Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Đạo hàm của hàm số mũ指数（しすう）関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう）

Công thức公式

(e^x)' = e^x
(a^x)' = a^x \log a
\{e^{f(x)}\}' = e^{f(x)} f'(x)
(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha-1}

Ví dụ例題

Tính đạo hàm của hàm số \(y = e^{2 x} + 3^{x}\).

関数（かんすう） \(y = e^{2 x} + 3^{x}\) の導（どう）関数（かんすう）を求（もと）めなさい。

  1. Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp cho e^{2x} với f(x) = 2x, ta được (e^{2x})' = e^{2x} \(\cdot\) (2x)' = 2e^{2x}.f(x) = 2xとしてe^{2x}に合成（ごうせい）関数（かんすう）の微分（びぶん）公式（こうしき）を適用（てきよう）すると、(e^{2x})' = e^{2x} \(\cdot\) (2x)' = 2e^{2x} となります。
  2. Áp dụng công thức đạo hàm cơ số a cho \(3^{x}\), ta được \((3^{x})\)' = \(3^{x} \log 3\).底（そこ）がaの微分（びぶん）公式（こうしき）を\(3^{x}\)に適用（てきよう）すると、\((3^{x})\)' = \(3^{x} \log 3\) となります。
  3. Cộng hai kết quả lại để thu được đạo hàm của hàm số ban đầu.2つの結果（けっか）を足し合（たしあ）わせることで、元（もと）の関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう）を得（え）ます。
Vậy đạo hàm là y' = \(2 e^{2 x} + 3^{x} \log 3\).したがって、導（どう）関数（かんすう）は y' = \(2 e^{2 x} + 3^{x} \log 3\) となります。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Tính đạo hàm của hàm số \(y = e^{3 x}\).関数（かんすう） \(y = e^{3 x}\) の導（どう）関数（かんすう）を求（もと）めなさい。

2. Tính đạo hàm của hàm số \(y = 2^{x}\).関数（かんすう） \(y = 2^{x}\) の導（どう）関数（かんすう）を求（もと）めなさい。

3. Cho hàm số \(y = e^{x^{2}}\). Giá trị của y'(1) là bao nhiêu?関数（かんすう） \(y = e^{x^{2}}\) について、y'(1) の値（あたい）を求（もと）めなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.19.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 3 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.19.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）3区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Tính đạo hàm của hàm số mũ cơ số e và cơ số a.底（そこ）がeおよびaの指数（しすう）関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう）を計算（けいさん）すること。
  2. Áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp cho hàm số mũ.指数（しすう）関数（かんすう）に対（たい）して合成（ごうせい）関数（かんすう）の微分（びぶん）公式（こうしき）を適用（てきよう）すること。
  3. Sử dụng phương pháp đạo hàm lôgarit để tính đạo hàm của hàm số phức tạp.対数（たいすう）微分（びぶん）法（ほう）を用（もち）いて複雑（ふくざつ）な関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう）を計算（けいさん）すること。
Trực giác · イメージ

Trực giác về tốc độ thay đổi của hàm số mũ指数（しすう）関数（かんすう）の変化（へんか）率（りつ）に関（かん）する直観（ちょっかん）

Hàm số mũ với cơ số e có đặc tính đặc biệt là tốc độ biến thiên tại mỗi điểm bằng chính giá trị của hàm số tại điểm đó. Khi hàm số có dạng phức tạp hơn ở số mũ, ta kết hợp đạo hàm của số mũ để tìm tốc độ biến thiên chính xác.

底（そこ）がeの指数（しすう）関数（かんすう）は、各点（かくてん）での変化（へんか）率（りつ）がその点（てん）での関数（かんすう）値（ち）自体（じたい）と一致（いっち）するという特別（とくべつ）な性質（せいしつ）を持（も）ちます。指数（しすう）部分（ぶぶん）がより複雑（ふくざつ）な形（かたち）をしている場合（ばあい）は、指数（しすう）部分（ぶぶん）の導（どう）関数（かんすう）を掛け合（かけあ）わせることで正確（せいかく）な変化（へんか）率（りつ）を求（もと）めます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 指数（しすう）関数（かんすう）hàm số mũ

    Hàm số có dạng \(y = a^{x}\) với cơ số a > 0 và a khác 1, trong đó đặc biệt cơ số e được sử dụng phổ biến nhất trong giải tích.

    底（そこ）aがa > 0かつa ≠ 1である\(y = a^{x}\)の形（かたち）をした関数（かんすう）であり、特（とく）に解析（かいせき）学（がく）では底（そこ）eが最（もっと）も頻繁（ひんぱん）に使用（しよう）されます。

  • 対数（たいすう）微分（びぶん）法（ほう）phương pháp đạo hàm lôgarit

    Phương pháp lấy lôgarit tự nhiên hai vế của hàm số y = f(x) rồi lấy đạo hàm theo biến x để tính y'.

    関数（かんすう）y = f(x)の両辺（りょうへん）の自然（しぜん）対数（たいすう）を取（と）ってからxで微分（びぶん）し、y'を求（もと）める手法（しゅほう）です。

  • 対数（たいすう）微分（びぶん）法（ほう）phương pháp đạo hàm logarit

    Kỹ thuật đạo hàm bằng cách biến đổi biểu thức phức tạp sang dạng lôgarit trước khi thực hiện đạo hàm.

    複雑（ふくざつ）な式（しき）を微分（びぶん）する前（まえ）に、まず対数（たいすう）の形（かたち）に変換（へんかん）して微分（びぶん）を行（おこな）う計算（けいさん）技法（ぎほう）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：指数（しすう）関数（かんすう）の形（かたち）の確認（かくにん）

    Bước 1: Nhận diện dạng hàm số mũ

    Xác định cơ số của hàm số mũ là e hay cơ số a tổng quát. Kiểm tra xem số mũ là x hay một hàm số f(x).

    指数（しすう）関数（かんすう）の底（そこ）がeであるか一般（いっぱん）的（てき）な底（そこ）aであるかを確認（かくにん）します。また、指数（しすう）がxであるか関数（かんすう）f(x)であるかを判別（はんべつ）します。

  2. 02
    ステップ2：対応（たいおう）する微分（びぶん）公式（こうしき）の適用（てきよう）

    Bước 2: Áp dụng công thức đạo hàm tương ứng

    Nếu là \(e^{x}\) thì đạo hàm bằng \(e^{x}\), còn nếu là \(a^{x}\) thì nhân thêm \(\log a\). Nếu là \(e^{f(x)}\) thì nhân thêm f'(x) theo quy tắc hàm hợp.

    \(e^{x}\)の場合（ばあい）は導（どう）関数（かんすう）も\(e^{x}\)であり、\(a^{x}\)の場合（ばあい）は\(\log a\)を掛（か）けます。\(e^{f(x)}\)の場合（ばあい）は合成（ごうせい）関数（かんすう）の法則（ほうそく）に従（したが）いf'(x)を掛（か）けます。

  3. 03
    ステップ3：必要（ひつよう）に応（おう）じた対数（たいすう）微分（びぶん）法（ほう）の活用（かつよう）

    Bước 3: Vận dụng phương pháp đạo hàm lôgarit khi cần

    Đối với các hàm số có biến số ở cả cơ số và số mũ như \(x^{\alpha}\) hay \(f(x)^{g(x)}\), lấy lôgarit hai vế trước khi đạo hàm. Sau đó rút ra y' bằng cách nhân y với biểu thức đã đạo hàm.

    底（そこ）と指数（しすう）の両方（りょうほう）に変数（へんすう）を含（ふく）むような関数（かんすう）では、微分（びぶん）の前（まえ）に両辺（りょうへん）の対数（たいすう）を取（と）ります。その後（あと）、微分（びぶん）した式（しき）にyを掛（か）けてy'を導出（どうしゅつ）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên nhân đạo hàm của số mũ f'(x) khi tính đạo hàm hàm hợp \(e^{f(x)}\), nhầm thành \((e^{2 x})\)' = \(e^{2 x}\).合成（ごうせい）関数（かんすう）\(e^{f(x)}\)の微分（びぶん）で指数（しすう）部分（ぶぶん）の導（どう）関数（かんすう）f'(x)を掛（か）け忘（わす）れて、\((e^{2 x})\)' = \(e^{2 x}\) と誤（あやま）ってしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn nhân với f'(x) theo công thức {\(e^{f(x)}\)}' = \(e^{f(x)}\) f'(x), kết quả đúng phải là \(2 e^{2 x}\).{\(e^{f(x)}\)}' = \(e^{f(x)}\) f'(x) の公式（こうしき）に従（したが）い、常（つね）にf'(x)を掛（か）けます。正（ただ）しい結果（けっか）は \(2 e^{2 x}\) です。

Nhầm lẫn giữa đạo hàm hàm số mũ \((a^{x})\)' = \(a^{x} \log a\) và đạo hàm hàm lũy thừa \((x^{a})\)' = a \(x^{a - 1}\).指数（しすう）関数（かんすう）の微分（びぶん） \((a^{x})\)' = \(a^{x} \log a\) と累乗（るいじょう）関数（かんすう）の微分（びぶん） \((x^{a})\)' = a \(x^{a - 1}\) を混同（こんどう）してしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Kiểm tra biến x nằm ở số mũ hay ở cơ số. Nếu x ở số mũ thì dùng công thức hàm số mũ có chứa \(\log a\).変数（へんすう）xが指数（しすう）にあるか底（そこ）にあるかを確認（かくにん）します。xが指数（しすう）にある場合（ばあい）は \(\log a\) を含（ふく）む指数（しすう）関数（かんすう）の公式（こうしき）を使用（しよう）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Đạo hàm của \(e^{x}\) là \(e^{x}\), còn với hàm hợp \(e^{f(x)}\) thì đạo hàm bằng \(e^{f(x)}\) f'(x).\(e^{x}\)の導（どう）関数（かんすう）は\(e^{x}\)であり、合成（ごうせい）関数（かんすう）\(e^{f(x)}\)の導（どう）関数（かんすう）は\(e^{f(x)}\) f'(x)となります。
  • Đạo hàm của \(a^{x}\) với cơ số a > 0 là \(a^{x} \log a\).正（せい）の底（そこ）aに対（たい）する\(a^{x}\)の導（どう）関数（かんすう）は\(a^{x} \log a\)となります。
  • Sử dụng phương pháp đạo hàm lôgarit bằng cách lấy lôgarit hai vế đối với các biểu thức phức tạp.複雑（ふくざつ）な式（しき）に対（たい）しては、両辺（りょうへん）の対数（たいすう）を取（と）って微分（びぶん）する対数（たいすう）微分（びぶん）法（ほう）を活用（かつよう）します。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

(e^x)' = e^x

Đạo hàm của hàm số mũ cơ số e bằng chính nó.

底（そこ）がeの指数（しすう）関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう）は自分（じぶん）自身（じしん）に等（ひと）しくなります。

(a^x)' = a^x \log a

Đạo hàm của hàm số mũ cơ số a dương khác 1 bằng \(a^{x}\) nhân với \(\log a\).

1以外（いがい）の正（せい）の底（そこ）aを持（も）つ指数（しすう）関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう）は\(a^{x}\)に\(\log a\)を掛（か）けたものになります。

\{e^{f(x)}\}' = e^{f(x)} f'(x)

Đạo hàm của hàm hợp \(e^{f(x)}\) bằng \(e^{f(x)}\) nhân với đạo hàm f'(x).

合成（ごうせい）関数（かんすう）\(e^{f(x)}\)の導（どう）関数（かんすう）は\(e^{f(x)}\)にf'(x)を掛（か）けたものになります。

(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha-1}

Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ thực \(\alpha\) bất kỳ.

任意（にんい）の実数（じっすう）指数（しすう）\(\alpha\)を持（も）つ累乗（るいじょう）関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう）公式（こうしき）です。

EJU 2026 · MATH.19.1

Bài học này giúp bạn nắm vững cách tính đạo hàm của hàm số mũ cơ bản và hàm hợp, đồng thời áp dụng phương pháp đạo hàm lôgarit.

本課（ほんか）では、基本（きほん）および合成（ごうせい）された指数（しすう）関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう）の計算（けいさん）方法（ほうほう）を習得（しゅうとく）し、対数（たいすう）微分（びぶん）法（ほう）を応用（おうよう）します。

指数（しすう）関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう）
指数関数対数微分法対数微分法