Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Đạo hàm cấp cao Phần 1高次（こうじ）導（どう）関数（かんすう） 第（だい）1部（ぶ）

Công thức公式

y'', f''(x), \frac{d^2y}{dx^2}, \frac{d^2}{dx^2}f(x)
y^{(n)}, f^{(n)}(x), \frac{d^ny}{dx^n}, \frac{d^n}{dx^n}f(x)
(uv)' = u'v + uv'

Ví dụ例題

Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số y = x \(e^{x}\).

関数（かんすう） y = x \(e^{x}\) の第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）を求（もと）めなさい。

  1. Áp dụng công thức (uv)' = u'v + uv' với u = x và \(v = e^{x}\), ta có y' = (x)' \(e^{x} + x\) \((e^{x})\)' = \(e^{x} + x\) \(e^{x} = (x + 1) e^{x}\).u = x, \(v = e^{x}\) として公式（こうしき） (uv)' = u'v + uv' を適用（てきよう）すると、y' = (x)' \(e^{x} + x\) \((e^{x})\)' = \(e^{x} + x\) \(e^{x} = (x + 1) e^{x}\) となります。
  2. Đạo hàm tiếp y' để tìm y'': y'' = \(((x + 1) e^{x})\)' = (x + 1)' \(e^{x} + (x + 1) (e^{x})\)' = \(e^{x} + (x + 1) e^{x} = (x + 2) e^{x}\).y'をさらに微分（びぶん）してy''を求（もと）めます：y'' = \(((x + 1) e^{x})\)' = (x + 1)' \(e^{x} + (x + 1) (e^{x})\)' = \(e^{x} + (x + 1) e^{x} = (x + 2) e^{x}\) となります。
Vậy đạo hàm cấp 2 của hàm số là y'' = \((x + 2) e^{x}\).したがって、関数（かんすう）の第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）は y'' = \((x + 2) e^{x}\) となります。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho hàm số \(y = x^{3} - 2 x^{2} + 1\). Tính y''.関数（かんすう） \(y = x^{3} - 2 x^{2} + 1\) について、y'' を求（もと）めなさい。

2. Cho hàm số \(y = e^{2 x}\). Tìm biểu thức của đạo hàm cấp n \(y^{(n)}\).関数（かんすう） \(y = e^{2 x}\) について、第（だい）n次（じ）導（どう）関数（かんすう） \(y^{(n)}\) の式（しき）を求（もと）めなさい。

3. Ký hiệu nào sau đây biểu diễn đạo hàm cấp 2 của hàm số f(x)?次（つぎ）のうち、関数（かんすう） f(x) の第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）を表（あらわ）す記号（きごう）はどれですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.19.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.19.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu khái niệm và ký hiệu của đạo hàm cấp 2 và đạo hàm cấp n.第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）および第（だい）n次（じ）導（どう）関数（かんすう）の概念（がいねん）と記号（きごう）を理解（りかい）すること。
  2. Tính được đạo hàm cấp 2 cho các hàm số cơ bản và tích của hai hàm số.基本（きほん）的（てき）な関数（かんすう）や2つの関数（かんすう）の積（せき）に対（たい）する第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）を計算（けいさん）できること。
  3. Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để dự đoán và chứng minh đạo hàm cấp n.数学（すうがく）的（てき）帰納（きのう）法（ほう）を用（もち）いて第（だい）n次（じ）導（どう）関数（かんすう）を推測（すいそく）・証明（しょうめい）できること。
Trực giác · イメージ

Trực giác về việc lấy đạo hàm liên tiếp連続（れんぞく）的（てき）な微分（びぶん）に関（かん）する直観（ちょっかん）

Đạo hàm cấp 1 cho biết tốc độ thay đổi của hàm số, trong khi đạo hàm cấp 2 cho biết tốc độ thay đổi của chính đạo hàm cấp 1 đó. Khi lặp lại quá trình này n lần, ta thu được đạo hàm cấp n mô tả quy luật biến thiên lâu dài của hàm số.

第（だい）1次（じ）導（どう）関数（かんすう）が関数（かんすう）の変化（へんか）率（りつ）を表（あらわ）すのに対（たい）し、第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）はその変化（へんか）率（りつ）自体（じたい）の変化（へんか）率（りつ）を表（あらわ）します。この操作（そうさ）をn回（かい）繰り返（くりかえ）すことで、関数（かんすう）の長期（ちょうき）的（てき）な変化（へんか）の規則（きそく）性（せい）を記述（きじゅつ）する第（だい）n次（じ）導（どう）関数（かんすう）が得（え）られます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）đạo hàm cấp 2

    Đạo hàm của đạo hàm cấp 1 f'(x), ký hiệu là y'' hoặc f''(x).

    第（だい）1次（じ）導（どう）関数（かんすう）f'(x)をさらにxで微分（びぶん）したものであり、y''またはf''(x)と表記（ひょうき）されます。

  • 第（だい）n次（じ）導（どう）関数（かんすう）đạo hàm cấp n

    Kết quả thu được sau khi thực hiện lấy đạo hàm liên tiếp n lần đối với hàm số f(x), ký hiệu là \(f^{(n)} (x)\).

    関数（かんすう）f(x)に対（たい）して微分（びぶん）操作（そうさ）を連続（れんぞく）してn回（かい）行（おこな）った結果（けっか）であり、\(f^{(n)} (x)\)と表記（ひょうき）されます。

  • 数学（すうがく）的（てき）帰納（きのう）法（ほう）phương pháp quy nạp toán học

    Phương pháp chứng minh một mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương n bằng cách kiểm tra n=1 và chứng minh tính đúng đắn từ k sang k+1.

    n=1での成立（せいりつ）を確認（かくにん）し、kからk+1への成立（せいりつ）を証明（しょうめい）することで、すべての正（せい）の整数（せいすう）nに対（たい）して命題（めいだい）が正（ただ）しいことを証明（しょうめい）する手法（しゅほう）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：第（だい）1次（つぎ）および第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）の計算（けいさん）

    Bước 1: Tính đạo hàm cấp 1 và cấp 2

    Đầu tiên lấy đạo hàm lần thứ nhất để tìm y'. Sau đó lấy đạo hàm y' một lần nữa để thu được y''.

    まず1回（かい）目（め）の微分（びぶん）を行（おこな）ってy'を求（もと）めます。そのy'を再度（さいど）微分（びぶん）してy''を算出（さんしゅつ）します。

  2. 02
    ステップ2：規則（きそく）性（せい）を発見（はっけん）するための高次（こうじ）微分（びぶん）の計算（けいさん）

    Bước 2: Tính thêm các cấp tiếp theo để tìm quy luật

    Tính tiếp y''' và \(y^{(4)}\) nếu cần để phát hiện quy luật về hệ số, dấu và số mũ xuất hiện qua mỗi lần đạo hàm.

    必要（ひつよう）に応（おう）じてy'''や\(y^{(4)}\)を計算（けいさん）し、各（かく）微分（びぶん）段階（だんかい）で現（あらわ）れる係数（けいすう）、符号（ふごう）、指数（しすう）の規則（きそく）性（せい）を観察（かんさつ）します。

  3. 03
    ステップ3：第（だい）n次（じ）導（どう）関数（かんすう）の公式（こうしき）の推測（すいそく）と証明（しょうめい）

    Bước 3: Dự đoán công thức đạo hàm cấp n và chứng minh

    Nêu công thức tổng quát \(f^{(n)} (x)\) dựa trên quy luật quan sát được. Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đó đúng với mọi số nguyên dương n.

    観察（かんさつ）された規則（きそく）性（せい）に基（もと）づいて一般（いっぱん）式（しき）\(f^{(n)} (x)\)を推測（すいそく）します。そして数学（すうがく）的（てき）帰納（きのう）法（ほう）を用（もち）いて、その公式（こうしき）がすべての正（せい）の整数（せいすう）nで成り立（なりた）つことを証明（しょうめい）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn giữa lũy thừa y^n và đạo hàm cấp n y^{(n)}, ví dụ nhầm y^{(2)} là (y')^2.累乗（るいじょう）y^nと第（だい）n次（じ）導（どう）関数（かんすう）y^{(n)}を混同（こんどう）し、例（たと）えばy^{(2)}を(y')^2と勘違（かんちが）いすること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Ký hiệu đạo hàm cấp n có dấu ngoặc đơn xung quanh số n là \(y^{(n)}\), khác hoàn toàn với phép nâng lên lũy thừa.第（だい）n次（じ）導（どう）関数（かんすう）の記号（きごう）は数字（すうじ）の周（まわ）りに括弧（かっこ）をつけて\(y^{(n)}\)と書（か）かれ、累乗（るいじょう）の計算（けいさん）とは明確（めいかく）に区別（くべつ）されます。

Đạo hàm tích u \(\cdot\) v bằng cách lấy đạo hàm từng cái u' \(\cdot\) v' khi tính đạo hàm cấp cao.高次（こうじ）導（どう）関数（かんすう）を計算（けいさん）する際（さい）に、積（せき）の微分（びぶん）をu' \(\cdot\) v'のように各項（かくこう）を単純（たんじゅん）に微分（びぶん）して掛け合（かけあ）わせてしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Phải luôn sử dụng quy tắc đạo hàm của tích (uv)' = u'v + uv' cho mỗi lần lấy đạo hàm.微分（びぶん）を行（おこな）うごとに、必（かなら）ず積（せき）の微分（びぶん）公式（こうしき） (uv)' = u'v + uv' を適用（てきよう）しなければなりません。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Đạo hàm cấp 2 y'' là đạo hàm của đạo hàm cấp 1 y'.第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう） y'' は第（だい）1次（じ）導（どう）関数（かんすう） y' をさらに微分（びぶん）したものです。
  • Đạo hàm cấp n \(y^{(n)}\) biểu diễn việc lấy đạo hàm liên tiếp n lần.第（だい）n次（じ）導（どう）関数（かんすう） \(y^{(n)}\) は微分（びぶん）操作（そうさ）を連続（れんぞく）してn回（かい）行（おこな）ったものを表（あらわ）します。
  • Dùng quy luật từ các cấp nhỏ và phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đạo hàm cấp n.低次（ていじ）導（どう）関数（かんすう）の規則（きそく）性（せい）と数学（すうがく）的（てき）帰納（きのう）法（ほう）を用（もち）いて第（だい）n次（じ）導（どう）関数（かんすう）の公式（こうしき）を証明（しょうめい）します。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

y'', f''(x), \frac{d^2y}{dx^2}, \frac{d^2}{dx^2}f(x)

Các ký hiệu chuẩn dùng để biểu diễn đạo hàm cấp 2 của hàm số.

関数（かんすう）の第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）を表（あらわ）すために用（もち）いられる標準（ひょうじゅん）的（てき）な記号（きごう）一覧（いちらん）です。

y^{(n)}, f^{(n)}(x), \frac{d^ny}{dx^n}, \frac{d^n}{dx^n}f(x)

Các ký hiệu chuẩn dùng để biểu diễn đạo hàm cấp n của hàm số.

関数（かんすう）の第（だい）n次（じ）導（どう）関数（かんすう）を表（あらわ）すために用（もち）いられる標準（ひょうじゅん）的（てき）な記号（きごう）一覧（いちらん）です。

(uv)' = u'v + uv'

Quy tắc đạo hàm của tích hai hàm số u và v, là cơ sở để tính đạo hàm cấp cao của biểu thức tích.

2つの関数（かんすう）uとvの積（せき）の微分（びぶん）公式（こうしき）であり、積（せき）の形（かたち）をした高次（こうじ）導（どう）関数（かんすう）の計算（けいさん）の基礎（きそ）となります。

EJU 2026 · MATH.19.1

Bài học này hướng dẫn khái niệm và cách tính đạo hàm cấp 2 và đạo hàm cấp n của hàm số, kết hợp với phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức tổng quát.

本課（ほんか）では、関数（かんすう）の第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）および第（だい）n次（じ）導（どう）関数（かんすう）の概念（がいねん）と計算（けいさん）方法（ほうほう）を解説（かいせつ）し、数学（すうがく）的（てき）帰納（きのう）法（ほう）を用（もち）いて一般（いっぱん）公式（こうしき）を証明（しょうめい）する方法（ほうほう）を学（まな）びます。

高次（こうじ）導（どう）関数（かんすう） 第（だい）1部（ぶ）
第2次導関数第n次導関数数学的帰納法