Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Định lý giá trị trung bình平均（へいきん）値（ち）の定理（ていり）

Công thức公式

\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)
f'(c) = 0
f(a+h) = f(a) + h f'(a + \theta h)
f'(x) > 0

Ví dụ例題

Cho hàm số \(f(x) = x^{2} - 4 x\) trên khoảng đóng [1, 4]. Tìm giá trị c thuộc khoảng mở (1, 4) thỏa mãn định lý giá trị trung bình.

閉（へい）区間（くかん） [1, 4] における関数（かんすう） \(f(x) = x^{2} - 4 x\) について、平均（へいきん）値（ち）の定理（ていり）を満（み）たす開（かい）区間（くかん） (1, 4) 内（うち）の c の値（あたい）を求（もと）めよ。

  1. Hàm số \(f(x) = x^{2} - 4 x\) là hàm đa thức nên liên tục trên [1, 4] và có đạo hàm f'(x) = 2x - 4 trên (1, 4).関数（かんすう） \(f(x) = x^{2} - 4 x\) は多項（たこう）式（しき）関数（かんすう）なので閉（へい）区間（くかん） [1, 4] で連続（れんぞく）であり、開（かい）区間（くかん） (1, 4) で微分（びぶん）可能（かのう）で f'(x) = 2x - 4 です。
  2. Tính giá trị tại hai đầu khoảng: f(1) = 1 - 4 = -3 và f(4) = 16 - 16 = 0. Tỷ số biến thiên trung bình là (f(4) - f(1)) / (4 - 1) = (0 - (-3)) / 3 = 1.両端（りょうたん）での値（あたい）を計算（けいさん）すると f(1) = -3、f(4) = 0 となります。平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ）は (f(4) - f(1)) / (4 - 1) = (0 - (-3)) / 3 = 1 です。
  3. Giải phương trình f'(c) = 1 hay 2c - 4 = 1. Ta được c = 5/2 = 2.5, giá trị này thuộc khoảng mở (1, 4).f'(c) = 1 つまり 2c - 4 = 1 を解（と）くと、c = 5/2 = 2.5 が得（え）られます。この値（あたい）は開（ひらけ）区間（くかん） (1, 4) 内（うち）に含（ふく）まれます。
Vậy giá trị c cần tìm là c = 5/2.したがって、求（もと）める c の値（あたい）は c = 5/2 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho hàm số \(f(x) = x^{3}\) trên khoảng đóng [0, 3]. Giá trị c thuộc khoảng mở (0, 3) thỏa mãn định lý giá trị trung bình là bao nhiêu?閉（へい）区間（くかん） [0, 3] における関数（かんすう） \(f(x) = x^{3}\) について、平均（へいきん）値（ち）の定理（ていり）を満（み）たす開（かい）区間（くかん） (0, 3) 内（うち）の c の値（あたい）を求（もと）めよ。

2. Cho hàm số \(f(x) = x^{2} - 2 x\) trên khoảng đóng [0, 2]. Giá trị c thuộc (0, 2) thỏa mãn f'(c) = 0 theo định lý Rolle là bao nhiêu?閉（へい）区間（くかん） [0, 2] における関数（かんすう） \(f(x) = x^{2} - 2 x\) について、ロルの定理（ていり）を満（み）たす開（かい）区間（くかん） (0, 2) 内（うち）の c の値（あたい）を求（もと）めよ。

3. Nếu hàm số f(x) có f'(x) > 0 trên khoảng mở (1, 5) thì kết luận nào sau đây đúng về hàm số f(x) trên [1, 5]?開（かい）区間（くかん） (1, 5) において f'(x) > 0 であるとき、閉（へい）区間（くかん） [1, 5] における関数（かんすう） f(x) について正（ただ）しい記述（きじゅつ）はどれか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.19.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.19.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nắm vững điều kiện áp dụng định lý Rolle và định lý giá trị trung bình trên khoảng đóng và khoảng mở.閉（へい）区間（くかん）および開（かい）区間（くかん）におけるロルの定理（ていり）と平均（へいきん）値（ち）の定理（ていり）の適用（てきよう）条件（じょうけん）を理解（りかい）する。
  2. Tính chính xác giá trị điểm c thỏa mãn tỷ số biến thiên trung bình bằng đạo hàm f'(c).平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ）が微分（びぶん）係数（けいすう） f'(c) に等（ひと）しくなる点（てん） c の値（あたい）を正確（せいかく）に求（もと）める。
  3. Vận dụng đạo hàm f'(x) > 0 để khảo sát sự biến thiên của hàm số.微分（びぶん）係数（けいすう） f'(x) > 0 を用（もち）いて関数（かんすう）の増減（ぞうげん）を調（しら）べる応用（おうよう）力（りょく）を身（み）につける。
Trực giác · イメージ

Ý nghĩa hình học của hệ số góc đường thẳng nối hai điểm2点（てん）を結（むす）ぶ直線（ちょくせん）と接線（せっせん）の傾（かたむ）きの幾何（きか）学（がく）的（てき）意味（いみ）

Nếu nối hai điểm bất kỳ trên đồ thị hàm số liên tục, đường nối đó có một hệ số góc trung bình. Định lý giá trị trung bình khẳng định luôn tồn tại ít nhất một điểm ở giữa mà tiếp tuyến tại đó song song với đường nối hai đầu. Khi hai đầu có tung độ bằng nhau, tiếp tuyến này nằm ngang, chính là định lý Rolle.

連続（れんぞく）な関数（かんすう）のグラフ上（じょう）の2点（てん）を結（むす）ぶと、その直線（ちょくせん）の傾（かたむ）きは平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ）を表（あらわ）します。平均（へいきん）値（ち）の定理（ていり）は、その2点（てん）間（かん）に、接線（せっせん）の傾（かたむ）きが結（むす）んだ直線（ちょくせん）と平行（へいこう）になる点（てん）が少（すく）なくとも1つ存在（そんざい）することを主張（しゅちょう）します。両端（りょうたん）のy座標（ざひょう）が等（ひと）しい特別（とくべつ）な場合（ばあい）がロルの定理（ていり）です。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 平均（へいきん）値（ち）の定理（ていり）định lý giá trị trung bình

    Hàm số liên tục trên khoảng đóng [a, b] và có đạo hàm trên khoảng mở (a, b) thì tồn tại c thuộc (a, b) sao cho tỷ số biến thiên bằng f'(c). Định lý này cho phép liên kết giá trị hàm số tại hai đầu khoảng với đạo hàm.

    閉（へい）区間（くかん） [a, b] で連続（れんぞく）かつ開（かい）区間（くかん） (a, b) で微分（びぶん）可能（かのう）な関数（かんすう）において、平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ）が f'(c) と等（ひと）しくなる c が開（ひらけ）区間（くかん）内（ない）に存在（そんざい）します。この定理（ていり）は区間（くかん）両端（りょうたん）の値（あたい）と微分（びぶん）係数（けいすう）を関連（かんれん）付（つ）けます。

  • ロルの定理（ていり）định lý Rolle

    Trường hợp đặc biệt của định lý giá trị trung bình khi f(a) = f(b). Khi đó tồn tại c trong khoảng mở (a, b) sao cho f'(c) = 0.

    平均（へいきん）値（ち）の定理（ていり）において f(a) = f(b) となる特別（とくべつ）な場合（ばあい）です。このとき、開（かい）区間（くかん） (a, b) 内（うち）に f'(c) = 0 となる点（てん） c が存在（そんざい）します。

  • 閉（へい）区間（くかん）khoảng đóng

    Tập hợp các số thực bao gồm cả hai đầu mút [a, b]. Hàm số cần đạt tính liên tục trên khoảng đóng này để áp dụng định lý.

    両端（りょうたん）の点（てん）を含（ふく）む実数（じっすう）の集合（しゅうごう） [a, b] です。定理（ていり）を適用（てきよう）するには、この閉（へい）区間（くかん）で関数（かんすう）が連続（れんぞく）である必要（ひつよう）があります。

  • 開（かい）区間（くかん）khoảng mở

    Tập hợp các số thực không bao gồm hai đầu mút (a, b). Điều kiện có đạo hàm của hàm số chỉ cần xét trên khoảng mở này.

    両端（りょうたん）の点（てん）を含（ふく）まない実数（じっすう）の集合（しゅうごう） (a, b) です。関数（かんすう）の微分（びぶん）可能（かのう）性（せい）はこの開（かい）区間（くかん）内（ない）で満（み）たされている必要（ひつよう）があります。

  • はさみ打（う）ちの定理（ていり）định lý kẹp

    Phương pháp kẹp giới hạn của một hàm số giữa hai hàm số khác có cùng giới hạn. Thường kết hợp với đánh giá từ định lý giá trị trung bình để tìm giới hạn.

    ある関数（かんすう）を同（おな）じ極限（きょくげん）をもつ2つの関数（かんすう）で挟（はさ）んで極限（きょくげん）を求（もと）める定理（ていり）です。平均（へいきん）値（ち）の定理（ていり）による評価（ひょうか）と組み合（くみあ）わせて極限（きょくげん）を求（もと）める際（さい）によく用（もち）いられます。

  • 関数（かんすう）の増減（ぞうげん）sự biến thiên của hàm số

    Chiều tăng hay giảm của hàm số trên một khoảng. Nếu f'(x) > 0 trên khoảng mở thì hàm số đồng biến trên khoảng đó.

    ある区間（くかん）における関数（かんすう）の増加（ぞうか）または減少（げんしょう）の様子（ようす）です。開（かい）区間（くかん）で f'(x) > 0 であれば、関数（かんすう）はその区間（くかん）で単調（たんちょう）に増加（ぞうか）します。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：連続（れんぞく）性（せい）と微分（びぶん）可能（かのう）性（せい）の条件（じょうけん）確認（かくにん）

    Bước 1: Kiểm tra điều kiện liên tục và tính đạo hàm

    Xác định hàm số f(x) liên tục trên khoảng đóng [a, b] và tính đạo hàm f'(x) trên khoảng mở (a, b). Đảm bảo hàm số không bị gián đoạn tại bất kỳ điểm nào.

    関数（かんすう） f(x) が閉（へい）区間（くかん） [a, b] で連続（れんぞく）か確認（かくにん）し、開（かい）区間（くかん） (a, b) での導（どう）関数（かんすう） f'(x) を計算（けいさん）します。途中（とちゅう）で不（ふ）連続（れんぞく）や微分（びぶん）不能（ふのう）な点（てん）がないか注意（ちゅうい）します。

  2. 02
    ステップ2：平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ）の計算（けいさん）

    Bước 2: Lập tỷ số biến thiên trung bình

    Tính giá trị f(a) và f(b) tại hai đầu khoảng. Sau đó lập tỷ số (f(b) - f(a)) / (b - a).

    両（りょう）端点（たんてん）における値（あたい） f(a) と f(b) を求（もと）めます。続（つづ）いて平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ） (f(b) - f(a)) / (b - a) を計算（けいさん）します。

  3. 03
    ステップ3：方程（ほうてい）式（しき） f'(c) の解法（かいほう）

    Bước 3: Giải phương trình f'(c) bằng tỷ số biến thiên

    Cho f'(c) bằng giá trị tỷ số vừa tính được ở bước 2. Giải phương trình tìm c và kiểm tra c có nằm trong khoảng mở (a, b) hay không.

    ステップ2で得（え）た平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ）と f'(c) を等（ひと）しいとおきます。c についての方程（ほうてい）式（しき）を解（と）き、解（かい）が開（ひらけ）区間（くかん） (a, b) 内（うち）にあるか検証（けんしょう）します。

  4. 04
    ステップ4：h と θ を用（もち）いた表現（ひょうげん）への変形（へんけい）

    Bước 4: Biến đổi dạng biểu diễn theo h và \(\theta\)

    Đặt b = a + h và \(c = a + \theta\cdot h\) với \(\theta\) nằm trong khoảng (0, 1). Viết lại công thức dưới dạng f(a+h) = f(a) + h * f'\((a + \theta\cdot h)\).

    b = a + h および c = a + θh (0 < θ < 1) とおきます。公式（こうしき）を f(a+h) = f(a) + h f'(a + θh) の形（かたち）に書き換（かきか）えて応用（おうよう）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên kiểm tra tính liên tục trên khoảng đóng và tính có đạo hàm trên khoảng mở trước khi áp dụng định lý.定理（ていり）を適用（てきよう）する前（まえ）に、閉（へい）区間（くかん）での連続（れんぞく）性（せい）と開（ひらけ）区間（くかん）での微分（びぶん）可能（かのう）性（せい）を確認（かくにん）し忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn ghi rõ hàm số liên tục trên [a, b] và có đạo hàm trên (a, b) trong lời giải để tránh bị trừ điểm trình bày.記述（きじゅつ）式（しき）問題（もんだい）では、関数（かんすう）が [a, b] で連続（れんぞく）かつ (a, b) で微分（びぶん）可能（かのう）であることを必（かなら）ず明記（めいき）します。

Nhận nghiệm c nằm ngoài khoảng mở (a, b) hoặc tại hai điểm đầu mút a, b.求（もと）めた c の値（あたい）が開（ひらけ）区間（くかん） (a, b) の外側（そとがわ）や端点（たんてん） a, b に一致（いっち）しているにもかかわらず解（かい）として採用（さいよう）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Định lý giá trị trung bình chỉ đảm bảo c nằm nghiêm ngặt trong khoảng mở (a, b), do đó phải loại nghiệm c không thuộc (a, b).平均（へいきん）値（ち）の定理（ていり）における c は必（かなら）ず開（ひらけ）区間（くかん） (a, b) の内部（ないぶ）に存在（そんざい）するため、範囲（はんい）外（がい）や端点（たんてん）の解（かい）は除外（じょがい）しなければなりません。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Định lý giá trị trung bình yêu cầu hàm số liên tục trên [a, b] và có đạo hàm trên (a, b).平均（へいきん）値（ち）の定理（ていり）の適用（てきよう）には、閉（へい）区間（くかん） [a, b] での連続（れんぞく）性（せい）と開（ひらけ）区間（くかん） (a, b) での微分（びぶん）可能（かのう）性（せい）が必要（ひつよう）です。
  • Định lý Rolle là trường hợp đặc biệt khi f(a) = f(b), khi đó tồn tại c trong (a, b) sao cho f'(c) = 0.ロルの定理（ていり）は f(a) = f(b) の特別（とくべつ）な場合（ばあい）であり、開（かい）区間（くかん）内（ない）に f'(c) = 0 となる c が存在（そんざい）します。
  • Điều kiện f'(x) > 0 trên khoảng mở cho biết hàm số tăng (đồng biến) trên khoảng đó.開（かい）区間（くかん）での f'(x) > 0 という条件（じょうけん）は、関数（かんすう）がその区間（くかん）で単調（たんちょう）増加（ぞうか）することを保証（ほしょう）します。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)

Công thức cơ bản của định lý giá trị trung bình với c thuộc khoảng mở (a, b). Tỷ số phía trái đại diện cho tốc độ biến thiên trung bình.

開（かい）区間（くかん） (a, b) 内（うち）の c に対（たい）する平均（へいきん）値（ち）の定理（ていり）の基本（きほん）公式（こうしき）です。左辺（さへん）は平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ）を表（あらわ）します。

f'(c) = 0

Kết luận của định lý Rolle khi f(a) = f(b). Tồn tại điểm c mà tại đó tiếp tuyến song song với trục hoành.

f(a) = f(b) のときのロルの定理（ていり）の結論（けつろん）です。接線（せっせん）の傾（かたむ）きが 0 になる点（てん） c が存在（そんざい）します。

f(a+h) = f(a) + h f'(a + \theta h)

Dạng biểu diễn khác của định lý giá trị trung bình với \(0 < \theta < 1\). Thường dùng trong các bài toán xấp xỉ và giới hạn.

0 < θ < 1 とおいた平均（へいきん）値（ち）の定理（ていり）の別（べつ）形（がた）表現（ひょうげん）です。近似（きんじ）計算（けいさん）や極限（きょくげん）の問題（もんだい）でよく利用（りよう）されます。

f'(x) > 0

Điều kiện đạo hàm dương trên một khoảng mở. Nếu f'(x) > 0 trên khoảng mở thì f(x) tăng nghiêm ngặt trên khoảng đóng tương ứng.

開（かい）区間（くかん）において導（どう）関数（かんすう）が正（せい）である条件（じょうけん）です。これにより関数（かんすう）はその区間（くかん）で単調（たんちょう）に増加（ぞうか）することが保証（ほしょう）されます。

EJU 2026 · MATH.19.2

Định lý giá trị trung bình kết nối tốc độ biến thiên trung bình trên một khoảng với đạo hàm tại một điểm bên trong. Đây là công cụ nền tảng để phân tích sự biến thiên của hàm số trong chương trình EJU Toán Course 2.

平均（へいきん）値（ち）の定理（ていり）は、区間（くかん）における平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ）と区間（くかん）内（ない）の点（てん）における微分（びぶん）係数（けいすう）を結（むす）びつける定理（ていり）です。これはEJU数学（すうがく）コース2において関数（かんすう）の増減（ぞうげん）を分析（ぶんせき）するための基礎（きそ）的（てき）な道具（どうぐ）となります。

平均（へいきん）値（ち）の定理（ていり）
平均値の定理ロルの定理閉区間開区間