Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Dạng cực của số phức Phần 2複素（ふくそ）数（すう）の極（ごく）形式（けいしき） 第（だい）2部（ぶ）

Công thức公式

\cos(-\theta) = \cos\theta, \quad \sin(-\theta) = -\sin\theta
\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) = \sin\theta, \quad \sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) = \cos\theta
\cos(\pi+\theta) = -\cos\theta, \quad \sin(\pi+\theta) = -\sin\theta
\overline{z} = r(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))

Ví dụ例題

Cho số phức z = 2(sin(π/6) - i cos(π/6)). Hãy biến đổi z về dạng cực chuẩn r(cosθ + i sinθ).

複素（ふくそ）数（すう） z = 2(sin(π/6) - i cos(π/6)) が与（あた）えられています。z を標準（ひょうじゅん）極（きょく）形式（けいしき） r(cosθ + i sinθ) に変形（へんけい）しなさい。

  1. Dùng công thức cos(π/2 - θ) = sinθ và sin(π/2 - θ) = cosθ với θ = π/6. Ta có sin(π/6) = cos(π/3) và cos(π/6) = sin(π/3).θ = π/6 に対（たい）して公式（こうしき） cos(π/2 - θ) = sinθ および sin(π/2 - θ) = cosθ を適用（てきよう）します。sin(π/6) = cos(π/3) かつ cos(π/6) = sin(π/3) となります。
  2. Thay vào biểu thức ta được z = 2(cos(π/3) - i sin(π/3)). Dùng công thức góc đối cos(-θ) = cosθ và sin(-θ) = -sinθ với θ = π/3.式（しき）に代入（だいにゅう）すると z = 2(cos(π/3) - i sin(π/3)) となります。θ = π/3 に対（たい）して負（ふ）角（かく）の公式（こうしき） cos(-θ) = cosθ および sin(-θ) = -sinθ を用（もち）います。
  3. Biểu thức trở thành z = 2(cos(-π/3) + i sin(-π/3)). Đây là dạng cực chuẩn với r = 2 và argument θ = -π/3.式（しき）は z = 2(cos(-π/3) + i sin(-π/3)) となります。これは r = 2、偏角（へんかく） θ = -π/3 の標準（ひょうじゅん）極（きょく）形式（けいしき）です。
Kết quả dạng cực chuẩn của số phức z là 2(cos(-π/3) + i sin(-π/3)).複素（ふくそ）数（すう） z の標準（ひょうじゅん）極（きょく）形式（けいしき）は 2(cos(-π/3) + i sin(-π/3)) です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Dạng cực chuẩn của số phức z = 3(cos(π/4) - i sin(π/4)) là biểu thức nào sau đây?複素（ふくそ）数（すう） z = 3(cos(π/4) - i sin(π/4)) の標準（ひょうじゅん）極（きょく）形式（けいしき）として正（ただ）しいものはどれですか。

2. Cho số phức z = 5(cos(π/6) + i sin(π/6)). Dạng cực của số phức liên hợp z-bar là gì?複素（ふくそ）数（すう） z = 5(cos(π/6) + i sin(π/6)) に対（たい）し、共役（きょうやく）複素（ふくそ）数（すう） z-bar の極（ごく）形式（けいしき）はどれですか。

3. Biến đổi số phức z = -4(cos(π/5) + i sin(π/5)) về dạng cực chuẩn có r > 0. Kết quả đúng là gì?複素（ふくそ）数（すう） z = -4(cos(π/5) + i sin(π/5)) を r > 0 の標準（ひょうじゅん）極（きょく）形式（けいしき）に変形（へんけい）した正（ただ）しい結果（けっか）はどれですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.15.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.15.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nắm vững cách biến đổi biểu thức số phức về dạng cực chuẩn r(cosθ + i sinθ).複素（ふくそ）数式（すうしき）を標準（ひょうじゅん）極（きょく）形式（けいしき） r(cosθ + i sinθ) に変形（へんけい）する方法（ほうほう）を習得（しゅうとく）する。
  2. Áp dụng các công thức góc liên quan cos(-θ), cos(π/2 - θ), cos(π + θ) để xử lý dấu và pha.関連（かんれん）角（かく）の公式（こうしき） cos(-θ)、cos(π/2 - θ)、cos(π + θ) を適用（てきよう）して符号（ふごう）や位相（いそう）を処理（しょり）する。
  3. Viết dạng cực của số phức liên hợp z-bar một cách chính xác.共役（きょうやく）複素（ふくそ）数（すう） z-bar の極（ごく）形式（けいしき）を正確（せいかく）に記述（きじゅつ）する。
Trực giác · イメージ

Đưa các dạng biến tấu lượng giác về dạng chuẩn r(cosθ + i sinθ)様々（さまざま）な三角（さんかく）関数（かんすう）の変形（へんけい）を標準（ひょうじゅん）形（けい） r(cosθ + i sinθ) に揃（そろ）える直感（ちょっかん）

Dạng cực chuẩn của số phức luôn yêu cầu dấu cộng giữa cos và i sin, đồng thời góc của cos và sin phải bằng nhau. Khi gặp dấu trừ hoặc góc lệch pha như π/2 hay π, ta dùng đường tròn đơn vị và góc tổng quát để quy về dạng chuẩn. Điều này giúp xác định chính xác argument và môđun của số phức.

複素（ふくそ）数（すう）の標準（ひょうじゅん）極（きょく）形式（けいしき）は、cos と i sin の間（あいだ）が常（つね）にプラスであり、両者（りょうしゃ）の角（かく）が一致（いっち）している必要（ひつよう）があります。マイナス符号（ふごう）や π/2、π の位相（いそう）のずれがある場合（ばあい）、単位（たんい）円（えん）と一般（いっぱん）角（かく）を利用（りよう）して標準（ひょうじゅん）形（けい）に直（なお）します。これにより、複素（ふくそ）数（すう）の絶対（ぜったい）値（ち）と偏角（へんかく）を正確（せいかく）に特定（とくてい）できます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 単位（たんい）円（えん）đường tròn đơn vị

    Đường tròn bán kính bằng 1 có tâm tại gốc tọa độ, dùng để xác định các giá trị lượng giác của góc. Nó giúp biểu thị tọa độ của các điểm tương ứng với góc tổng quát trên mặt phẳng.

    原点（げんてん）を中心（ちゅうしん）とする半径（はんけい）1の円（えん）であり、角（かど）の三角（さんかく）関数（かんすう）の値（あたい）を定（さだ）めるために用（もち）いられます。平面（へいめん）上（じょう）の一般（いっぱん）角（かく）に対応（たいおう）する点（てん）の座標（ざひょう）を表（あらわ）すのに役立（やくだ）ちます。

  • 一般（いっぱん）角（かく）góc tổng quát

    Góc được mở rộng xét theo chiều quay, có thể nhận giá trị âm hoặc lớn hơn 2π. Việc sử dụng góc tổng quát cho phép biểu diễn chính xác vị trí của số phức trên mặt phẳng.

    回転（かいてん）方向（ほうこう）を考慮（こうりょ）して拡張（かくちょう）された角（かど）であり、負（ふ）の値（あたい）や 2π より大（おお）きい値（あたい）を取（と）ることができます。一般（いっぱん）角（かく）を用（もち）いることで、平面（へいめん）上（じょう）の複素（ふくそ）数（すう）の位置（いち）を正確（せいかく）に表（あらわ）せます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：複素（ふくそ）数式（すうしき）の形式（けいしき）の確認（かくにん）

    Bước 1: Kiểm tra dạng của biểu thức số phức

    Nhận biết dấu của phần thực, phần ảo và so sánh góc giữa cos và sin. Xác định xem biểu thức đã đúng dạng chuẩn r(cosθ + i sinθ) với r > 0 hay chưa.

    実部（じつぶ）・虚部（きょぶ）の符号（ふごう）を確認（かくにん）し、cos と sin の角（かく）を比較（ひかく）します。式（しき）が r > 0 の標準（ひょうじゅん）形（けい） r(cosθ + i sinθ) になっているか判定（はんてい）します。

  2. 02
    ステップ2：負（ふ）の符号（ふごう）や位相（いそう）差（さ）の調整（ちょうせい）

    Bước 2: Xử lý dấu trừ bằng góc đối hoặc góc phụ/bù

    Nếu có dấu trừ trước i sin, dùng công thức cos(-θ) = cosθ và sin(-θ) = -sinθ để chuyển thành r(cos(-θ) + i sin(-θ)). Nếu có dấu trừ trước cos, dùng công thức cos(π+θ) = -cosθ và sin(π+θ) = -sinθ.

    i sin の前（まえ）にマイナスがある場合（ばあい）は cos(-θ) = cosθ および sin(-θ) = -sinθ を用（もち）いて r(cos(-θ) + i sin(-θ)) に直（なお）します。cos の前（まえ）にマイナスがある場合（ばあい）は cos(π+θ) = -cosθ と sin(π+θ) = -sinθ を用（もち）います。

  3. 03
    ステップ3：sin と cos の入れ替（いれか）えへの対処（たいしょ）

    Bước 3: Chuyển đổi sin và cos khi bị hoán đổi vị trí

    Nếu phần thực chứa sin và phần ảo chứa cos, áp dụng công thức cos(π/2 - θ) = sinθ và sin(π/2 - θ) = cosθ. Điều này đưa phần thực về cos và phần ảo về sin với cùng một góc.

    実部（じつぶ）に sin、虚部（きょぶ）に cos がある場合（ばあい）は cos(π/2 - θ) = sinθ および sin(π/2 - θ) = cosθ を適用（てきよう）します。これにより実部（じつぶ）を cos、虚部（きょぶ）を sin の同（おな）じ角（かく）に統一（とういつ）します。

  4. 04
    ステップ4：共役（きょうやく）複素（ふくそ）数（すう）の極（ごく）形式（けいしき）の記述（きじゅつ）

    Bước 4: Viết dạng cực của số phức liên hợp

    Cho số phức z = r(cosθ + i sinθ), số phức liên hợp z-bar đổi dấu phần ảo. Ta viết z-bar dưới dạng r(cos(-θ) + i sin(-θ)) theo đúng công thức nguồn.

    複素（ふくそ）数（すう） z = r(cosθ + i sinθ) に対（たい）して、共役（きょうやく）複素（ふくそ）数（すう） z-bar は虚部（きょぶ）の符号（ふごう）を変（か）えます。公式（こうしき）に従（したが）い z-bar = r(cos(-θ) + i sin(-θ)) と表（あらわ）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Giữ nguyên dấu trừ giữa cos và sin mà kết luận ngay góc argument.cos と sin の間（あいだ）のマイナス符号（ふごう）を残（のこ）したまま偏角（へんかく）を判定（はんてい）してしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Phải đưa dấu trừ vào trong góc bằng công thức cos(-θ) = cosθ và sin(-θ) = -sinθ để giữa cos và i sin là dấu cộng.cos と i sin の間（あいだ）がプラスになるよう、公式（こうしき） cos(-θ) = cosθ および sin(-θ) = -sinθ を用（もち）いてマイナスを角（かく）の中（なか）に入（い）れる必要（ひつよう）があります。

Nhầm lẫn vị trí của sin và cos khi chưa biến đổi góc phụ.余角（よかく）の変形（へんけい）を行（おこな）わずに sin と cos の位置（いち）を誤解（ごかい）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Dạng chuẩn bắt buộc cos ở phần thực và sin ở phần ảo; nếu ngược lại phải dùng công thức cos(π/2 - θ) = sinθ và sin(π/2 - θ) = cosθ.標準（ひょうじゅん）形（けい）では実部（じつぶ）が cos、虚部（きょぶ）が sin である必須（ひっす）条件（じょうけん）があるため、逆（ぎゃく）の場合（ばあい）は公式（こうしき） cos(π/2 - θ) = sinθ および sin(π/2 - θ) = cosθ を用（もち）いて入れ替（いれか）えます。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Dạng cực chuẩn của số phức bắt buộc môđun r > 0, phần thực là cos, phần ảo là i sin nối nhau bằng dấu cộng với cùng góc θ.複素（ふくそ）数（すう）の標準（ひょうじゅん）極（きょく）形式（けいしき）は、絶対（ぜったい）値（ち） r > 0、実部（じつぶ）が cos、虚部（きょぶ）が i sin であり、同（おな）じ角（かく） θ に対（たい）しプラスで結合（けつごう）している必要（ひつよう）があります。
  • Dùng công thức góc đối cos(-θ) = cosθ, sin(-θ) = -sinθ để đưa dấu trừ trước i sin vào trong góc.i sin の前（まえ）のマイナス符号（ふごう）は、負（ふ）角（かく）公式（こうしき） cos(-θ) = cosθ、sin(-θ) = -sinθ を使（つか）って角（かく）の内部（ないぶ）に入（い）れます。
  • Số phức liên hợp z-bar của z = r(cosθ + i sinθ) có dạng cực chuẩn là r(cos(-θ) + i sin(-θ)).z = r(cosθ + i sinθ) の共役（きょうやく）複素（ふくそ）数（すう） z-bar の標準（ひょうじゅん）極（きょく）形式（けいしき）は r(cos(-θ) + i sin(-θ)) と表（あらわ）されます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\cos(-\theta) = \cos\theta, \quad \sin(-\theta) = -\sin\theta

Công thức góc đối giúp đổi dấu phần ảo thành dấu cộng bằng cách đưa dấu trừ vào bên trong góc đối -θ.

負（ふ）角（かく）の公式（こうしき）であり、角（かく）を -θ にすることで虚部（きょぶ）のマイナス符号（ふごう）をプラスに変形（へんけい）するのに役立（やくだ）ちます。

\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) = \sin\theta, \quad \sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) = \cos\theta

Công thức góc phụ giúp đổi vị trí sinθ thành cos và cosθ thành sin để đưa về đúng vị trí dạng cực chuẩn.

余角（よかく）の公式（こうしき）であり、sinθ を cos に、cosθ を sin に変換（へんかん）して極（ごく）形式（けいしき）の標準（ひょうじゅん）位置（いち）に揃（そろ）えます。

\cos(\pi+\theta) = -\cos\theta, \quad \sin(\pi+\theta) = -\sin\theta

Công thức góc hơn π giúp xử lý trường hợp cả cos và sin đều mang dấu trừ bằng cách cộng thêm π vào góc.

π だけ異（こと）なる角（かく）の公式（こうしき）であり、cos と sin の両方（りょうほう）にマイナスがある場合（ばあい）、角（かく）に π を加（くわ）えることで処理（しょり）します。

\overline{z} = r(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))

Dạng cực của số phức liên hợp z-bar có cùng môđun r nhưng góc đối -θ so với số phức z ban đầu.

共役（きょうやく）複素（ふくそ）数（すう） z-bar の極（ごく）形式（けいしき）であり、元（もと）の複素（ふくそ）数（すう） z と同（おな）じ絶対（ぜったい）値（ち） r を持（も）ち、偏角（へんかく）が負（ふ）角（かく） -θ となります。

EJU 2026 · MATH.15.1

Bài học này giúp bạn biến đổi góc của số phức về dạng cực chuẩn bằng các công thức lượng giác góc liên quan. Bạn sẽ nắm vững cách biểu diễn số phức liên hợp và điều chỉnh các hệ số lượng giác âm hoặc lệch pha.

本課（ほんか）では、関連（かんれん）角（かく）の三角（さんかく）関数（かんすう）公式（こうしき）を用（もち）いて複素（ふくそ）数（すう）の角（かど）を標準（ひょうじゅん）的（てき）な極（ごく）形式（けいしき）に変形（へんけい）する方法（ほうほう）を学（まな）びます。共役（きょうやく）複素（ふくそ）数（すう）の表示（ひょうじ）や、負（ふ）の係数（けいすう）・位相（いそう）のずれを調整（ちょうせい）する手順（てじゅん）をマスターします。

複素（ふくそ）数（すう）の極（ごく）形式（けいしき） 第（だい）2部（ぶ）
単位円一般角