Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Dạng cực của số phức Phần 1複素（ふくそ）数（すう）の極（ごく）形式（けいしき） 第（だい）1部（ぶ）

Công thức公式

z = r(\cos\theta + i\sin\theta)
r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\cos\theta = \frac{a}{r}
\sin\theta = \frac{b}{r}

Ví dụ例題

Chuyển số phức z = 1 + i sang dạng cực \(z = r (\cos \theta + i \sin \theta)\).

複素（ふくそ）数（すう） z = 1 + i を極（ごく）形式（けいしき） \(z = r (\cos \theta + i \sin \theta)\) に変換（へんかん）しなさい。

  1. Tính \(r = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}\).\(r = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}\) を計算（けいさん）します。
  2. Tìm \(\theta\) thỏa mãn \(\cos \theta = 1 / \sqrt{2}\) và \(\sin \theta = 1 / \sqrt{2}\). Ta chọn \(\theta = \pi / 4\).\(\cos \theta = 1 / \sqrt{2}\) かつ \(\sin \theta = 1 / \sqrt{2}\) を満（み）たす \(\theta\) を求（もと）めます。\(\theta = \pi / 4\) を選（えら）びます。
  3. Dạng cực của z là \(z = \sqrt{2} (\cos (\pi / 4) + i \sin (\pi / 4))\).z の極（ごく）形式（けいしき）は \(z = \sqrt{2} (\cos (\pi / 4) + i \sin (\pi / 4))\) となります。
Vậy \(z = \sqrt{2} (\cos (\pi / 4) + i \sin (\pi / 4))\).したがって、\(z = \sqrt{2} (\cos (\pi / 4) + i \sin (\pi / 4))\) です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho số phức z = 2i. Hãy xác định giá trị tuyệt đối r và góc argument \(\theta\) \((0 \le \theta < 2 \pi)\).複素（ふくそ）数（すう） z = 2i の絶対（ぜったい）値（ち） r と偏角（へんかく） \(\theta\) \((0 \le \theta < 2 \pi)\) を求（もと）めなさい。

2. Số phức \(z = 3 (\cos (\pi / 3) + i \sin (\pi / 3))\) có phần thực a bằng bao nhiêu?複素（ふくそ）数（すう） \(z = 3 (\cos (\pi / 3) + i \sin (\pi / 3))\) の実部（じつぶ） a はいくらですか。

3. Cho số phức z = -2. Dạng cực nào sau đây biểu diễn đúng z?複素（ふくそ）数（すう） z = -2 を正（ただ）しく表（あらわ）す極（ごく）形式（けいしき）はどれですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.15.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.15.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu định nghĩa dạng cực \(z = r (\cos \theta + i \sin \theta)\) và các thành phần r, \(\theta\).極（ごく）形式（けいしき） \(z = r (\cos \theta + i \sin \theta)\) の定義（ていぎ）と構成（こうせい）要素（ようそ） r、\(\theta\) を理解（りかい）する。
  2. Biết cách xác định mô đun r và góc argument \(\theta\) từ dạng đại số a + bi.代数（だいすう）形式（けいしき） a + bi から絶対（ぜったい）値（ち） r と偏角（へんかく） \(\theta\) を求（もと）める方法（ほうほう）を習得（しゅうとく）する。
Trực giác · イメージ

Biểu diễn số phức bằng khoảng cách và góc quay距離（きょり）と回転（かいてん）角（かく）による複素（ふくそ）数（すう）の表現（ひょうげん）

Thay vì dùng tọa độ vuông góc (a, b), dạng cực dùng khoảng cách r từ gốc O và góc quay \(\theta\) so với trục thực dương. Cách biểu diễn này giúp việc nhân chia số phức trở nên trực quan hơn.

直交（ちょっこう）座標（ざひょう） (a, b) の代（か）わりに、極（ごく）形式（けいしき）は原点（げんてん） O からの距離（きょり） r と正（せい）の実（じつ）軸（じく）に対（たい）する回転（かいてん）角（かく） \(\theta\) を使用（しよう）します。この表現（ひょうげん）により、複素（ふくそ）数（すう）の乗除（じょうじょ）がより直感（ちょっかん）的（てき）に理解（りかい）できるようになります。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 極（ごく）形式（けいしき）dạng cực

    Cách biểu diễn số phức z dưới dạng \(r (\cos \theta + i \sin \theta)\), trong đó r là giá trị tuyệt đối và \(\theta\) là góc argument.

    複素（ふくそ）数（すう） z を \(r (\cos \theta + i \sin \theta)\) の形（かたち）で表（あらわ）す形式（けいしき）で、r は絶対（ぜったい）値（ち）、\(\theta\) は偏角（へんかく）です。

  • 偏角（へんかく）góc argument

    Góc quay \(\theta\) tạo bởi tia phần thực dương và tia nối từ gốc O đến điểm biểu diễn số phức z.

    正（せい）の実（じつ）軸（じく）の半（はん）直線（ちょくせん）と、原点（げんてん） O から複素（ふくそ）数（すう） z を表（あらわ）す点（てん）への半（はん）直線（ちょくせん）がなす角（かく） \(\theta\) です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    絶対（ぜったい）値（ち） r を計算（けいさん）する

    Tính giá trị tuyệt đối r

    Từ z = a + bi, tính r = |z| = \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\). Lưu ý r > 0 khi z khác 0.

    z = a + bi から r = |z| = \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\) を計算（けいさん）します。z != 0 のとき r > 0 となることに注意（ちゅうい）します。

  2. 02
    \(\cos \theta\) と \(\sin \theta\) を特定（とくてい）する

    Xác định \(\cos \theta\) và \(\sin \theta\)

    Tính \(\cos \theta = a / r\) và \(\sin \theta = b / r\). Sử dụng hai giá trị này để tìm góc argument \(\theta\) thích hợp.

    \(\cos \theta = a / r\) および \(\sin \theta = b / r\) を計算（けいさん）します。これら2つの値（あたい）を用（もち）いて適切（てきせつ）な偏角（へんかく） \(\theta\) を求（もと）めます。

  3. 03
    複素（ふくそ）数（すう）を極（ごく）形式（けいしき）で記述（きじゅつ）する

    Viết số phức dưới dạng cực

    Thay r và \(\theta\) vào biểu thức \(z = r (\cos \theta + i \sin \theta)\). Kiểm tra lại tính chính xác bằng cách mở ngoặc tính về a + bi.

    r と \(\theta\) を \(z = r (\cos \theta + i \sin \theta)\) の式（しき）に代入（だいにゅう）します。展開（てんかい）して a + bi に戻（もど）るか確認（かくにん）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Chỉ dùng một trong hai hệ thức \(\cos \theta\) hoặc \(\sin \theta\) dẫn đến chọn sai góc \(\theta\).\(\cos \theta\) または \(\sin \theta\) のいずれか一方（いっぽう）のみを使用（しよう）して、誤（あやま）った角（かく） \(\theta\) を選択（せんたく）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Cần thỏa mãn đồng thời cả \(\cos \theta = a / r\) và \(\sin \theta = b / r\) để xác định đúng góc \(\theta\) theo góc phần tư.象限（しょうげん）に応（おう）じて正（ただ）しい角（かく） \(\theta\) を特定（とくてい）するために、\(\cos \theta = a / r\) と \(\sin \theta = b / r\) の両方（りょうほう）を同時（どうじ）に満（み）たす必要（ひつよう）があります。

Nhầm dấu trừ trong dạng cực, ví dụ viết \(\cos \theta - i \sin \theta\) thay vì dạng chuẩn \(r (\cos \theta + i \sin \theta)\).極（ごく）形式（けいしき）の符号（ふごう）を誤（あやま）り、標準（ひょうじゅん）形（けい） \(r (\cos \theta + i \sin \theta)\) ではなく \(\cos \theta - i \sin \theta\) と記述（きじゅつ）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Dạng cực chuẩn luôn có dấu cộng giữa \(\cos \theta\) và \(i \sin \theta\).標準（ひょうじゅん）的（てき）な極（ごく）形式（けいしき）では、\(\cos \theta\) と \(i \sin \theta\) の間（あいだ）は常（つね）にプラス記号（きごう）です。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Dạng cực \(z = r (\cos \theta + i \sin \theta)\) biểu diễn số phức z qua giá trị tuyệt đối r và góc argument \(\theta\).極（ごく）形式（けいしき） \(z = r (\cos \theta + i \sin \theta)\) は、絶対（ぜったい）値（ち） r と偏角（へんかく） \(\theta\) を用（もち）いて複素（ふくそ）数（すう） z を表（あらわ）します。
  • Mô đun \(r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) luôn thỏa mãn r > 0 với z khác 0.絶対（ぜったい）値（ち） \(r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) は、z != 0 のとき常（つね）に r > 0 を満（み）たします。
  • Góc argument \(\theta\) được xác định đồng thời bởi hai công thức \(\cos \theta = a / r\) và \(\sin \theta = b / r\).偏角（へんかく） \(\theta\) は、2つの公式（こうしき） \(\cos \theta = a / r\) および \(\sin \theta = b / r\) によって同時（どうじ）に特定（とくてい）されます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

z = r(\cos\theta + i\sin\theta)

Dạng cực của số phức z với r là giá trị tuyệt đối và \(\theta\) là góc argument.

絶対（ぜったい）値（ち） r と偏角（へんかく） \(\theta\) を用（もち）いた複素（ふくそ）数（すう） z の極（ごく）形式（けいしき）。

r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}

Giá trị tuyệt đối r của số phức z = a + bi.

複素（ふくそ）数（すう） z = a + bi の絶対（ぜったい）値（ち） r。

\cos\theta = \frac{a}{r}

Công thức xác định cos của góc argument từ phần thực a và r.

実部（じつぶ） a と r から偏角（へんかく）のコサインを求（もと）める公式（こうしき）。

\sin\theta = \frac{b}{r}

Công thức xác định sin của góc argument từ phần ảo b và r.

虚部（きょぶ） b と r から偏角（へんかく）のサインを求（もと）める公式（こうしき）。

EJU 2026 · MATH.15.1

Bài học này giới thiệu dạng cực của số phức thông qua mô đun và góc argument trên mặt phẳng số phức. Bạn sẽ học cách biểu diễn số phức z khác 0 qua r, \(\cos \theta\) và \(\sin \theta\).

本課（ほんか）では、複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）の絶対（ぜったい）値（ち）と偏角（へんかく）を用（もち）いて複素（ふくそ）数（すう）の極（ごく）形式（けいしき）を導入（どうにゅう）します。0 でない複素（ふくそ）数（すう） z を r、\(\cos \theta\)、\(\sin \theta\) で表（あらわ）す方法（ほうほう）を学（まな）びます。

複素（ふくそ）数（すう）の極（ごく）形式（けいしき） 第（だい）1部（ぶ）
極形式偏角