Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Tích và thương của số phức複素（ふくそ）数（すう）の積（せき）と商（しょう）

Công thức公式

z_1 z_2 = r_1 r_2 \{\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)\}
|z_1 z_2| = |z_1||z_2|
\text{arg}(z_1 z_2) = \text{arg } z_1 + \text{arg } z_2
\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \{\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)\}

Ví dụ例題

Cho z1 = 6(cos(π/3) + i sin(π/3)) và z2 = 2(cos(π/6) + i sin(π/6)). Hãy tính tích z1 z2 và thương z1/z2 ở dạng cực.

z1 = 6(cos(π/3) + i sin(π/3)) および z2 = 2(cos(π/6) + i sin(π/6)) が与（あた）えられています。積（せき） z1 z2 および商（しょう） z1/z2 を極（ごく）形式（けいしき）で求（もと）めなさい。

  1. Tính tích z1 z2 bằng công thức r1 r2 {cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)}. Ta có môđun là 6 * 2 = 12, góc là π/3 + π/6 = π/2. Do đó z1 z2 = 12(cos(π/2) + i sin(π/2)).公式（こうしき） r1 r2 {cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)} を用（もち）いて積（せき） z1 z2 を計算（けいさん）します。絶対（ぜったい）値（ち）は 6 * 2 = 12、角（かく）は π/3 + π/6 = π/2 となり、z1 z2 = 12(cos(π/2) + i sin(π/2)) です。
  2. Tính thương z1/z2 bằng công thức (r1/r2) {cos(θ1 - θ2) + i sin(θ1 - θ2)}. Môđun là 6 / 2 = 3, góc là π/3 - π/6 = π/6.公式（こうしき） (r1/r2) {cos(θ1 - θ2) + i sin(θ1 - θ2)} を用（もち）いて商（しょう） z1/z2 を計算（けいさん）します。絶対（ぜったい）値（ち）は 6 / 2 = 3、角（かく）は π/3 - π/6 = π/6 となります。
  3. Do đó thương thu được là z1/z2 = 3(cos(π/6) + i sin(π/6)).したがって、得（え）られる商（しょう）は z1/z2 = 3(cos(π/6) + i sin(π/6)) です。
Kết quả tích là z1 z2 = 12(cos(π/2) + i sin(π/2)) và thương là z1/z2 = 3(cos(π/6) + i sin(π/6)).計算（けいさん）結果（けっか）は、積（せき）が z1 z2 = 12(cos(π/2) + i sin(π/2))、商（しょう）が z1/z2 = 3(cos(π/6) + i sin(π/6)) となります。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho z1 = 4(cos(π/4) + i sin(π/4)) và z2 = 2(cos(π/12) + i sin(π/12)). Dạng cực của tích z1 z2 là gì?z1 = 4(cos(π/4) + i sin(π/4)) および z2 = 2(cos(π/12) + i sin(π/12)) のとき、積（せき） z1 z2 の極（ごく）形式（けいしき）はどれですか。

2. Cho z1 = 8(cos(5π/12) + i sin(5π/12)) và z2 = 2(cos(π/4) + i sin(π/4)). Dạng cực của thương z1/z2 là gì?z1 = 8(cos(5π/12) + i sin(5π/12)) および z2 = 2(cos(π/4) + i sin(π/4)) のとき、商（しょう） z1/z2 の極（ごく）形式（けいしき）はどれですか。

3. Phép nhân số phức z với w = cos(π/2) + i sin(π/2) biểu thị phép biến đổi hình học nào đối với điểm biểu diễn z?複素（ふくそ）数（すう） z に w = cos(π/2) + i sin(π/2) を掛（か）ける操作（そうさ）は、点（てん） z に対（たい）してどのような幾何（きか）学（がく）的（てき）変換（へんかん）を表（あらわ）しますか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.15.1 · MATH.15.3. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.15.1 · MATH.15.3。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Tính tích của hai số phức ở dạng cực bằng cách nhân môđun và cộng argument.極（ごく）形式（けいしき）の2つの複素（ふくそ）数（すう）の積（せき）を、絶対（ぜったい）値（ち）の積（せき）と偏角（へんかく）の和（わ）により計算（けいさん）する。
  2. Tính thương của hai số phức ở dạng cực bằng cách chia môđun và trừ argument.極（ごく）形式（けいしき）の2つの複素（ふくそ）数（すう）の商（しょう）を、絶対（ぜったい）値（ち）の商（しょう）と偏角（へんかく）の差（さ）により計算（けいさん）する。
  3. Giải thích ý nghĩa hình học của phép nhân/chia số phức qua phép quay, phóng đại, thu nhỏ và tam giác đồng dạng.複素（ふくそ）数（すう）の乗法（じょうほう）・除法（じょほう）の幾何（きか）学（がく）的（てき）意味（いみ）を回転（かいてん）、拡大（かくだい）、縮小（しゅくしょう）および相似（そうじ）な三角形（さんかくけい）を通（とお）して説明（せつめい）する。
Trực giác · イメージ

Nhân là nhân môđun cộng góc, chia là chia môđun trừ góc積（せき）は絶対（ぜったい）値（ち）をかけて角（かく）を足（た）し、商（しょう）は絶対（ぜったい）値（ち）を割（わ）って角（かく）を引（ひ）く直感（ちょっかん）

Khi thực hiện phép nhân hai số phức ở dạng cực, độ dài (môđun) của kết quả được nhân lại với nhau, còn góc quay (argument) được cộng lại. Ngược lại, phép chia tương ứng với việc chia độ dài và trừ góc quay. Về mặt hình học, nhân một số phức z2 với z1 nghĩa là phóng đại/thu nhỏ z2 theo tỷ lệ r1 và quay z2 một góc θ1 quanh gốc tọa độ.

極（ごく）形式（けいしき）の複素（ふくそ）数（すう）を乗算（じょうざん）すると、結果（けっか）の長（なが）さ（絶対（ぜったい）値（ち））は掛け合（かけあ）わされ、回転（かいてん）角（かく）（偏角（へんかく））は足し合（たしあ）わされます。逆（ぎゃく）に、除算（じょざん）は長（なが）さを割（わ）り、角（かく）を引（ひ）く操作（そうさ）に対応（たいおう）します。幾何（きか）学（がく）的（てき）には、z2 に z1 を掛（か）けることは、z2 を r1 倍（ばい）に拡大（かくだい）・縮小（しゅくしょう）し、原点（げんてん）周（まわ）りに θ1 だけ回転（かいてん）させることを意味（いみ）します。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 積（せき）tích

    Tích của hai số phức z1 và z2 có môđun bằng tích các môđun |z1||z2| và argument bằng tổng các argument arg(z1) + arg(z2).

    複素（ふくそ）数（すう） z1 と z2 の積（せき）は、絶対（ぜったい）値（ち）が絶対（ぜったい）値（ち）の積（せき） |z1||z2| となり、偏角（へんかく）が偏角（へんかく）の和（わ） arg(z1) + arg(z2) となります。

  • 商（しょう）thương

    Thương z1/z2 có môđun bằng thương các môđun |z1|/|z2| và argument bằng hiệu các argument arg(z1) - arg(z2).

    商（しょう） z1/z2 は、絶対（ぜったい）値（ち）が絶対（ぜったい）値（ち）の商（しょう） |z1|/|z2| となり、偏角（へんかく）が偏角（へんかく）の差（さ） arg(z1) - arg(z2) となります。

  • 回転（かいてん）phép quay

    Phép biến đổi hình học trong mặt phẳng số phức tương ứng với việc cộng hoặc trừ góc argument quanh gốc tọa độ.

    複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）において、原点（げんてん）を中心（ちゅうしん）に偏角（へんかく）を加減（かげん）算（さん）することに対応（たいおう）する幾何（きか）学（がく）的（てき）変換（へんかん）です。

  • 拡大（かくだい）phép phóng đại

    Phép biến đổi làm tăng khoảng cách từ điểm biểu diễn số phức đến gốc tọa độ khi môđun nhân với số lớn hơn 1.

    絶対（ぜったい）値（ち）に 1 より大（おお）きい数（かず）を掛（か）けることで、点（てん）と原点（げんてん）との距離（きょり）を伸（の）ばす変換（へんかん）です。

  • 縮小（しゅくしょう）phép thu nhỏ

    Phép biến đổi làm giảm khoảng cách từ điểm đến gốc tọa độ khi môđun nhân với số nhỏ hơn 1 và lớn hơn 0.

    絶対（ぜったい）値（ち）に 0 より大（おお）きく 1 より小（ちい）さい数（かず）を掛（か）けることで、点（てん）と原点（げんてん）との距離（きょり）を縮（ちぢ）める変換（へんかん）です。

  • 相似（そうじ）đồng dạng

    Mối quan hệ giữa các tam giác được tạo bởi gốc tọa độ O và các điểm biểu diễn số phức trong phép nhân và chia.

    乗法（じょうほう）・除法（じょほう）において、原点（げんてん） O と複素（ふくそ）数（すう）を表（あらわ）す点（てん）によって形成（けいせい）される三角形（さんかくけい）間（あいだ）の幾何（きか）学（がく）的（てき）関係（かんけい）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：各（かく）複素（ふくそ）数（すう）を極（ごく）形式（けいしき）で表（あらわ）す

    Bước 1: Viết các số phức dưới dạng cực

    Xác định môđun r1, r2 và argument θ1, θ2 của từng số phức z1 và z2. Phải đảm bảo các số phức đã ở dạng chuẩn trước khi tính toán.

    各（かく）複素（ふくそ）数（すう） z1, z2 の絶対（ぜったい）値（ち） r1, r2 と偏角（へんかく） θ1, θ2 を特定（とくてい）します。計算（けいさん）前（まえ）に標準（ひょうじゅん）形（けい）になっていることを確認（かくにん）します。

  2. 02
    ステップ2：絶対（ぜったい）値（ち）の積（せき）と偏角（へんかく）の和（わ）による乗算（じょうざん）

    Bước 2: Nhân số phức bằng cách nhân môđun và cộng argument

    Áp dụng công thức tích z1 z2 = r1 r2 {cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)}. Môđun của tích là |z1 z2| = |z1||z2| và argument là arg(z1 z2) = arg(z1) + arg(z2).

    公式（こうしき） r1 r2 {cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)} を適用（てきよう）します。積（せき）の絶対（ぜったい）値（ち）は |z1 z2| = |z1||z2|、偏角（へんかく）は arg(z1 z2) = arg(z1) + arg(z2) です。

  3. 03
    ステップ3：絶対（ぜったい）値（ち）の商（しょう）と偏角（へんかく）の差（さ）による除算（じょざん）

    Bước 3: Chia số phức bằng cách chia môđun và trừ argument

    Áp dụng công thức thương z1/z2 = (r1/r2) {cos(θ1 - θ2) + i sin(θ1 - θ2)} với z2 khác 0. Môđun thương bằng r1/r2 và argument thương bằng θ1 - θ2.

    z2 ≠ 0 のとき商（しょう）の公式（こうしき） z1/z2 = (r1/r2) {cos(θ1 - θ2) + i sin(θ1 - θ2)} を適用（てきよう）します。商（しょう）の絶対（ぜったい）値（ち）は r1/r2、偏角（へんかく）は θ1 - θ2 となります。

  4. 04
    ステップ4：回転（かいてん）と拡大（かくだい）縮小（しゅくしょう）の幾何（きか）学（がく）的（てき）解釈（かいしゃく）

    Bước 4: Biểu diễn ý nghĩa hình học quay và biến đổi tỷ lệ

    Điểm biểu diễn z1 z2 thu được bằng cách quay điểm z1 quanh gốc O góc θ2, sau đó phóng đại hoặc thu nhỏ theo tỷ lệ r2. Tương tự, thương z1/z2 tương ứng với phép quay góc -θ2 và biến đổi tỷ lệ 1/r2.

    点（てん） z1 z2 は、点（てん） z1 を原点（げんてん） O の周（まわ）りに θ2 回転（かいてん）させ、r2 倍（ばい）に拡大（かくだい）・縮小（しゅくしょう）することで得（え）られます。同様（どうよう）に商（しょう） z1/z2 は -θ2 の回転（かいてん）と 1/r2 倍（ばい）の変換（へんかん）に対応（たいおう）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn thực hiện phép nhân góc thay vì cộng góc khi tính tích hai số phức.複素（ふくそ）数（すう）の積（せき）を計算（けいさん）する際（さい）、角（かど）を足（た）さずに掛け合（かけあ）わせてしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Môđun thì nhân với nhau (|z1 z2| = |z1||z2|), nhưng argument phải cộng với nhau (arg(z1 z2) = arg z1 + arg z2).絶対（ぜったい）値（ち）は掛け合（かけあ）わせますが (|z1 z2| = |z1||z2|)、偏角（へんかく）は足し合（たしあ）わせる必要（ひつよう）があります (arg(z1 z2) = arg z1 + arg z2)。

Nhầm lẫn thứ tự trừ góc khi tính thương z1/z2 thành θ2 - θ1.商（しょう） z1/z2 を計算（けいさん）する際（さい）、角（かく）の引き算（ひきざん）の順序（じゅんじょ）を θ2 - θ1 と誤（あやま）ること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Biểu thức thương z1/z2 luôn lấy góc của tử số trừ góc của mẫu số, tức là θ1 - θ2.商（しょう） z1/z2 の角（かく）は、常（つね）に分子（ぶんし）の角（かく）から分母（ぶんぼ）の角（かく）を引（ひ）くため θ1 - θ2 となります。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Tích hai số phức ở dạng cực thu được bằng cách nhân các môđun và cộng các argument: z1 z2 = r1 r2 {cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)}.極（ごく）形式（けいしき）の2つの複素（ふくそ）数（すう）の積（せき）は、絶対（ぜったい）値（ち）を掛け合（かけあ）わせ偏角（へんかく）を足し合（たしあ）わせることで得（え）られます：z1 z2 = r1 r2 {cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)}。
  • Thương hai số phức ở dạng cực thu được bằng cách chia các môđun và trừ các argument: z1/z2 = (r1/r2) {cos(θ1 - θ2) + i sin(θ1 - θ2)}.極（ごく）形式（けいしき）の2つの複素（ふくそ）数（すう）の商（しょう）は、絶対（ぜったい）値（ち）を割（わ）り偏角（へんかく）を引（ひ）くことで得（え）られます：z1/z2 = (r1/r2) {cos(θ1 - θ2) + i sin(θ1 - θ2)}。
  • Phép nhân số phức thể hiện sự kết hợp giữa phép quay góc argument và phép phóng đại/thu nhỏ theo tỷ lệ môđun trên mặt phẳng số phức.複素（ふくそ）数（すう）の乗法（じょうほう）は、複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）において偏角（へんかく）による回転（かいてん）と絶対（ぜったい）値（ち）による拡大（かくだい）・縮小（しゅくしょう）の合成（ごうせい）を表（あらわ）します。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

z_1 z_2 = r_1 r_2 \{\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)\}

Công thức tính tích hai số phức ở dạng cực; môđun là tích hai môđun và góc là tổng hai argument.

極（ごく）形式（けいしき）の2つの複素（ふくそ）数（すう）の積（せき）を求（もと）める公式（こうしき）であり、絶対（ぜったい）値（ち）は積（せき）、角（かく）は和（わ）となります。

|z_1 z_2| = |z_1||z_2|

Môđun của tích hai số phức bằng tích các môđun của từng số phức thành phần.

2つの複素（ふくそ）数（すう）の積（せき）の絶対（ぜったい）値（ち）は、それぞれの複素（ふくそ）数（すう）の絶対（ぜったい）値（ち）の積（せき）に等（ひと）しいという性質（せいしつ）です。

\text{arg}(z_1 z_2) = \text{arg } z_1 + \text{arg } z_2

Argument của tích hai số phức bằng tổng các argument của từng số phức thành phần.

2つの複素（ふくそ）数（すう）の積（せき）の偏角（へんかく）は、それぞれの複素（ふくそ）数（すう）の偏角（へんかく）の和（わ）に等（ひと）しいという性質（せいしつ）です。

\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \{\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)\}

Công thức tính thương hai số phức ở dạng cực; môđun là thương hai môđun và góc là hiệu hai argument.

極（ごく）形式（けいしき）の2つの複素（ふくそ）数（すう）の商（しょう）を求（もと）める公式（こうしき）であり、絶対（ぜったい）値（ち）は商（しょう）、角（かく）は差（さ）となります。

EJU 2026 · MATH.15.1 · MATH.15.3

Bài học hướng dẫn tính tích và thương của hai số phức dựa trên dạng cực. Bạn sẽ hiểu rõ ý nghĩa hình học của phép nhân và phép chia số phức như sự kết hợp giữa phép quay và biến đổi tỷ lệ.

本課（ほんか）では、極（ごく）形式（けいしき）を用（もち）いた2つの複素（ふくそ）数（すう）の積（せき）と商（しょう）の計算（けいさん）について解説（かいせつ）します。複素（ふくそ）数（すう）の乗法（じょうほう）・除法（じょほう）が持（も）つ回転（かいてん）と拡大（かくだい）縮小（しゅくしょう）という幾何（きか）学（がく）的（てき）意味（いみ）を深（ふか）く理解（りかい）します。

複素（ふくそ）数（すう）の積（せき）と商（しょう）
積商回転拡大