.

    lim_{n -> ∞} an が0でない場合（ばあい）、級数（きゅうすう）は確実（かくじつ）に発散（はっさん）します。により、収束（しゅうそく）しない級数（きゅうすう）を素早（すばや）く判定（はんてい）できます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Cho rằng nếu lim_{n -> ∞} an = 0 thì chuỗi vô hạn chắc chắn hội tụ.lim_{n -> ∞} an = 0 であれば、無限（むげん）級数（きゅうすう）は必（かなら）ず収束（しゅうそく）すると勘違（かんちが）いすること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Mệnh đề lim_{n -> ∞} an = 0 chỉ là điều kiện cần, không phải điều kiện đủ. Cần phải kiểm tra giới hạn của tổng một phần Sn để kết luận sự hội tụ.lim_{n -> ∞} an = 0 は必要（ひつよう）条件（じょうけん）に過（す）ぎず、十（じゅう）分（ふん）条件（じょうけん）ではありません。収束（しゅうそく）を結論（けつろん）付（つ）けるには部分（ぶぶん）和（わ）Snの極限（きょくげん）を調（しら）べる必要（ひつよう）があります。

Tính trực tiếp tổng bằng cách thay n = ∞ vào số hạng an mà không thông qua dãy tổng một phần Sn.部分（ぶぶん）和（わ）の数列（すうれつ）Snを経由（けいゆ）せずに、anに直接（ちょくせつ） n = ∞ を代入（だいにゅう）して和（わ）を求（もと）めようとすること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Tổng của chuỗi vô hạn bắt buộc phải được định nghĩa và tính thông qua lim_{n -> ∞} Sn. Việc thay trực tiếp vô cùng không có ý nghĩa toán học.無限（むげん）級数（きゅうすう）の和（わ）は必（かなら）ず lim_{n -> ∞} Sn によって定義（ていぎ）され計算（けいさん）されます。無限（むげん）大（だい）を直接（ちょくせつ）代入（だいにゅう）することは数学（すうがく）的（てき）に意味（いみ）がありません。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Tổng của chuỗi vô hạn S được xác định bằng giới hạn của dãy tổng một phần Sn khi n tiến tới vô cùng.無限（むげん）級数（きゅうすう）の和（わ）Sは、nが無限（むげん）大（だい）に向（む）かうときの部分（ぶぶん）和（わ）の数列（すうれつ）Snの極限（きょくげん）値（ち）として定義（ていぎ）されます。
  • Nếu lim_{n -> ∞} Sn là một số thực S thì chuỗi hội tụ; nếu giới hạn không tồn tại hoặc là vô cực thì chuỗi phân kỳ.lim_{n -> ∞} Sn が実数（じっすう）Sであれば級数（きゅうすう）は収束（しゅうそく）し、極限（きょくげん）が存在（そんざい）しないか無限（むげん）大（だい）であれば発散（はっさん）します。
  • Điều kiện cần để chuỗi hội tụ là lim_{n -> ∞} an = 0; nếu lim_{n -> ∞} an ≠ 0 thì chuỗi phân kỳ.級数（きゅうすう）が収束（しゅうそく）するための必要（ひつよう）条件（じょうけん）は lim_{n -> ∞} an = 0 であり、lim_{n -> ∞} an ≠ 0 ならば級数（きゅうすう）は発散（はっさん）します。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

S_{n} = \sum_{k=1}^{n} a_{k} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}

Công thức tính tổng một phần Sn gồm n số hạng đầu tiên của chuỗi.

級数（きゅうすう）の最初（さいしょ）のn項（こう）の和（わ）である部分（ぶぶん）和（わ）Snを表（あらわ）す式（しき）です。

\sum_{n=1}^{∞} a_{n} = S

Ký hiệu thể hiện chuỗi vô hạn hội tụ và có tổng bằng S.

無限（むげん）級数（きゅうすう）が収束（しゅうそく）し、その和（わ）がSであることを示（しめ）す記号（きごう）表現（ひょうげん）です。

lim_{n -> ∞} S_{n} = S

Định nghĩa tổng S của chuỗi vô hạn thông qua giới hạn của dãy tổng một phần Sn.

部分（ぶぶん）和（わ）の数列（すうれつ）Snの極限（きょくげん）として、無限（むげん）級数（きゅうすう）の和（わ）Sを定義（ていぎ）する式（しき）です。

\sum_{n=1}^{∞} a_{n} 収束 => lim_{n -> ∞} a_{n} = 0

Điều kiện cần để chuỗi vô hạn hội tụ là số hạng tổng quát an phải tiến về 0.

無限（むげん）級数（きゅうすう）が収束（しゅうそく）するための必要（ひつよう）条件（じょうけん）は、一般（いっぱん）項（こう）anが0に収束（しゅうそく）することです。

EJU 2026 · MATH.18.1

Bài học này giúp bạn nắm vững khái niệm chuỗi vô hạn, cách tính tổng thông qua giới hạn của tổng một phần và điều kiện cần để chuỗi hội tụ. Bạn sẽ phân biệt được sự hội tụ và phân kỳ của một chuỗi vô hạn.

この課（か）では、無限（むげん）級数（きゅうすう）の概念（がいねん）、部分（ぶぶん）和（わ）の極限（きょくげん）を通（つう）じた和（わ）の計算（けいさん）方法（ほうほう）、および級数（きゅうすう）が収束（しゅうそく）するための必要（ひつよう）条件（じょうけん）を学（まな）びます。無限（むげん）級数（きゅうすう）の収束（しゅうそく）と発散（はっさん）を明確（めいかく）に区別（くべつ）できるようになります。

無限（むげん）級数（きゅうすう）の和（わ）
無限級数無限級数の和部分和収束