Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Cực đại và cực tiểu của hàm số関数（かんすう）の極大（きょくだい）・極小（きょくしょう）

Công thức公式

f'(a) = 0
f'(a) = 0 \text{ かつ } f''(a) > 0
f'(a) = 0 \text{ かつ } f''(a) < 0

Ví dụ例題

Tìm các giá trị cực trị của hàm số \(f(x) = x^{3} - 3 x + 2\) bằng cách sử dụng đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp hai.

第（だい）一（いち）次（じ）導（どう）関数（かんすう）と第（だい）二（に）次（じ）導（どう）関数（かんすう）を用（もち）いて、関数（かんすう） \(f(x) = x^{3} - 3 x + 2\) の極値（きょくち）を求（もと）めよ。

  1. Tính các đạo hàm: f'\((x) = 3 x^{2} - 3\) và f''(x) = 6x. Giải f'(x) = 0 thu được \(3 x^{2} - 3 = 0\) nên x = 1 hoặc x = -1.導（どう）関数（かんすう）を計算（けいさん）すると f'\((x) = 3 x^{2} - 3\) および f''(x) = 6x となります。f'(x) = 0 を解（と）くと \(3 x^{2} - 3 = 0\) より x = 1 または x = -1 です。
  2. Xét tại x = -1: f'(-1) = 0 và f''(-1) = -6 < 0. Do đó x = -1 là điểm cực đại, giá trị cực đại là \(f(-1) = (-1)^{3} - 3 (-1) + 2 = 4\).x = -1 のとき f'(-1) = 0 かつ f''(-1) = -6 < 0 です。したがって x = -1 で極大（きょくだい）となり、極大（きょくだい）値（ち）は \(f(-1) = (-1)^{3} - 3 (-1) + 2 = 4\) です。
  3. Xét tại x = 1: f'(1) = 0 và f''(1) = 6 > 0. Do đó x = 1 là điểm cực tiểu, giá trị cực tiểu là \(f(1) = 1^{3} - 3 (1) + 2 = 0\).x = 1 のとき f'(1) = 0 かつ f''(1) = 6 > 0 です。したがって x = 1 で極小（きょくしょう）となり、極小（きょくしょう）値（ち）は \(f(1) = 1^{3} - 3 (1) + 2 = 0\) です。
Hàm số đạt giá trị cực đại bằng 4 tại x = -1 và đạt giá trị cực tiểu bằng 0 tại x = 1.関数（かんすう）は x = -1 で極大（きょくだい）値（ち） 4 をとり、x = 1 で極小（きょくしょう）値（ち） 0 をとります。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho hàm số \(f(x) = x^{2} - 6 x + 5\). Giá trị cực tiểu của hàm số là bao nhiêu?関数（かんすう） \(f(x) = x^{2} - 6 x + 5\) の極小（きょくしょう）値（ち）を求（もと）めよ。

2. Hàm số f(x) có f'(2) = 0 và f''(2) = -5. Kết luận nào sau đây đúng?関数（かんすう） f(x) について f'(2) = 0 かつ f''(2) = -5 であるとき、正（ただ）しい結論（けつろん）はどれか。

3. Cho hàm số \(f(x) = -x^{3} + 3 x\). Phát biểu nào sau đây đúng về các điểm cực trị của hàm số?関数（かんすう） \(f(x) = -x^{3} + 3 x\) の極値（きょくち）をとる点（てん）について、正（ただ）しい記述（きじゅつ）はどれか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.19.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.19.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Phân biệt khái niệm cực đại, cực tiểu, giá trị cực trị và điểm cực trị của hàm số.関数（かんすう）の極大（きょくだい）、極小（きょくしょう）、極値（きょくち）、極値（きょくち）をとる点（てん）という概念（がいねん）の違（ちが）いを明確（めいかく）に理解（りかい）する。
  2. Xác định điều kiện cần f'(a) = 0 và dấu của đạo hàm để tìm điểm cực trị.必要（ひつよう）条件（じょうけん） f'(a) = 0 と導（どう）関数（かんすう）の符号（ふごう）変化（へんか）から極値（きょくち）をとる点（てん）を特定（とくてい）する。
  3. Sử dụng đạo hàm cấp hai f''(a) để xét tính chất cực đại hay cực tiểu tại x = a.第（だい）二（に）次（じ）導（どう）関数（かんすう） f''(a) の符号（ふごう）を用（もち）いて x = a での極大（きょくだい）・極小（きょくしょう）を判定（はんてい）する技法（ぎほう）を習得（しゅうとく）する。
Trực giác · イメージ

Đỉnh núi và đáy thung lũng của đồ thị hàm sốグラフの山（やま）の頂上（ちょうじょう）と谷（たに）の底（そこ）

Khi đi lên đỉnh núi rồi đi xuống, độ dốc chuyển từ dương sang âm, điểm cao nhất đó gọi là cực đại. Nơi tiếp tuyến nằm ngang f'(a) = 0 đánh dấu điểm chuyển tiếp giữa tăng và giảm. Nếu độ cong lồi xuống dưới f''(a) > 0, điểm nằm ở đáy thung lũng chính là cực tiểu.

山（やま）を登（のぼ）って下（くだ）るとき、傾（かたむ）きは正（せい）から負（ふ）へと変化（へんか）し、その頂点（ちょうてん）が極大（きょくだい）となります。接線（せっせん）が水平（すいへい）になる f'(a) = 0 の点（てん）が増加（ぞうか）と減少（げんしょう）の切り替（きりか）わり目（め）です。グラフが下（した）に凸（とつ）の形（かたち） f''(a) > 0 であれば、谷（たに）の底（そこ）となる点（てん）が極小（きょくしょう）となります。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 極大（きょくだい）cực đại

    Trạng thái hàm số chuyển từ đồng biến sang nghịch biến khi qua x = a. Tại điểm này giá trị của hàm lớn hơn các điểm lân cận.

    x = a の前後（ぜんご）で関数（かんすう）が増加（ぞうか）から減少（げんしょう）へ転（てん）じる状態（じょうたい）です。この点（てん）において関数（かんすう）の値（あたい）は近傍（きんぼう）のどの値（あたい）よりも大（おお）きくなります。

  • 極小（きょくしょう）cực tiểu

    Trạng thái hàm số chuyển từ nghịch biến sang đồng biến khi qua x = a. Tại điểm này giá trị của hàm nhỏ hơn các điểm lân cận.

    x = a の前後（ぜんご）で関数（かんすう）が減少（げんしょう）から増加（ぞうか）へ転（てん）じる状態（じょうたい）です。この点（てん）において関数（かんすう）の値（あたい）は近傍（きんぼう）のどの値（あたい）よりも小（ちい）さくなります。

  • 極大（きょくだい）値（ち）giá trị cực đại

    Giá trị của hàm số f(a) tại điểm cực đại x = a. Đây là giá trị tung độ của điểm đỉnh trên đồ thị.

    極大（きょくだい）となる点（てん） x = a における関数（かんすう）の値（あたい） f(a) のことです。グラフ上（じょう）の山（やま）の頂点（ちょうてん）の y 座標（ざひょう）に相当（そうとう）します。

  • 極小（きょくしょう）値（ち）giá trị cực tiểu

    Giá trị của hàm số f(a) tại điểm cực tiểu x = a. Đây là giá trị tung độ của điểm đáy trên đồ thị.

    極小（きょくしょう）となる点（てん） x = a における関数（かんすう）の値（あたい） f(a) のことです。グラフ上（じょう）の谷（たに）の底（そこ）の y 座標（ざひょう）に相当（そうとう）します。

  • 極値（きょくち）cực trị

    Tên gọi chung cho cả giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số. Các điểm tại đó hàm số đạt cực trị được gọi là điểm cực trị.

    極大（きょくだい）値（ち）と極小（きょくしょう）値（ち）の総称（そうしょう）です。関数（かんすう）が極値（きょくち）をとる x の値（あたい）を極値（きょくち）をとる点（てん）と呼（よ）びます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：導（どう）関数（かんすう） f'(x) = 0 の解（かい）の算出（さんしゅつ）

    Bước 1: Tìm nghiệm của đạo hàm f'(x) = 0

    Tính đạo hàm f'(x) của hàm số và giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm nghi vấn x = a. Các điểm này là ứng viên cho vị trí cực trị.

    関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう） f'(x) を計算（けいさん）し、方程（ほうてい）式（しき） f'(x) = 0 を解（と）いて候補（こうほ）となる x = a を求（もと）めます。これらの点（てん）が極値（きょくち）の候補（こうほ）となります。

  2. 02
    ステップ2：f'(x) の符号（ふごう）変化（へんか）の調査（ちょうさ）

    Bước 2: Xét sự đổi dấu của đạo hàm f'(x)

    Kiểm tra dấu của f'(x) ở hai bên điểm x = a. Nếu đổi dấu từ dương sang âm thì là cực đại, từ âm sang dương thì là cực tiểu.

    点（てん） x = a の前後（ぜんご）における f'(x) の符号（ふごう）変化（へんか）を調（しら）べます。正（せい）から負（お）へ変化（へんか）すれば極大（きょくだい）、負（ふ）から正（せい）へ変化（へんか）すれば極小（きょくしょう）と判定（はんてい）します。

  3. 03
    ステップ3：第（だい）二（に）次（じ）導（どう）関数（かんすう） f''(a) による判定（はんてい）

    Bước 3: Dùng đạo hàm cấp hai f''(a) để xác định

    Nếu f'(a) = 0, tính f''(a). Nếu f''(a) < 0 thì x = a là điểm cực đại; nếu f''(a) > 0 thì x = a là điểm cực tiểu.

    f'(a) = 0 のとき f''(a) を計算（けいさん）します。f''(a) < 0 ならば x = a で極大（きょくだい）、f''(a) > 0 ならば x = a で極小（きょくしょう）となります。

  4. 04
    ステップ4：極値（きょくち） f(a) の計算（けいさん）

    Bước 4: Tính giá trị cực trị f(a)

    Thay điểm cực trị x = a vào hàm số ban đầu f(x) để thu được giá trị cực đại hoặc cực tiểu. Chú ý ghi rõ kết luận gồm cả điểm và giá trị cực trị.

    極値（きょくち）をとる点（てん） x = a を元（もと）の関数（かんすう） f(x) に代入（だいにゅう）して極大（きょくだい）値（ち）または極小（きょくしょう）値（ち）を算出（さんしゅつ）します。点（てん）と極値（きょくち）の両方（りょうほう）を明確（めいかく）に結論（けつろん）として記述（きじゅつ）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Cho rằng mọi điểm có f'(a) = 0 đều là điểm cực trị của hàm số.f'(a) = 0 となるすべての点（てん）が極値（きょくち）をとる点（てん）であると勘違（かんちが）いすること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）f'(a) = 0 chỉ là điều kiện cần; phải kiểm tra f'(x) có đổi dấu khi qua x = a hay không (ví dụ \(f(x) = x^{3}\) tại x = 0 có f'(0) = 0 nhưng không là cực trị).f'(a) = 0 は必要（ひつよう）条件（じょうけん）にすぎません。x = a の前後（ぜんご）で f'(x) の符号（ふごう）が変化（へんか）するか確認（かくにん）が必要（ひつよう）です（例（れい）：\(f(x) = x^{3}\) の x = 0）。

Nhầm lẫn f''(a) > 0 là cực đại và f''(a) < 0 là cực tiểu.f''(a) > 0 を極大（きょくだい）、f''(a) < 0 を極小（きょくしょう）と逆（ぎゃく）にして判定（はんてい）してしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Ghi nhớ f''(a) > 0 tương ứng với đồ thị lồi xuống (đáy thung lũng) nên là cực tiểu; f''(a) < 0 tương ứng đồ thị lồi lên (đỉnh núi) nên là cực đại.f''(a) > 0 は下（した）に凸（とつ）（谷（たに））のため極小（きょくしょう）、f''(a) < 0 は上（うえ）に凸（とつ）（山（やま））のため極大（きょくだい）となる関係（かんけい）を正確（せいかく）に記憶（きおく）しましょう。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Điều kiện cần để hàm số có đạo hàm đạt cực trị tại x = a là f'(a) = 0.微分（びぶん）可能（かのう）な関数（かんすう）が x = a で極値（きょくち）をとるための必要（ひつよう）条件（じょうけん）は f'(a) = 0 です。
  • Nếu f'(a) = 0 và f''(a) < 0 thì x = a là điểm cực đại; nếu f''(a) > 0 thì x = a là điểm cực tiểu.f'(a) = 0 のとき、f''(a) < 0 ならば極大（きょくだい）、f''(a) > 0 ならば極小（きょくしょう）となります。
  • Điểm cực trị là giá trị x = a, còn giá trị cực trị là tung độ f(a).極値（きょくち）をとる点（てん）は x = a の値（あたい）であり、極値（きょくち）は y 座標（ざひょう）の値（あたい） f(a) を指（さ）します。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

f'(a) = 0

Điều kiện cần để hàm số có đạo hàm f(x) đạt cực trị tại x = a. Tại điểm này tiếp tuyến với đồ thị nằm ngang.

微分（びぶん）可能（かのう）な関数（かんすう） f(x) が x = a で極値（きょくち）をとるための必要（ひつよう）条件（じょうけん）です。この点（てん）においてグラフの接線（せっせん）は水平（すいへい）になります。

f'(a) = 0 \text{ かつ } f''(a) > 0

Điều kiện đủ để x = a là điểm cực tiểu của hàm số. Đồ thị lồi xuống dưới tại điểm này.

x = a で関数（かんすう）が極小（きょくしょう）となるための十（じゅう）分（ふん）条件（じょうけん）です。このときグラフはその付近（ふきん）で下（した）に凸（とつ）の形状（けいじょう）となります。

f'(a) = 0 \text{ かつ } f''(a) < 0

Điều kiện đủ để x = a là điểm cực đại của hàm số. Đồ thị lồi lên trên tại điểm này.

x = a で関数（かんすう）が極大（きょくだい）となるための十（じゅう）分（ふん）条件（じょうけん）です。このときグラフはその付近（ふきん）で上（うえ）に凸（とつ）の形状（けいじょう）となります。

EJU 2026 · MATH.19.2

Cực đại và cực tiểu mô tả các điểm đỉnh cục bộ của đồ thị hàm số thông qua sự đổi dấu của đạo hàm. Việc xác định các điểm cực trị là chìa khóa để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trong bài thi EJU.

極大（きょくだい）および極小（きょくしょう）は、導（どう）関数（かんすう）の符号（ふごう）変化（へんか）を通（とお）して関数（かんすう）の局所（きょくしょ）的（てき）な山（やま）や谷（たに）を表（あらわ）します。極値（きょくち）を正（ただ）しく求（もと）めることは、EJU試験（しけん）における関数（かんすう）グラフの増減（ぞうげん）を把握（はあく）するための鍵（かぎ）となります。

関数（かんすう）の極大（きょくだい）・極小（きょくしょう）
極大極小極大値極小値