Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Điểm chia trong, điểm chia ngoài và trọng tâm tam giác内分（ないぶん）点（てん）と外（そと）分点（ぶんてん）

Công thức公式

\frac{n\alpha + m\beta}{m + n}
\frac{-n\alpha + m\beta}{m - n}
\frac{\alpha + \beta}{2}
\frac{\alpha + \beta + \gamma}{3}

Ví dụ例題

Trong mặt phẳng số phức, cho hai điểm A(alpha) và B(beta) với alpha = 1 + 2i và beta = 4 + 8i. Tìm số phức z biểu diễn điểm P chia trong đoạn AB theo tỉ số 2:1 và tìm trọng tâm G của tam giác OAB với O là gốc tọa độ (0 + 0i).

複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）において、2点（てん）A(アルファ)とB(ベータ)がアルファ = 1 + 2i、ベータ = 4 + 8iで与（あた）えられています。線分（せんぶん）ABを2:1の比（ひ）に内分（ないぶん）する点（てん）Pを表（あらわ）す複素（ふくそ）数（すう）zと、原点（げんてん）O(0 + 0i)を含（ふく）む三角形（さんかくけい）OABの重心（じゅうしん）Gを求（もと）めなさい。

  1. Tính điểm chia trong P: Áp dụng công thức với m = 2, n = 1, ta có z = (1*alpha + 2*beta)/(2 + 1) = ((1 + 2i) + 2*(4 + 8i))/3.内分（ないぶん）点（てん）Pの計算（けいさん）：m = 2、n = 1として公式（こうしき）を適用（てきよう）すると、z = (1*アルファ + 2*ベータ)/(2 + 1) = ((1 + 2i) + 2*(4 + 8i))/3 となります。
  2. Rút gọn z: z = ((1 + 2i) + (8 + 16i))/3 = (9 + 18i)/3 = 3 + 6i.zの簡約（かんやく）：z = ((1 + 2i) + (8 + 16i))/3 = (9 + 18i)/3 = 3 + 6i となります。
  3. Tính trọng tâm G: Áp dụng công thức trọng tâm tam giác với O(0), A(1 + 2i), B(4 + 8i), ta có g = (0 + (1 + 2i) + (4 + 8i))/3 = (5 + 10i)/3.重心（じゅうしん）Gの計算（けいさん）：O(0)、A(1 + 2i)、B(4 + 8i)として重心（じゅうしん）の公式（こうしき）を適用（てきよう）すると、g = (0 + (1 + 2i) + (4 + 8i))/3 = (5 + 10i)/3 となります。
Vậy điểm P được biểu diễn bởi số phức z = 3 + 6i và trọng tâm G được biểu diễn bởi số phức g = 5/3 + (10/3)i.したがって、点（てん）Pを表（あらわ）す複素（ふくそ）数（すう）はz = 3 + 6iであり、重心（じゅうしん）Gを表（あらわ）す複素（ふくそ）数（すう）はg = 5/3 + (10/3)iとなります。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho hai điểm A(alpha) và B(beta) với alpha = 2 + i và beta = 5 + 7i. Tìm số phức z biểu diễn điểm chia trong P của đoạn AB theo tỉ số 1:2.2点（てん）A(アルファ)とB(ベータ)がアルファ = 2 + i、ベータ = 5 + 7iで与（あた）えられています。線分（せんぶん）ABを1:2に内分（ないぶん）する点（てん）Pを表（あらわ）す複素（ふくそ）数（すう）zを求（もと）めなさい。

2. Cho hai điểm A(alpha) và B(beta) với alpha = 1 + i và beta = 3 + 4i. Tìm số phức z biểu diễn điểm chia ngoài Q của đoạn AB theo tỉ số 2:1.2点（てん）A(アルファ)とB(ベータ)がアルファ = 1 + i、ベータ = 3 + 4iで与（あた）えられています。線分（せんぶん）ABを2:1に外分（がいぶん）する点（てん）Qを表（あらわ）す複素（ふくそ）数（すう）zを求（もと）めなさい。

3. Tam giác ABC có ba đỉnh biểu diễn bởi các số phức alpha = 1 + 3i, beta = 2 - 1i, gamma = 6 + 4i. Tìm số phức g biểu diễn trọng tâm G của tam giác ABC.三角形（さんかくけい）ABCの3つの頂点（ちょうてん）が複素（ふくそ）数（すう）アルファ = 1 + 3i、ベータ = 2 - 1i、ガンマ = 6 + 4iで表（あらわ）されています。三角形（さんかくけい）ABCの重心（じゅうしん）Gを表（あらわ）す複素（ふくそ）数（すう）gを求（もと）めなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.15.3. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.15.3。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nắm vững công thức xác định số phức biểu diễn điểm chia trong và trung điểm của đoạn thẳng.線分（せんぶん）の内分（ないぶん）点（てん）および中点（ちゅうてん）を表（あらわ）す複素（ふくそ）数（すう）の決定（けってい）公式（こうしき）をマスターする。
  2. Biết cách tìm số phức biểu diễn điểm chia ngoài đoạn thẳng theo tỉ số cho trước.与（あた）えられた比率（ひりつ）に従（したが）って線分（せんぶん）の外（そと）分点（ぶんてん）を表（あらわ）す複素（ふくそ）数（すう）を求（もと）める方法（ほうほう）を理解（りかい）する。
  3. Tính được tọa độ số phức của trọng tâm tam giác khi biết ba đỉnh.3つの頂点（ちょうてん）が与（あた）えられたときに三角形（さんかくけい）の重心（じゅうしん）の複素（ふくそ）数（すう）を計算（けいさん）できるようにする。
Trực giác · イメージ

Trực giác về biểu diễn hình học của các điểm chia trên mặt phẳng số phức複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）における分点（ぶんてん）の図形（ずけい）的（てき）表現（ひょうげん）の直感（ちょっかん）

Mỗi điểm trên mặt phẳng số phức tương ứng với một số phức biểu diễn vị trí. Việc chia đoạn thẳng hay tìm trọng tâm bản chất là lấy trung bình có trọng số của các số phức biểu diễn các đỉnh. Nhờ đó, phép toán hình học được chuyển thành các phép tính đại số đơn giản trên số phức.

複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）の各点（かくてん）は、位置（いち）を表（あらわ）す複素（ふくそ）数（すう）に対応（たいおう）します。線分（せんぶん）を分割（ぶんかつ）することや重心（じゅうしん）を求（もと）めることは、本質（ほんしつ）的（てき）に頂点（ちょうてん）を表（あらわ）す複素（ふくそ）数（すう）の加重（かじゅう）平均（へいきん）をとることです。これにより、図形（ずけい）的（てき）な操作（そうさ）が複素（ふくそ）数（すう）上（じょう）の簡単（かんたん）な代数（だいすう）計算（けいさん）に変換（へんかん）されます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 内分（ないぶん）点（てん）Điểm chia trong

    Điểm chia trong đoạn thẳng nối hai điểm alpha và beta theo tỉ số m:n nằm giữa hai điểm đó.

    2点（てん）アルファとベータを結（むす）ぶ線分（せんぶん）をm:nの比（ひ）に分（わ）ける内分（ないぶん）点（てん）は、その2点（てん）間（かん）に位置（いち）します。

  • 外分（がいぶん）点（てん）Điểm chia ngoài

    Điểm chia ngoài đoạn thẳng nối hai điểm alpha và beta theo tỉ số m:n nằm trên đường thẳng kéo dài ngoài đoạn thẳng.

    2点（てん）アルファとベータを結（むす）ぶ線分（せんぶん）をm:nの比（ひ）に分（わ）ける外（そと）分点（ぶんてん）は、線分（せんぶん）の延長（えんちょう）線（せん）上（じょう）に位置（いち）します。

  • 中点（なかてん）Trung điểm

    Trung điểm của đoạn thẳng là trường hợp đặc biệt của điểm chia trong với tỉ số 1:1.

    線分（せんぶん）の中点（ちゅうてん）は、1:1の比（ひ）で分（わ）ける内分（ないぶん）点（てん）の特別（とくべつ）な場合（ばあい）です。

  • 三角形（さんかくけい）の重心（じゅうしん）Trọng tâm tam giác

    Trọng tâm của tam giác có ba đỉnh alpha, beta, gamma là điểm trung bình cộng của ba số phức biểu diễn ba đỉnh.

    3頂点（ちょうてん）アルファ、ベータ、ガンマを持（も）つ三角形（さんかくけい）の重心（じゅうしん）は、3つの頂点（ちょうてん）を表（あらわ）す複素（ふくそ）数（すう）の算術（さんじゅつ）平均（へいきん）となる点（てん）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：各点（かくてん）の複素（ふくそ）数（すう）座標（ざひょう）の確認（かくにん）

    Bước 1: Xác định tọa độ số phức các điểm

    Ghi nhận các số phức alpha, beta, gamma tương ứng với các điểm trên mặt phẳng số phức. Xác định rõ tỉ số chia m:n cần tính.

    複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）の点（てん）に対応（たいおう）する複素（ふくそ）数（すう）アルファ、ベータ、ガンマを確認（かくにん）します。計算（けいさん）に必要（ひつよう）な分割（ぶんかつ）比（ひ）m:nを明確（めいかく）にします。

  2. 02
    ステップ2：分点（ぶんてん）または重心（じゅうしん）の表現（ひょうげん）公式（こうしき）の選択（せんたく）

    Bước 2: Chọn công thức biểu diễn điểm chia hoặc trọng tâm

    Áp dụng công thức chia trong, chia ngoài hoặc trọng tâm tùy theo yêu cầu của đề bài. Chú ý thứ tự của các điểm alpha và beta tương ứng với tỉ số m:n.

    問題（もんだい）の要求（ようきゅう）に応（おう）じて、内分（ないぶん）点（てん）、外分（がいぶん）点（てん）、または重心（じゅうしん）の公式（こうしき）を適用（てきよう）します。比率（ひりつ）m:nに対応（たいおう）する点（てん）アルファとベータの順序（じゅんじょ）に注意（ちゅうい）します。

  3. 03
    ステップ3：代入（だいにゅう）と複素（ふくそ）数式（すうしき）の簡約（かんやく）

    Bước 3: Thay số và rút gọn biểu thức số phức

    Thay các giá trị số phức cụ thể vào công thức đã chọn. Thực hiện các phép tính cộng, nhân số phức để đưa về dạng chuẩn.

    選択（せんたく）した公式（こうしき）に具体（ぐたい）的（てき）な複素（ふくそ）数（すう）の値（あたい）を代入（だいにゅう）します。複素（ふくそ）数（すう）の加算（かさん）と乗算（じょうざん）を行（おこな）い、標準（ひょうじゅん）形（けい）に整理（せいり）します。

  4. 04
    ステップ4：図形（ずけい）的（てき）結果（けっか）の検証（けんしょう）

    Bước 4: Kiểm tra kết quả hình học

    Đánh giá vị trí số phức thu được xem có phù hợp với tính chất chia trong, chia ngoài hoặc trọng tâm không. Nhận diện các điểm đặc biệt nếu có.

    得（え）られた複素（ふくそ）数（すう）の位置（いち）が、内分（ないぶん）、外分（がいぶん）、または重心（じゅうしん）の性質（せいしつ）に適合（てきごう）しているか評価（ひょうか）します。必要（ひつよう）に応（おう）じて特別（とくべつ）な点（てん）を確認（かくにん）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn vị trí m và n trong công thức chia trong, dẫn đến tính (m*alpha + n*beta)/(m+n) thay vì (n*alpha + m*beta)/(m+n).内分（ないぶん）点（てん）の公式（こうしき）でmとnの位置（いち）を混同（こんどう）し、(n*アルファ + m*ベータ)/(m+n)の代（か）わりに(m*アルファ + n*ベータ)/(m+n)を計算（けいさん）してしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Tỉ số m:n chia đoạn AB nghĩa là AP:PB = m:n, khi đó n nhân với alpha (điểm đầu A) và m nhân với beta (điểm cuối B).線分（せんぶん）ABをm:nに内分（ないぶん）する比率（ひりつ）はAP:PB = m:nを意味（いみ）し、nにアルファ(始点（してん）A)を掛（か）け、mにベータ(終点（しゅうてん）B)を掛（か）けます。

Quên dấu trừ trong mẫu số hoặc tử số của công thức điểm chia ngoài (m - n).外分（がいぶん）点（てん）の公式（こうしき）において、分母（ぶんぼ）または分子（ぶんし）のマイナス符号（ふごう）(m - n)を忘（わす）れてしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Điểm chia ngoài theo tỉ số m:n sử dụng công thức (-n*alpha + m*beta)/(m - n), lưu ý dấu âm gắn với n và mẫu số là m - n.m:nの外分（がいぶん）点（てん）公式（こうしき）は(-n*アルファ + m*ベータ)/(m - n)を使用（しよう）し、nにマイナスをつけ、分母（ぶんぼ）がm - nになることに注意（ちゅうい）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Điểm chia trong đoạn AB theo tỉ số m:n được tính bằng công thức (n*alpha + m*beta)/(m + n).線分（せんぶん）ABをm:nに内分（ないぶん）する点（てん）は、公式（こうしき）(n*アルファ + m*ベータ)/(m + n)によって計算（けいさん）されます。
  • Điểm chia ngoài đoạn AB theo tỉ số m:n được tính bằng công thức (-n*alpha + m*beta)/(m - n).線分（せんぶん）ABをm:nに外分（がいぶん）する点（てん）は、公式（こうしき）(-n*アルファ + m*ベータ)/(m - n)によって計算（けいさん）されます。
  • Trọng tâm tam giác với ba đỉnh alpha, beta, gamma là điểm trung bình cộng (alpha + beta + gamma)/3.3頂点（ちょうてん）アルファ、ベータ、ガンマを持（も）つ三角形（さんかくけい）の重心（じゅうしん）は、算術（さんじゅつ）平均（へいきん）(アルファ + ベータ + ガンマ)/3となります。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\frac{n\alpha + m\beta}{m + n}

Công thức xác định số phức biểu diễn điểm chia trong đoạn thẳng nối alpha và beta theo tỉ số m:n.

アルファとベータを結（むす）ぶ線分（せんぶん）をm:nの比（ひ）に内分（ないぶん）する点（てん）を表（あらわ）す複素（ふくそ）数（すう）の公式（こうしき）。

\frac{-n\alpha + m\beta}{m - n}

Công thức xác định số phức biểu diễn điểm chia ngoài đoạn thẳng nối alpha và beta theo tỉ số m:n.

アルファとベータを結（むす）ぶ線分（せんぶん）をm:nの比（ひ）に外分（がいぶん）する点（てん）を表（あらわ）す複素（ふくそ）数（すう）の公式（こうしき）。

\frac{\alpha + \beta}{2}

Công thức xác định số phức biểu diễn trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm alpha và beta.

2点（てん）アルファとベータを結（むす）ぶ線分（せんぶん）の中点（ちゅうてん）を表（あらわ）す複素（ふくそ）数（すう）の公式（こうしき）。

\frac{\alpha + \beta + \gamma}{3}

Công thức xác định số phức biểu diễn trọng tâm của tam giác có ba đỉnh là alpha, beta và gamma.

3頂点（ちょうてん）アルファ、ベータ、ガンマを持（も）つ三角形（さんかくけい）の重心（じゅうしん）を表（あらわ）す複素（ふくそ）数（すう）の公式（こうしき）。

EJU 2026 · MATH.15.3

Điểm chia trong, điểm chia ngoài và trọng tâm tam giác giúp xác định tọa độ các điểm đặc biệt trên mặt phẳng số phức. Việc nắm vững các công thức này giúp giải quyết chính xác các bài toán hình học trên mặt phẳng số phức.

内分（ないぶん）点（てん）、外分（がいぶん）点（てん）、および三角形（さんかくけい）の重心（じゅうしん）は、複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）の特別（とくべつ）な点（てん）の座標（ざひょう）を決定（けってい）するのに役立（やくだ）ちます。これらの公式（こうしき）をマスターすることで、複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）の図形（ずけい）問題（もんだい）を正確（せいかく）に解決（かいけつ）できます。

内分（ないぶん）点（てん）と外（そと）分点（ぶんてん）
内分点外分点中点三角形の重心