Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Góc tạo bởi ba điểm trên mặt phẳng số phức複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）の3点（てん）のなす角（かく）

Công thức公式

\angle z_2 z_1 z_3 = \arg \frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}
\arg \frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1} = 0 \text{ または } \pi
\arg \frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1} = \pm \frac{\pi}{2}
\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = \frac{\gamma' - \alpha'}{\beta' - \alpha'}

Ví dụ例題

Cho ba điểm z1 = 1, z2 = 3, z3 = 1 + 2i trên mặt phẳng số phức. Hãy xác định góc z2 z1 z3 và dạng của tam giác tạo bởi ba điểm này.

複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）の3点（てん）z1 = 1, z2 = 3, z3 = 1 + 2iについて、角（かく）z2 z1 z3および3点（てん）がなす三角形（さんかくけい）の形状（けいじょう）を求（もと）めなさい。

  1. Tính các hiệu z3 - z1 = 2i và z2 - z1 = 2. Lập tỉ số thu được (z3 - z1)/(z2 - z1) = 2i / 2 = i.差（さ）z3 - z1 = 2iおよびz2 - z1 = 2を計算（けいさん）します。比（ひ）をとると(z3 - z1)/(z2 - z1) = 2i / 2 = iとなります。
  2. Tính argument của tỉ số: arg(i) = pi/2. Do đó góc z2 z1 z3 bằng pi/2 rad hay 90 độ.商（しょう）の偏角（へんかく）を計算（けいさん）するとarg(i) = π/2です。したがって角（かく）z2 z1 z3はπ/2ラジアン（90度（ど））となります。
  3. Môđun của tỉ số bằng |i| = 1, suy ra z1z3 = z1z2. Vậy tam giác là tam giác vuông cân tại z1.商（しょう）の絶対（ぜったい）値（ち）は|i| = 1であり、線分（せんぶん）z1z3 = z1z2が得（え）られます。したがってこの三角形（さんかくけい）はz1を頂点（ちょうてん）とする直角（ちょっかく）二（に）等辺（とうへん）三角形（さんかくけい）です。
Góc z2 z1 z3 bằng pi/2 và ba điểm tạo thành tam giác vuông cân tại z1.角（かく）z2 z1 z3はπ/2であり、3点（てん）はz1を頂角（ちょうかく）とする直角（ちょっかく）二（に）等辺（とうへん）三角形（さんかくけい）を構成（こうせい）します。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho ba điểm z1 = 1, z2 = 2 + i, z3 = 3 + 2i. Tỉ số (z3 - z1)/(z2 - z1) bằng bao nhiêu và vị trí tương đối của ba điểm là gì?3点（てん）z1 = 1, z2 = 2 + i, z3 = 3 + 2iについて、商（しょう）(z3 - z1)/(z2 - z1)の値（あたい）と3点（てん）の位置（いち）関係（かんけい）を求（もと）めなさい。

2. Cho ba điểm z1 = 0, z2 = 2, z3 = 2i trên mặt phẳng số phức. Tìm số đo góc z2 z1 z3.複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）の3点（てん）z1 = 0, z2 = 2, z3 = 2iにおいて、角（かく）z2 z1 z3の大（おお）きさを求（もと）めなさい。

3. Cho các điểm alpha = 0, beta = 1, gamma = i và alpha' = 1, beta' = 2, gamma' = 1 + i. Phát biểu nào sau đây đúng về hai tam giác?点（てん）α = 0, β = 1, γ = iおよびα' = 1, β' = 2, γ' = 1 + iについて、2つの三角形（さんかくけい）に関（かん）する正（ただ）しい記述（きじゅつ）を選（えら）びなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.15.3. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.15.3。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Biết cách tính góc tạo bởi hai tia xuất phát từ một điểm trên mặt phẳng số phức.複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）の1点（てん）から出（で）る2半（はん）直線（ちょくせん）のなす角（かく）の計算（けいさん）方法（ほうほう）を理解（りかい）する。
  2. Vận dụng điều kiện thương số phức để xác định tính thẳng hàng và vuông góc của các điểm.複素（ふくそ）数（すう）の商（しょう）の条件（じょうけん）を利用（りよう）して点（てん）の共（きょう）線（せん）条件（じょうけん）や直交（ちょっこう）条件（じょうけん）を判定（はんてい）する。
  3. Nhận biết các dạng tam giác và điều kiện bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.三角形（さんかくけい）の形状（けいじょう）判定（はんてい）や4点（てん）が同（どう）一（いち）円（えん）周上（しゅうじょう）にある条件（じょうけん）を識別（しきべつ）する。
Trực giác · イメージ

Góc giữa các tia là argument của tỉ số số phức半（はん）直線（ちょくせん）のなす角（かく）は複素（ふくそ）数（すう）の比（ひ）の偏角（へんかく）である

Khi lấy hiệu hai số phức, ta thu được vectơ biểu diễn hướng và độ dài. Tỉ số của hai hiệu số phức cho biết góc quay và tỉ lệ độ dài giữa hai đoạn thẳng.

2つの複素（ふくそ）数（すう）の差（さ）をとると向（む）きと長（なが）さをもつベクトルが得（え）られます。複素（ふくそ）数（すう）の商（しょう）を計算（けいさん）することで2線分（せんぶん）間（かん）の回転（かいてん）角（かく）と長（なが）さの比（ひ）が分（わ）かります。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 半（はん）直線（ちょくせん）のなす角（かく）Góc tạo bởi hai tia

    Góc tạo bởi hai tia từ z1 đến z2 và z3 được xác định bằng argument của thương số phức (z3 - z1) trên (z2 - z1). Giá trị góc này thể hiện chiều quay từ tia thứ nhất sang tia thứ hai.

    点（てん）z1からz2およびz3へ向（む）かう2半（はん）直線（ちょくせん）のなす角（かく）は商（しょう）(z3 - z1)/(z2 - z1)の偏角（へんかく）で定（さだ）まります。この角（かく）は第（だい）1の半（はん）直線（ちょくせん）から第（だい）2の半（はん）直線（ちょくせん）への回転（かいてん）角（かく）を表（あらわ）します。

  • 一（いち）直線（ちょくせん）上（じょう）にある条件（じょうけん）Điều kiện ba điểm thẳng hàng

    Ba điểm z1, z2, z3 thẳng hàng khi góc giữa hai tia bằng 0 hoặc pi. Điều này tương đương với việc tỉ số (z3 - z1) trên (z2 - z1) là một số thực.

    3点（てん）z1, z2, z3が一（いち）直線（ちょくせん）上（じょう）にある条件（じょうけん）は2半（はん）直線（ちょくせん）のなす角（かく）が0またはπであることです。これは商（しょう）(z3 - z1)/(z2 - z1)が実数（じっすう）であることと同値（どうち）です。

  • 直交（ちょっこう）する条件（じょうけん）Điều kiện vuông góc

    Hai đoạn thẳng z1z2 và z1z3 vuông góc khi góc tạo bởi hai tia bằng cộng trừ pi/2. Điều này xảy ra khi tỉ số (z3 - z1) trên (z2 - z1) là một số thuần ảo.

    線分（せんぶん）z1z2と線分（せんぶん）z1z3が直交（ちょっこう）する条件（じょうけん）は2半（はん）直線（ちょくせん）のなす角（かく）が±π/2であることです。これは商（しょう）(z3 - z1)/(z2 - z1)が純（じゅん）虚数（きょすう）であることと同値（どうち）です。

  • 三角形（さんかくけい）の形状（けいじょう）Hình dạng tam giác

    Hình dạng tam giác được xác định thông qua giá trị môđun và argument của tỉ số số phức tại đỉnh. Tỉ số này quyết định góc tại đỉnh và tỉ lệ độ dài hai cạnh kề.

    三角形（さんかくけい）の形状（けいじょう）は頂点（ちょうてん）における複素（ふくそ）数（すう）の商（しょう）の絶対（ぜったい）値（ち）と偏角（へんかく）により決定（けってい）されます。この商（しょう）により頂角（ちょうかく）の大（おお）きさと2辺（へん）の長（なが）さの比（ひ）が定（さだ）まります。

  • 三角形（さんかくけい）の相似（そうじ）Sự đồng dạng của tam giác

    Hai tam giác đồng dạng khi và chỉ khi tỉ số đại diện góc và độ dài tại các đỉnh tương ứng bằng nhau. Phép so sánh thương số phức giúp kiểm tra tính đồng dạng nhanh chóng.

    2つの三角形（さんかくけい）が相似（そうじ）である条件（じょうけん）は対応（たいおう）する頂点（ちょうてん）での複素（ふくそ）数（すう）の商（しょう）が等（ひと）しいことです。複素（ふくそ）数（すう）の商（しょう）を比較（ひかく）することで相似（そうじ）性（せい）を容易（ようい）に判定（はんてい）できます。

  • 同（どう）一（いち）円（えん）周上（しゅうじょう）cùng thuộc một đường tròn

    Bốn điểm cùng thuộc một đường tròn khi các góc nội tiếp cùng chắn một cung bằng nhau hoặc bù nhau. Trên mặt phẳng số phức, điều này biểu diễn qua tính thực của tỉ số kép.

    4点（てん）が同（どう）一（いち）円（えん）周上（しゅうじょう）にある条件（じょうけん）は同一（どういつ）の弧（こ）に対（たい）する円周（えんしゅう）角（かく）が等（ひと）しいか補角（ほかく）をなすことです。複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）では複（ふく）比（ひ）が実数（じっすう）となることで表（あらわ）されます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    複素（ふくそ）数（すう）の差（さ）の比（ひ）を作成（さくせい）する

    Lập tỉ số các hiệu số phức

    Xác định điểm gốc z1 và tính hai hiệu z3 - z1 cùng z2 - z1. Sau đó lập thương (z3 - z1) chia cho (z2 - z1).

    基準（きじゅん）となる点（てん）z1を定（さだ）め、差（さ）z3 - z1とz2 - z1を計算（けいさん）します。続（つづ）いて商（しょう）(z3 - z1)/(z2 - z1)を構成（こうせい）します。

  2. 02
    商（しょう）の偏角（へんかく）と絶対（ぜったい）値（ち）を計算（けいさん）する

    Tính argument và môđun của thương

    Biến đổi thương số phức về dạng lượng giác để tìm góc argument và độ dài môđun. Kết quả này cho biết góc giữa hai tia và tỉ số độ dài hai đoạn thẳng.

    商（しょう）の複素（ふくそ）数（すう）を極（ごく）形式（けいしき）に変形（へんけい）して偏角（へんかく）argと絶対（ぜったい）値（ち）を求（もと）めます。これにより2半（はん）直線（ちょくせん）のなす角（かく）と辺（へん）の長（なが）さの比（ひ）が得（え）られます。

  3. 03
    図形（ずけい）的（てき）条件（じょうけん）と照合（しょうごう）する

    Đối chiếu điều kiện hình học

    Kiểm tra nếu argument bằng 0 hoặc pi thì ba điểm thẳng hàng, nếu bằng cộng trừ pi/2 thì vuông góc. Kết hợp với môđun để kết luận dạng tam giác hoặc bốn điểm cùng thuộc đường tròn.

    偏角（へんかく）が0またはπなら3点（てん）は共（きょう）線（せん）、±π/2なら直交（ちょっこう）と判定（はんてい）します。絶対（ぜったい）値（ち）と組み合（くみあ）わせて三角形（さんかくけい）の形状（けいじょう）や4点（てん）の同一（どういつ）円周（えんしゅう）条件（じょうけん）を結論（けつろん）付（つ）けます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn thứ tự điểm trong tỉ số dẫn đến tính sai dấu của góc argument.商（しょう）における点（てん）の順序（じゅんじょ）を誤（あやま）り、偏角（へんかく）の符号（ふごう）を逆（ぎゃく）にしてしまう。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn đặt số phức đại diện cho tia đến ở tử số và tia xuất phát ở mẫu số theo đúng công thức.公式（こうしき）に従（したが）い、到着（とうちゃく）する半（はん）直線（ちょくせん）の複素（ふくそ）数（すう）を分子（ぶんし）に、基準（きじゅん）となる半（はん）直線（ちょくせん）の複素（ふくそ）数（すう）を分母（ぶんぼ）に正（ただ）しく配置（はいち）します。

Cho rằng tỉ số là số thực thì hai đoạn thẳng vuông góc với nhau.商（しょう）が実数（じっすう）であるときに2線分（せんぶん）が直交（ちょっこう）していると誤認（ごにん）する。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Nhớ rằng tỉ số là số thực ứng với ba điểm thẳng hàng, còn tỉ số là số thuần ảo mới là điều kiện vuông góc.商（しょう）が実数（じっすう）の場合（ばあい）は3点（てん）が一（いち）直線（ちょくせん）上（じょう）にある条件（じょうけん）であり、純（じゅん）虚数（きょすう）の場合（ばあい）が直交（ちょっこう）条件（じょうけん）であることを確認（かくにん）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Góc z2 z1 z3 được xác định bởi argument của tỉ số (z3 - z1)/(z2 - z1).角（かく）z2 z1 z3は商（しょう）(z3 - z1)/(z2 - z1)の偏角（へんかく）により決定（けってい）されます。
  • Tỉ số là số thực tương ứng ba điểm thẳng hàng, tỉ số là số thuần ảo tương ứng hai đoạn thẳng vuông góc.商（しょう）が実数（じっすう）であれば3点（てん）は共（きょう）線（せん）であり、純（じゅん）虚数（きょすう）であれば2線分（せんぶん）は直交（ちょっこう）します。
  • Hai tam giác đồng dạng khi tỉ số số phức tại các đỉnh tương ứng bằng nhau.対応（たいおう）する頂点（ちょうてん）における複素（ふくそ）数（すう）の商（しょう）が等（ひと）しいとき、2つの三角形（さんかくけい）は相似（そうじ）となります。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\angle z_2 z_1 z_3 = \arg \frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}

Công thức xác định góc tạo bởi hai tia z1z2 và z1z3 thông qua argument của tỉ số số phức. Chiều của góc được tính từ tia z1z2 đến tia z1z3.

半（はん）直線（ちょくせん）z1z2と半（はん）直線（ちょくせん）z1z3のなす角（かく）を複素（ふくそ）数（すう）の商（しょう）の偏角（へんかく）で表（あらわ）す公式（こうしき）です。角（かく）の向（む）きは半（はん）直線（ちょくせん）z1z2から半（はん）直線（ちょくせん）z1z3への回転（かいてん）となります。

\arg \frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1} = 0 \text{ または } \pi

Điều kiện cần và đủ để ba điểm z1, z2, z3 thẳng hàng trên mặt phẳng số phức. Khi đó thương số phức nhận giá trị là một số thực.

複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）で3点（てん）z1, z2, z3が一（いち）直線（ちょくせん）上（じょう）にあるための必要（ひつよう）十（じゅう）分（ふん）条件（じょうけん）です。このとき複素（ふくそ）数（すう）の商（しょう）は実数（じっすう）となります。

\arg \frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1} = \pm \frac{\pi}{2}

Điều kiện hai đường thẳng z1z2 và z1z3 vuông góc với nhau. Thương số phức tương ứng là một số thuần ảo khác 0.

2直線（ちょくせん）z1z2とz1z3が直交（ちょっこう）するための条件（じょうけん）です。対応（たいおう）する複素（ふくそ）数（すう）の商（しょう）は0でない純（じゅん）虚数（きょすう）となります。

\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = \frac{\gamma' - \alpha'}{\beta' - \alpha'}

Điều kiện hai tam giác đỉnh alpha, beta, gamma và alpha', beta', gamma' đồng dạng và có cùng hướng. Tỉ số số phức tại hai đỉnh tương ứng phải bằng nhau.

頂点（ちょうてん）α, β, γとα', β', γ'を持（も）つ2つの三角形（さんかくけい）が向（む）きを含（ふく）めて相似（そうじ）であるための条件（じょうけん）です。対応（たいおう）する頂点（ちょうてん）における複素（ふくそ）数（すう）の商（しょう）が一致（いっち）します。

EJU 2026 · MATH.15.3

Bài học này hướng dẫn xác định góc giữa ba điểm và điều kiện hình học trên mặt phẳng số phức. Bạn sẽ nắm vững cách dùng argument của thương hai số phức để giải các bài toán tam giác và điểm thuộc đường tròn.

本課（ほんか）では複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）の3点（てん）のなす角（かく）と図形（ずけい）的（てき）条件（じょうけん）の決定（けってい）方法（ほうほう）を解説（かいせつ）します。複素（ふくそ）数（すう）の商（しょう）の偏角（へんかく）を用（もち）いて三角形（さんかくけい）や同（どう）一（いち）円（えん）周上（しゅうじょう）の問題（もんだい）を解（と）く方法（ほうほう）を習得（しゅうとく）します。

複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）の3点（てん）のなす角（かく）
半直線のなす角一直線上にある条件直交する条件三角形の形状