Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Đạo hàm của hàm ẩn陰（いん）関数（かんすう）の微分（びぶん）法（ほう）

Công thức公式

\frac{d}{dx} f(y) = f'(y) \frac{dy}{dx}
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}
(\sin x)' = \cos x
(\cos x)' = -\sin x

Ví dụ例題

Cho đường tròn \(x^{2} + y^{2} = 25\). Tính giá trị đạo hàm dy/dx tại điểm (3, 4) nằm trên đường tròn.

円（えん） \(x^{2} + y^{2} = 25\) 上（うえ）の点（てん） (3, 4) における微分（びぶん）係数（けいすう） dy/dx を求（もと）めなさい。

  1. Đạo hàm hai vế của \(x^{2} + y^{2} = 25\) theo x ta được 2x + 2y * (dy/dx) = 0.\(x^{2} + y^{2} = 25\) の両辺（りょうへん）を x で微分（びぶん）すると 2x + 2y * (dy/dx) = 0 となります。
  2. Suy ra 2y * (dy/dx) = -2x, do đó dy/dx = -x/y với y khác 0.したがって 2y * (dy/dx) = -2x より、y ≠ 0 のとき dy/dx = -x/y と求（もと）まります。
  3. Thay x = 3 và y = 4 vào biểu thức dy/dx = -x/y ta được dy/dx = -3/4.点（てん） (3, 4) を dy/dx = -x/y に代入（だいにゅう）すると dy/dx = -3/4 となります。
Đạo hàm dy/dx tại điểm (3, 4) bằng -3/4.点（てん） (3, 4) における dy/dx の値（あたい）は -3/4 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho phương trình \(x^{2} - y^{2} = 9\). Tính giá trị đạo hàm dy/dx tại điểm (5, 4).方程（ほうてい）式（しき） \(x^{2} - y^{2} = 9\) において、点（てん） (5, 4) における dy/dx の値（あたい）を求（もと）めなさい。

2. Cho hàm số biểu diễn bằng tham số \(x = \sin t\), \(y = \cos t\) với \(0 < t < \pi / 2\). Tìm dy/dx theo t.媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ） \(x = \sin t\), \(y = \cos t\) \((0 < t < \pi / 2)\) について、dy/dx を t で表（あらわ）しなさい。

3. Cho phương trình \(3 x + \sin y = 5\). Tìm dy/dx theo y.方程（ほうてい）式（しき） \(3 x + \sin y = 5\) において、dy/dx を y で表（あらわ）しなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.19.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 3 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.19.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）3区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Phân biệt biểu diễn hàm hiện và biểu diễn hàm ẩn của một quan hệ giữa hai biến.2変数（へんすう）間（かん）の関係（かんけい）における陽関（ようかん）数（すう）表示（ひょうじ）と陰（いん）関数（かんすう）表示（ひょうじ）の違（ちが）いを理解（りかい）する。
  2. Vận dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp để tính đạo hàm dy/dx từ phương trình hàm ẩn.合成（ごうせい）関数（かんすう）の微分（びぶん）公式（こうしき）を用（もち）いて陰（いん）関数（かんすう）の方程（ほうてい）式（しき）から導（どう）関数（かんすう） dy/dx を求（もと）める。
  3. Tính đạo hàm dy/dx của hàm số cho bởi tham số t và các hàm số lượng giác \(\sin x\), \(\cos x\).媒介（ばいかい）変数（へんすう） t で表（あらわ）された関数（かんすう）および三角（さんかく）関数（かんすう） \(\sin x\), \(\cos x\) の導（どう）関数（かんすう） dy/dx を計算（けいさん）する。
Trực giác · イメージ

Trực giác về đạo hàm của mối quan hệ không giải trực tiếp y theo xyをxで直接（ちょくせつ）解（と）かない関係（かんけい）式（しき）における微分（びぶん）法（ほう）の直感（ちょっかん）

Nhiều quan hệ giữa x và y khó đưa về dạng y bằng f(x) nhưng y vẫn phụ thuộc vào x. Khi x thay đổi, y thay đổi theo sao cho phương trình ban đầu luôn thỏa mãn. Ta có thể lấy đạo hàm hai vế theo x bằng cách xem y là hàm số của x và áp dụng quy tắc chuỗi.

xとyの関係（かんけい）式（しき）にはyをxの関数（かんすう）y=f(x)として直接（ちょくせつ）解（と）くことが難（むずか）しいものが多（おお）くあります。しかしxの変化（へんか）に伴（ともな）いyも変化（へんか）するため、yをxの関数（かんすう）とみなして両辺（りょうへん）をxで微分（びぶん）できます。このときyの関数（かんすう）部分（ぶぶん）に合成（ごうせい）関数（かんすう）の微分（びぶん）法（ほう）を適用（てきよう）することが鍵（かぎ）となります。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 陰（いん）関数（かんすう）hàm ẩn

    Hàm số được cho dưới dạng phương trình liên hệ giữa x và y mà chưa giải ẩn y theo x.

    xとyの関係（かんけい）式（しき） F(x, y) = 0 のように、yがxについて直接（ちょくせつ）解（と）かれていない形（かたち）で表（あらわ）された関数（かんすう）です。

  • 陽関（ようかん）数（すう）hàm hiện

    Hàm số được biểu diễn trực tiếp dưới dạng y bằng f(x).

    y = f(x) のように、yがxの式（しき）として直接（ちょくせつ）表（あらわ）されている関数（かんすう）です。

  • 陰（いん）関数（かんすう）表示（ひょうじ）biểu diễn hàm ẩn

    Cách biểu diễn quan hệ giữa x và y bằng một phương trình đẳng thức F(x, y) = 0.

    xとyの関係（かんけい）を方程（ほうてい）式（しき） F(x, y) = 0 の形（かたち）として表現（ひょうげん）する方法（ほうほう）です。

  • 陽関（ようかん）数（すう）表示（ひょうじ）biểu diễn hàm hiện

    Cách biểu diễn hàm số bằng công thức y = f(x) xác định trực tiếp y qua x.

    yをxの関数（かんすう）として y = f(x) の形（かたち）に直接（ちょくせつ）書き表（かきあらわ）す表現（ひょうげん）方法（ほうほう）です。

  • 媒介（ばいかい）変数（へんすう）tham số

    Biến trung gian t dùng để biểu diễn cả x và y qua các hàm số x = f(t) và y = g(t).

    xとyの双方（そうほう）を x = f(t), y = g(t) として繋（つな）ぐ第（だい）三（さん）の変数（へんすう） t のことです。

  • 媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）biểu diễn bằng tham số

    Cách biểu diễn một đường cong hoặc quan hệ biến số bằng các phương trình x = f(t) và y = g(t).

    曲線（きょくせん）や変数（へんすう）の関係（かんけい）を x = f(t), y = g(t) という2つの方程（ほうてい）式（しき）で表現（ひょうげん）する方法（ほうほう）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：yをxの関数（かんすう）とみなして両辺（りょうへん）をxで微分（びぶん）する

    Bước 1: Coi y là hàm số của x và đạo hàm hai vế

    Trong phương trình hàm ẩn, ta lấy đạo hàm hai vế theo biến x. Mỗi biểu thức chứa y được đạo hàm bằng quy tắc chuỗi d/dx f(y) = f'(y) * dy/dx.

    陰（いん）関数（かんすう）の方程（ほうてい）式（しき）において両辺（りょうへん）をxで微分（びぶん）します。yを含（ふく）む項（こう）には合成（ごうせい）関数（かんすう）の微分（びぶん）法（ほう） d/dx f(y) = f'(y) * dy/dx を適用（てきよう）します。

  2. 02
    ステップ2：整理（せいり）して dy/dx について解（と）く

    Bước 2: Rút gọn và giải phương trình tìm dy/dx

    Nhóm các hạng tử chứa dy/dx về một vế và chuyển các hạng tử còn lại sang vế kia. Chia hai vế để nhận biểu thức biểu diễn dy/dx theo x và y.

    dy/dx を含（ふく）む項（こう）を一方（いっぽう）の辺（へん）にまとめ、その他（た）の項（こう）を他方（たほう）に移項（いこう）します。両辺（りょうへん）を割（わ）ることで dy/dx の式（しき）を導（みちび）きます。

  3. 03
    ステップ3：媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）の関数（かんすう）の微分（びぶん）を行（おこな）う

    Bước 3: Tính đạo hàm của hàm số cho bởi tham số

    Với hàm số cho bởi x = f(t) và y = g(t), tính đạo hàm dx/dt và dy/dt theo t. Áp dụng công thức dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) với dx/dt khác 0.

    x = f(t), y = g(t) のとき、まず dx/dt と dy/dt を計算（けいさん）します。dx/dt ≠ 0 のもとで dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) を適用（てきよう）します。

  4. 04
    ステップ4：三角（さんかく）関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう）の公式（こうしき）を適用（てきよう）する

    Bước 4: Áp dụng đạo hàm của hàm lượng giác

    Sử dụng các công thức đạo hàm cơ bản \((\sin x)\)' = \(\cos x\) và \((\cos x)\)' = -\(\sin x\) khi làm việc với biểu thức lượng giác. Kết hợp quy tắc chuỗi nếu biểu thức chứa y hoặc tham số t.

    三角（さんかく）関数（かんすう）が含（ふく）まれる場合（ばあい）は \((\sin x)\)' = \(\cos x\) や \((\cos x)\)' = -\(\sin x\) を用（もち）いて計算（けいさん）します。yや媒介（ばいかい）変数（へんすう）tの関数（かんすう）に適用（てきよう）する際（さい）は合成（ごうせい）関数（かんすう）の法則（ほうそく）に注意（ちゅうい）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Khi đạo hàm biểu thức chứa \(y^{2}\) theo x lại ghi là 2y thay vì 2y * (dy/dx).\(y^{2}\) を x で微分（びぶん）するとき、(dy/dx) を掛（か）け忘（わす）れて単（たん）に 2y と記（しる）してしまう誤（あやま）り。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Vì y là một hàm số theo x nên khi đạo hàm \(y^{2}\) theo x bắt buộc phải áp dụng quy tắc chuỗi thành 2y * (dy/dx).yはxの関数（かんすう）であるため、\(y^{2}\) の微分（びぶん）には合成（ごうせい）関数（かんすう）の微分（びぶん）法（ほう）を適用（てきよう）して 2y * (dy/dx) としなければなりません。

Tính đạo hàm của \(\cos x\) thành \(\sin x\) do quên dấu trừ.\(\cos x\) の導（どう）関数（かんすう）を計算（けいさん）する際（さい）にマイナス符号（ふごう）を忘（わす）れて \(\sin x\) としてしまう誤（あやま）り。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Nhớ chính xác công thức \((\cos x)\)' = -\(\sin x\) với dấu trừ phía trước.余弦（よげん）関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう）公式（こうしき） \((\cos x)\)' = -\(\sin x\) に従（したが）い、必（かなら）ず負（ふ）の符号（ふごう）を付（つ）けます。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Đạo hàm của hàm ẩn được thực hiện bằng cách đạo hàm hai vế theo x và áp dụng quy tắc chuỗi cho các biểu thức chứa y.陰（いん）関数（かんすう）の微分（びぶん）は、両辺（りょうへん）をxで微分（びぶん）しyを含（ふく）む項（こう）に合成（ごうせい）関数（かんすう）の微分（びぶん）法（ほう）を適用（てきよう）して行（おこな）います。
  • Đạo hàm dy/dx của hàm cho bởi tham số x(t), y(t) tính bằng tỉ số (dy/dt)/(dx/dt).媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ） x(t), y(t) の導（どう）関数（かんすう） dy/dx は (dy/dt)/(dx/dt) の比（ひ）で計算（けいさん）します。
  • Đạo hàm của hàm lượng giác cơ bản tuân theo công thức \((\sin x)\)' = \(\cos x\) và \((\cos x)\)' = -\(\sin x\).基本（きほん）三角（さんかく）関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう）は \((\sin x)\)' = \(\cos x\) および \((\cos x)\)' = -\(\sin x\) に従（したが）います。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\frac{d}{dx} f(y) = f'(y) \frac{dy}{dx}

Công thức quy tắc chuỗi khi lấy đạo hàm theo x của biểu thức f(y) phụ thuộc vào y.

yの関数（かんすう） f(y) を x で微分（びぶん）する際（さい）に用（もち）いる合成（ごうせい）関数（かんすう）の微分（びぶん）公式（こうしき）です。

\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}

Công thức tính đạo hàm dy/dx của hàm số cho dưới dạng tham số x(t) và y(t).

媒介（ばいかい）変数（へんすう） t で表（あらわ）された関数（かんすう）における dy/dx を求（もと）める公式（こうしき）です。

(\sin x)' = \cos x

Đạo hàm của hàm số \(\sin x\) theo biến x là \(\cos x\).

正弦（せいげん）関数（かんすう） \(\sin x\) の x に関（かん）する導（どう）関数（かんすう）は \(\cos x\) です。

(\cos x)' = -\sin x

Đạo hàm của hàm số \(\cos x\) theo biến x là -\(\sin x\).

余弦（よげん）関数（かんすう） \(\cos x\) の x に関（かん）する導（どう）関数（かんすう）は -\(\sin x\) です。

EJU 2026 · MATH.19.1

Bài học này hướng dẫn phương pháp tính đạo hàm của hàm ẩn và hàm số cho bởi tham số. Người học sẽ làm chủ quy tắc chuỗi áp dụng cho biến y và tính đạo hàm của các hàm lượng giác cơ bản.

本課（ほんか）では、陰（いん）関数（かんすう）および媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）の関数（かんすう）の微分（びぶん）法（ほう）を解説（かいせつ）します。yに関（かん）する合成（ごうせい）関数（かんすう）の微分（びぶん）規則（きそく）と基本（きほん）三角（さんかく）関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう）の計算（けいさん）をマスターします。

陰（いん）関数（かんすう）の微分（びぶん）法（ほう）
陰関数陽関数陰関数表示陽関数表示