Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Đạo hàm của hàm số lôgarit対数（たいすう）関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう）

Công thức公式

\lim_{h \to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} = e
(\log x)' = \frac{1}{x}
(\log_a x)' = \frac{1}{x \log a}
(\log |x|)' = \frac{1}{x}

Ví dụ例題

Tính đạo hàm của hàm số y = \(\log_3\) x tại x = 2.

関数（かんすう） y = \(\log_3\) x の x = 2 における微分（びぶん）係数（けいすう）を求（もと）めなさい。

  1. Áp dụng công thức đạo hàm với cơ số a = 3 ta có (\(\log_3\) x)' = \(\frac{1}{x \log 3}\).底（そこ） a = 3 の導（どう）関数（かんすう）公式（こうしき）を適用（てきよう）すると (\(\log_3\) x)' = \(\frac{1}{x \log 3}\) となります。
  2. Thay x = 2 vào biểu thức đạo hàm ta nhận được y'(2) = \(\frac{1}{2 \log 3}\).x = 2 を導（どう）関数（かんすう）の式（しき）に代入（だいにゅう）すると y'(2) = \(\frac{1}{2 \log 3}\) が得（え）られます。
Giá trị đạo hàm của y = \(\log_3\) x tại x = 2 là \(\frac{1}{2 \log 3}\).y = \(\log_3\) x の x = 2 における微分（びぶん）係数（けいすう）は \(\frac{1}{2 \log 3}\) です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Tính đạo hàm của hàm số y = \(\log_5\) x tại x = 4.関数（かんすう） y = \(\log_5\) x の x = 4 における微分（びぶん）係数（けいすう）を求（もと）めなさい。

2. Giá trị đạo hàm của hàm số y = \(\log\) |x| tại x = -3 bằng bao nhiêu?関数（かんすう） y = \(\log\) |x| の x = -3 における微分（びぶん）係数（けいすう）はいくらですか。

3. Theo định nghĩa của hằng số e, giá trị của giới hạn \(\lim_{h \to 0}\) (1+h)^{\(\frac{1}{h}\)} là gì?定数（ていすう） e の定義（ていぎ）において、極限（きょくげん） \(\lim_{h \to 0}\) (1+h)^{\(\frac{1}{h}\)} の値（あたい）は何（なん）ですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.19.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.19.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu định nghĩa hằng số e thông qua giới hạn và khái niệm lôgarit tự nhiên.極限（きょくげん）による定数（ていすう） e の定義（ていぎ）と自然（しぜん）対数（たいすう）の概念（がいねん）を理解（りかい）する。
  2. Vận dụng công thức đạo hàm cho các hàm số log x, log_a x và log|x|.log x, log_a x, log|x| の導（どう）関数（かんすう）公式（こうしき）を正（ただ）しく適用（てきよう）して計算（けいさん）する。
  3. Sử dụng công thức đổi cơ số để biến đổi và tính đạo hàm của hàm số lôgarit.底（そこ）の変換（へんかん）公式（こうしき）を用（もち）いて対数（たいすう）関数（かんすう）を変形（へんけい）し微分（びぶん）を導（みちび）く。
Trực giác · イメージ

Trực giác về tốc độ thay đổi của hàm lôgarit và hằng số e対数（たいすう）関数（かんすう）の変化（へんか）率（りつ）と定数（ていすう） e に関（かん）する直感（ちょっかん）

Hàm số lôgarit \(\log x\) là hàm ngược của hàm số mũ. Khi x tăng lên lớn, tốc độ tăng của \(\log x\) chậm dần và tốc độ thay đổi tại x đúng bằng 1/x với cơ số tự nhiên e. Hằng số e xuất hiện tự nhiên từ giới hạn của \((1 + h)^{1 / h}\) khi h tiến về 0.

対数（たいすう）関数（かんすう） \(\log x\) は指数（しすう）関数（かんすう）の逆（ぎゃく）関数（かんすう）です。xが大（おお）きくなるにつれて \(\log x\) の増加（ぞうか）は緩（ゆる）やかになり、自然（しぜん）底（てい） e のとき変化（へんか）率（りつ）は 1/x となります。定数（ていすう） e は h を0に近（ちか）づけたときの \((1 + h)^{1 / h}\) の極限（きょくげん）として自然（しぜん）に導（みちび）かれます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 自然（しぜん）対数（たいすう）lôgarit tự nhiên

    Lôgarit có cơ số là hằng số e, thường được viết là \(\log x\) (hoặc \(\ln x\)).

    定数（ていすう） e を底（そこ）とする対数（たいすう）であり、通常（つうじょう） \(\log x\) と表記（ひょうき）されます。

  • 対数（たいすう）関数（かんすう）hàm số lôgarit

    Hàm số dạng y = log_a x với cơ số a dương và khác 1.

    底（そこ） a (a > 0, a ≠ 1) を持（も）つ y = log_a x の形（かたち）をした関数（かんすう）です。

  • 底（そこ）の変換（へんかん）公式（こうしき）công thức đổi cơ số

    Công thức chuyển đổi cơ số lôgarit log_a x = (log x) / (log a) về lôgarit tự nhiên.

    対数（たいすう） log_a x を自然（しぜん）対数（たいすう）を用（もち）いて log_a x = (log x) / (log a) と書き換（かきか）える公式（こうしき）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：定数（ていすう） e の定義（ていぎ）を理解（りかい）する

    Bước 1: Nắm vững định nghĩa hằng số e

    Hằng số e được định nghĩa qua giới hạn \(\lim_{h \to 0}\) (1+h)^{\(\frac{1}{h}\)} = e. Giới hạn này là nền tảng để xây dựng công thức đạo hàm của hàm số lôgarit.

    定数（ていすう） e は極限（きょくげん） \(\lim_{h \to 0}\) (1+h)^{\(\frac{1}{h}\)} = e によって定義（ていぎ）されます。この極限（きょくげん）が対数（たいすう）関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう）公式（こうしき）の基礎（きそ）となります。

  2. 02
    ステップ2：自然（しぜん）対数（たいすう）の導（どう）関数（かんすう）公式（こうしき）を適用（てきよう）する

    Bước 2: Áp dụng công thức đạo hàm của lôgarit tự nhiên

    Đạo hàm của hàm số lôgarit tự nhiên log x với x > 0 là (\(\log\) x)' = \(\frac{1}{x}\). Với hàm chứa giá trị tuyệt đối, công thức vẫn giữ nguyên (\(\log\) |x|)' = \(\frac{1}{x}\) cho mọi x khác 0.

    x > 0 における自然（しぜん）対数（たいすう） log x の導（どう）関数（かんすう）は (\(\log\) x)' = \(\frac{1}{x}\) です。絶対（ぜったい）値（ち）を含（ふく）む場合（ばあい）も x ≠ 0 で (\(\log\) |x|)' = \(\frac{1}{x}\) が成り立（なりた）ちます。

  3. 03
    ステップ3：一般（いっぱん）の底（そこ） a をもつ対数（たいすう）関数（かんすう）の微分（びぶん）

    Bước 3: Đạo hàm của hàm lôgarit cơ số a bất kỳ

    Khi cơ số là a (a > 0, a \(\neq\) 1), sử dụng công thức đổi cơ số log_a x = (log x)/(log a). Lấy đạo hàm hai vế ta thu được (\(\log_a\) x)' = \(\frac{1}{x \log a}\).

    底（そこ）が a (a > 0, a ≠ 1) の場合（ばあい）、底（そこ）の変換（へんかん）公式（こうしき） log_a x = (log x)/(log a) を用（はたら）きます。微分（びぶん）することにより (\(\log_a\) x)' = \(\frac{1}{x \log a}\) が得（え）られます。

  4. 04
    ステップ4：変数（へんすう）の定義（ていぎ）域（いき）条件（じょうけん）を確認（かくにん）する

    Bước 4: Kiểm tra điều kiện xác định của biến số

    Biểu thức \(\log x\) chỉ xác định khi x > 0, còn log|x| xác định khi x khác 0. Cần lưu ý tập xác định khi tính và sử dụng kết quả đạo hàm.

    \(\log x\) は x > 0 で定義（ていぎ）され、log|x| は x ≠ 0 で定義（ていぎ）されます。導（どう）関数（かんすう）を計算（けいさん）・利用（りよう）する際（さい）は定義（ていぎ）域（いき）の条件（じょうけん）に注意（ちゅうい）が必要（ひつよう）です。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn công thức đạo hàm của \(\log_a\) x thành \(\frac{1}{x}\) mà quên hệ số \(\frac{1}{\log a}\).\(\log_a\) x の導（どう）関数（かんすう）を計算（けいさん）する際（さい）、\(\frac{1}{\log a}\) を忘（わす）れて単（たん）に \(\frac{1}{x}\) と表記（ひょうき）してしまう誤（あやま）り。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Chỉ khi cơ số là e thì (\(\log\) x)' mới bằng \(\frac{1}{x}\). Với cơ số a bất kỳ, phải ghi đúng (\(\log_a\) x)' = \(\frac{1}{x \log a}\).底（そこ）が e のときのみ (\(\log\) x)' = \(\frac{1}{x}\) となります。一般（いっぱん）の底（そこ） a では (\(\log_a\) x)' = \(\frac{1}{x \log a}\) とする原則（げんそく）を徹底（てってい）します。

Cho rằng (\(\log\) |x|)' có kết quả khác nhau khi x > 0 và x < 0.(\(\log\) |x|)' の結果（けっか）が x > 0 と x < 0 で異（こと）なると誤解（ごかい）するエラー。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Cho dù x > 0 hay x < 0 thì kết quả đạo hàm của \(\log\)|x| luôn luôn bằng \(\frac{1}{x}\) với mọi x khác 0.x > 0 でも x < 0 でも、x ≠ 0 の範囲（はんい）全体（ぜんたい）で (\(\log\) |x|)' = \(\frac{1}{x}\) という共通（きょうつう）の式（しき）になります。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Hằng số e được xác định bởi giới hạn \(\lim_{h \to 0}\) (1+h)^{\(\frac{1}{h}\)} = e.定数（ていすう） e は極限（きょくげん） \(\lim_{h \to 0}\) (1+h)^{\(\frac{1}{h}\)} = e によって定義（ていぎ）されます。
  • Đạo hàm của hàm lôgarit tự nhiên là (\(\log\) x)' = \(\frac{1}{x}\) với x > 0 và (\(\log\) |x|)' = \(\frac{1}{x}\) với x khác 0.自然（しぜん）対数（たいすう）の導（どう）関数（かんすう）は x > 0 で (\(\log\) x)' = \(\frac{1}{x}\)、x ≠ 0 で (\(\log\) |x|)' = \(\frac{1}{x}\) です。
  • Với cơ số a bất kỳ, đạo hàm của hàm lôgarit được tính theo công thức (\(\log_a\) x)' = \(\frac{1}{x \log a}\).一般（いっぱん）の底（そこ） a における対数（たいすう）関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう）は (\(\log_a\) x)' = \(\frac{1}{x \log a}\) です。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\lim_{h \to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} = e

Giới hạn định nghĩa hằng số e khi h tiến về 0.

hが0に近（ちか）づくときの定数（ていすう） e を定義（ていぎ）する極限（きょくげん）式（しき）です。

(\log x)' = \frac{1}{x}

Công thức đạo hàm của lôgarit tự nhiên \(\log x\) với x > 0.

x > 0 における自然（しぜん）対数（たいすう） \(\log x\) の導（どう）関数（かんすう）公式（こうしき）です。

(\log_a x)' = \frac{1}{x \log a}

Công thức đạo hàm của lôgarit cơ số a bất kỳ với x > 0.

底（そこ） a の対数（たいすう）関数（かんすう） log_a x の導（どう）関数（かんすう）公式（こうしき）です。

(\log |x|)' = \frac{1}{x}

Công thức đạo hàm của lôgarit có giá trị tuyệt đối log|x| với x khác 0.

絶対（ぜったい）値（ち）を含（ふく）む対数（たいすう）関数（かんすう） log|x| (x ≠ 0) の導（どう）関数（かんすう）公式（こうしき）です。

EJU 2026 · MATH.19.1

Bài học này giới thiệu công thức tính đạo hàm của hàm số lôgarit cơ số e và cơ số a bất kỳ. Người học sẽ nắm vững cách đạo hàm hàm số lôgarit có chứa giá trị tuyệt đối và định nghĩa hằng số e.

本課（ほんか）では、自然（しぜん）底（てい） e および一般（いっぱん）の底（そこ） a をもつ対数（たいすう）関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう）公式（こうしき）を解説（かいせつ）します。絶対（ぜったい）値（ち）を含（ふく）む対数（たいすう）関数（かんすう）の微分（びぶん）と定数（ていすう） e の定義（ていぎ）をマスターします。

対数（たいすう）関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう）
自然対数対数関数底の変換公式