Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Công thức khoảng cách giữa hai điểm và phương trình hình học2点（てん）間（かん）の距離（きょり）の公式（こうしき）と図形（ずけい）の方程（ほうてい）式（しき）

Công thức公式

|z_2 - z_1|
|z - \alpha| = r
z\bar z-\bar\alpha z-\alpha\bar z+k=0,\quad k=|\alpha|^2-r^2
|z - \alpha| = |z - \beta|

Ví dụ例題

Cho điểm \(\alpha = 2 + 3 i\) và số phức z thỏa mãn phương trình |z - (2 + 3i)| = 4. Xác định hình học của tập hợp các điểm z và tính khoảng cách từ điểm z0 = 5 + 7i đến tâm của đường tròn này.

点（てん）アルファ = 2 + 3iおよび方程（ほうてい）式（しき）|z - (2 + 3i)| = 4を満（み）たす複素（ふくそ）数（すう）zが与（あた）えられています。点（てん）zの集合（しゅうごう）の図形（ずけい）を特定（とくてい）し、点（てん）z0 = 5 + 7iからこの円（えん）の中心（ちゅうしん）までの距離（きょり）を計算（けいさん）しなさい。

  1. Nhận dạng phương trình: Phương trình |z - (2 + 3i)| = 4 có dạng |\(z - \alpha\)| = r với \(\alpha = 2 + 3 i\) và r = 4. Do đó tập hợp các điểm z là đường tròn tâm C(2 + 3i) bán kính r = 4.方程（ほうてい）式（しき）の識別（しきべつ）：方程（ほうてい）式（しき）|z - (2 + 3i)| = 4はアルファ = 2 + 3i、r = 4の|z - アルファ| = rの形（かたち）をしています。したがって、点（てん）zの集合（しゅうごう）は中心（ちゅうしん）C(2 + 3i)、半径（はんけい）r = 4の円（えん）です。
  2. Tính khoảng cách từ z0 = 5 + 7i đến tâm \(C (\alpha = 2 + 3 i)\): Áp dụng công thức khoảng cách |\(z 0 - \alpha\)| = |(5 + 7i) - (2 + 3i)|.z0 = 5 + 7iから中心（ちゅうしん）C(アルファ = 2 + 3i)までの距離（きょり）の計算（けいさん）：距離（きょり）の公式（こうしき）|z0 - アルファ| = |(5 + 7i) - (2 + 3i)|を適用（てきよう）します。
  3. Rút gọn biểu thức mô-đun: |(5 - 2) + (7 - 3)i| = |3 + 4i| = \(\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\).絶対（ぜったい）値（ち）式（しき）の簡約（かんやく）：|(5 - 2) + (7 - 3)i| = |3 + 4i| = \(\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\) となります。
Tập hợp điểm z là đường tròn tâm 2 + 3i bán kính 4, và khoảng cách từ z0 đến tâm đường tròn bằng 5.点（てん）zの集合（しゅうごう）は中心（ちゅうしん）2 + 3i、半径（はんけい）4の円（えん）であり、z0から円（えん）の中心（ちゅうしん）までの距離（きょり）は5です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Tính khoảng cách giữa hai điểm biểu diễn bởi z1 = 1 + 2i và z2 = 4 + 6i trên mặt phẳng số phức.複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）のz1 = 1 + 2iとz2 = 4 + 6iで表（あらわ）される2点（てん）間（かん）の距離（きょり）を求（もと）めなさい。

2. Tập hợp các điểm z thỏa mãn phương trình |z - (3 - 1i)| = 2 biểu diễn hình gì trên mặt phẳng số phức?方程（ほうてい）式（しき）|z - (3 - 1i)| = 2を満（み）たす点（てん）zの集合（しゅうごう）は、複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）でどのような図形（ずけい）を表（あらわ）しますか。

3. Phương trình |z - 1| = |z - 5| biểu diễn tập hợp điểm z là đường nào trên mặt phẳng số phức?方程（ほうてい）式（しき）|z - 1| = |z - 5|は、複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）で点（てん）zの集合（しゅうごう）としてどのような図形（ずけい）を表（あらわ）しますか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.15.3. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.15.3。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Sử dụng công thức mô-đun hiệu hai số phức để tính khoảng cách giữa hai điểm.2つの複素（ふくそ）数（すう）の差（さ）の絶対（ぜったい）値（ち）の公式（こうしき）を使用（しよう）して、2点（てん）間（かん）の距離（きょり）を計算（けいさん）する。
  2. Viết và nhận dạng phương trình đường tròn trong mặt phẳng số phức.複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）における円（えん）の方程（ほうてい）式（しき）を記述（きじゅつ）し、識別（しきべつ）できるようにする。
  3. Xây dựng và giải thích phương trình đường trung trực của đoạn thẳng kết nối hai điểm số phức.2つの複素（ふくそ）数（すう）点（てん）を結（むす）ぶ線分（せんぶん）の垂直（すいちょく）二（に）等（とう）分線（ぶんせん）の方程（ほうてい）式（しき）を構築（こうちく）し、説明（せつめい）できるようにする。
Trực giác · イメージ

Trực giác hình học về khoảng cách và tập hợp điểm số phức複素（ふくそ）数（すう）の距離（きょり）と点（てん）集合（しゅうごう）に関（かん）する図形（ずけい）的（てき）直感（ちょっかん）

Giá trị tuyệt đối của hiệu hai số phức đại diện cho khoảng cách hình học giữa hai điểm tương ứng trên mặt phẳng. Khi thiết lập các điều kiện về khoảng cách như khoảng cách cố định tới một điểm hoặc khoảng cách bằng nhau tới hai điểm, ta thu được phương trình của đường tròn hoặc đường trung trực. Điều này biến các bài toán hình học quỹ tích thành việc xử lý phương trình số phức đơn giản.

2つの複素（ふくそ）数（すう）の差（さ）の絶対（ぜったい）値（ち）は、平面（へいめん）上（じょう）の対応（たいおう）する2点（てん）間（かん）の図形（ずけい）的（てき）な距離（きょり）を表（あらわ）します。一（いち）点（てん）からの距離（きょり）が一定（いってい）である条件（じょうけん）や2点（てん）からの距離（きょり）が等（ひと）しい条件（じょうけん）を設定（せってい）すると、円（えん）や垂直（すいちょく）二（に）等（とう）分線（ぶんせん）の方程（ほうてい）式（しき）が得（え）られます。これにより、図形（ずけい）の軌跡（きせき）問題（もんだい）が簡単（かんたん）な複素（ふくそ）数（すう）方程（ほうてい）式（しき）の処理（しょり）へと変換（へんかん）されます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 2点（てん）間（かん）の距離（きょり）Khoảng cách giữa hai điểm

    Khoảng cách giữa hai điểm biểu diễn bởi số phức z1 và z2 là mô-đun của hiệu z2 - z1.

    複素（ふくそ）数（すう）z1とz2で表（あらわ）される2点（てん）間（かん）の距離（きょり）は、差（さ）z2 - z1の絶対（ぜったい）値（ち）です。

  • 円（えん）の方程（ほうてい）式（しき）Phương trình đường tròn

    Phương trình biểu diễn đường tròn tâm \(\alpha\) bán kính r là tập hợp các điểm z thỏa mãn khoảng cách đến \(\alpha\) bằng r.

    中心（ちゅうしん）アルファ、半径（はんけい）rの円（えん）を表（あらわ）す方程（ほうてい）式（しき）は、アルファからの距離（きょり）がrに等（ひと）しい点（てん）zの集合（しゅうごう）です。

  • 線分（せんぶん）の垂直（すいちょく）二（に）等（とう）分線（ぶんせん）の方程（ほうてい）式（しき）Phương trình đường trung trực của đoạn thẳng

    Phương trình biểu diễn đường trung trực của đoạn thẳng nối \(\alpha\) và \(\beta\) là tập hợp các điểm z cách đều \(\alpha\) và \(\beta\).

    アルファとベータを結（むす）ぶ線分（せんぶん）の垂直（すいちょく）二（に）等（とう）分線（ぶんせん）を表（あらわ）す方程（ほうてい）式（しき）は、アルファとベータから等（とう）距離（きょり）にある点（てん）zの集合（しゅうごう）です。

  • アポロニウスの円（えん）Đường tròn Apollonius

    Đường tròn Apollonius là tập hợp các điểm z có tỉ số khoảng cách đến hai điểm cố định \(\alpha\) và \(\beta\) là một hằng số k khác 1.

    アポロニウスの円（えん）は、2つの定点（ていてん）アルファとベータからの距離（きょり）の比（ひ）が一定（いってい）の値（あたい）k(k≠1)である点（てん）zの集合（しゅうごう）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：距離（きょり）関係（かんけい）の特定（とくてい）

    Bước 1: Xác định mối quan hệ khoảng cách

    Xác định các điểm cố định \(\alpha\), \(\beta\) và điều kiện khoảng cách của điểm z theo yêu cầu bài toán. Biểu diễn các khoảng cách này qua mô-đun của hiệu các số phức.

    問題（もんだい）の要求（ようきゅう）に従（したが）って、定点（ていてん）アルファ、ベータおよび点（てん）zの距離（きょり）条件（じょうけん）を特定（とくてい）します。これらの距離（きょり）を複素（ふくそ）数（すう）の差（さ）の絶対（ぜったい）値（ち）として表現（ひょうげん）します。

  2. 02
    ステップ2：複素（ふくそ）数（すう）方程（ほうてい）式（しき）の設定（せってい）

    Bước 2: Thiết lập phương trình số phức

    Sử dụng công thức khoảng cách để viết phương trình dạng |\(z - \alpha\)| = r cho đường tròn hoặc |\(z - \alpha\)| = |\(z - \beta\)| cho đường trung trực.

    距離（きょり）の公式（こうしき）を使用（しよう）して、円（えん）の場合（ばあい）は|z - アルファ| = r、垂直（すいちょく）二（に）等（とう）分線（ぶんせん）の場合（ばあい）は|z - アルファ| = |z - ベータ|という形式（けいしき）の方程（ほうてい）式（しき）を立（た）てます。

  3. 03
    ステップ3：複素（ふくそ）数（すう）の代数（だいすう）変形（へんけい）

    Bước 3: Biến đổi đại số số phức

    Bình phương hai vế và áp dụng tính chất mô-đun bình phương bằng tích với số phức liên hợp |w|^2 = w * bar(w). Rút gọn biểu thức về dạng tổng quát nếu cần.

    両辺（りょうへん）を2乗（の）し、絶対（ぜったい）値（ち）の2乗（のり）が共役（きょうやく）複素（ふくそ）数（すう）との積（せき）|w|^2 = w * bar(w)になる性質（せいしつ）を適用（てきよう）します。必要（ひつよう）に応（おう）じて式（しき）を一般（いっぱん）形（けい）に簡約（かんやく）します。

  4. 04
    ステップ4：図形（ずけい）的（てき）形状（けいじょう）の結論（けつろん）

    Bước 4: Kết luận dạng hình học

    Dựa vào phương trình thu được, xác định rõ tâm, bán kính của đường tròn hoặc đặc điểm của đường trung trực.

    得（え）られた方程（ほうてい）式（しき）に基（もと）づいて、円（えん）の中心（ちゅうしん）と半径（はんけい）、または垂直（すいちょく）二（に）等（とう）分線（ぶんせん）の特徴（とくちょう）を明確（めいかく）に特定（とくてい）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn giữa phương trình đường tròn |\(z - \alpha\)| = r và phương trình đường trung trực |\(z - \alpha\)| = |\(z - \beta\)|.円（えん）の方程（ほうてい）式（しき）|z - アルファ| = rと垂直（すいちょく）二（に）等（とう）分線（ぶんせん）の方程（ほうてい）式（しき）|z - アルファ| = |z - ベータ|を混同（こんどう）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Phương trình đường tròn có vế phải là bán kính r (một số thực dương), trong khi phương trình đường trung trực có vế phải là mô-đun tới điểm \(\beta\) thứ hai.円（えん）の方程（ほうてい）式（しき）の右辺（うへん）は半径（はんけい）r(正（せい）の実数（じっすう）)であるのに対（たい）し、垂直（すいちょく）二（に）等（とう）分線（ぶんせん）の方程（ほうてい）式（しき）の右辺（うへん）は第（だい）2の点（てん）ベータへの絶対（ぜったい）値（ち）です。

Quên lấy căn bậc hai của tổng bình phương phần thực và phần ảo khi tính mô-đun khoảng cách |z2 - z1|.距離（きょり）の絶対（ぜったい）値（ち）|z2 - z1|を計算（けいさん）する際（さい）、実部（じつぶ）と虚部（きょぶ）の二（に）乗（じょう）和（わ）の平方（へいほう）根（ね）をとり忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Mô-đun của số phức a + bi luôn được tính bằng \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\), không được cộng trực tiếp phần thực và phần ảo.複素（ふくそ）数（すう）a + biの絶対（ぜったい）値（ち）は常（つね）に\(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)で計算（けいさん）され、実部（じつぶ）と虚部（きょぶ）を直接（ちょくせつ）加算（かさん）してはいけません。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Khoảng cách giữa hai điểm z1 và z2 trên mặt phẳng số phức được tính bằng mô-đun |z2 - z1|.複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）の2点（てん）z1とz2の間（あいだ）の距離（きょり）は、絶対（ぜったい）値（ち）|z2 - z1|で計算（けいさん）されます。
  • Phương trình |\(z - \alpha\)| = r biểu diễn đường tròn tâm \(\alpha\) bán kính r.方程（ほうてい）式（しき）|z - アルファ| = rは中心（ちゅうしん）アルファ、半径（はんけい）rの円（えん）を表（あらわ）します。
  • Phương trình |\(z - \alpha\)| = |\(z - \beta\)| biểu diễn đường trung trực của đoạn thẳng nối \(\alpha\) và \(\beta\).方程（ほうてい）式（しき）|z - アルファ| = |z - ベータ|はアルファとベータを結（むす）ぶ線分（せんぶん）の垂直（すいちょく）二（に）等（とう）分線（ぶんせん）を表（あらわ）します。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

|z_2 - z_1|

Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm biểu diễn bởi z1 và z2 trên mặt phẳng số phức.

複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）のz1とz2で表（あらわ）される2点（てん）間（かん）の距離（きょり）を計算（けいさん）する公式（こうしき）。

|z - \alpha| = r

Phương trình đường tròn tâm \(\alpha\) và bán kính r trên mặt phẳng số phức.

複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）の中心（ちゅうしん）アルファ、半径（はんけい）rの円（えん）の方程（ほうてい）式（しき）。

z\bar z-\bar\alpha z-\alpha\bar z+k=0,\quad k=|\alpha|^2-r^2

Khai triển \(|z-\alpha|^2=r^2\) cho \(z\bar z-\bar\alpha z-\alpha\bar z+|\alpha|^2-r^2=0\).

\(|z-\alpha|^2=r^2\) を展開（てんかい）すると \(z\bar z-\bar\alpha z-\alpha\bar z+|\alpha|^2-r^2=0\) となる。

|z - \alpha| = |z - \beta|

Phương trình đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm \(\alpha\) và \(\beta\).

2点（てん）アルファとベータを結（むす）ぶ線分（せんぶん）の垂直（すいちょく）二（に）等（とう）分線（ぶんせん）の方程（ほうてい）式（しき）。

EJU 2026 · MATH.15.3

Khoảng cách giữa hai điểm trên mặt phẳng số phức được thể hiện qua mô-đun của hiệu hai số phức. Từ công thức khoảng cách, chúng ta có thể thiết lập phương trình cho các hình học cơ bản như đường tròn và đường trung trực.

複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）の2点（てん）間（かん）の距離（きょり）は、2つの複素（ふくそ）数（すう）の差（さ）の絶対（ぜったい）値（ち）で表（あらわ）されます。距離（きょり）の公式（こうしき）から、円（えん）や垂直（すいちょく）二（に）等（とう）分線（ぶんせん）などの基本（きほん）的（てき）な図形（ずけい）の方程（ほうてい）式（しき）を導出（どうしゅつ）できます。

2点（てん）間（かん）の距離（きょり）の公式（こうしき）と図形（ずけい）の方程（ほうてい）式（しき）
2点間の距離円の方程式線分の垂直二等分線の方程式アポロニウスの円