Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Đạo hàm của hàm hợp合成（ごうせい）関数（かんすう）の微分（びぶん）法（ほう）

Công thức公式

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
[\{f(x)\}^n]' = n \{f(x)\}^{n-1} f'(x)
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}
(x^r)' = r x^{r-1}

Ví dụ例題

Tính đạo hàm của hàm số \(y = (3 x + 2)^{4}\) theo biến x.

関数（かんすう） \(y = (3 x + 2)^{4}\) のxに関（かん）する導（どう）関数（かんすう） dy/dx を求（もと）めなさい。

  1. Đặt u = 3x + 2, khi đó hàm số trở thành \(y = u^{4}\).u = 3x + 2 と置（お）くと、関数（かんすう）は \(y = u^{4}\) と表（あらわ）されます。
  2. Tính đạo hàm các hàm thành phần: \(dy / du = 4 u^{3}\) và du/dx = 3.各（かく）構成（こうせい）関数（かんすう）の微分（びぶん）を計算（けいさん）すると、\(dy / du = 4 u^{3}\) および du/dx = 3 となります。
  3. Áp dụng \(dy / dx = (dy / du)\cdot (du / dx) = 4 u^{3}\cdot 3 = 12 u^{3}\). Thay u = 3x + 2 thu được \(dy / dx = 12 (3 x + 2)^{3}\).\(dy / dx = (dy / du)\cdot (du / dx) = 4 u^{3}\cdot 3 = 12 u^{3}\) を適用（てきよう）し、u = 3x + 2 を代入（だいにゅう）すると \(dy / dx = 12 (3 x + 2)^{3}\) となります。
Vậy đạo hàm của hàm số \(y = (3 x + 2)^{4}\) là y' = \(12 (3 x + 2)^{3}\).したがって、関数（かんすう） \(y = (3 x + 2)^{4}\) の導（どう）関数（かんすう）は y' = \(12 (3 x + 2)^{3}\) です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Tính đạo hàm y' của hàm số \(y = (2 x - 1)^{4}\) theo biến x.関数（かんすう） \(y = (2 x - 1)^{4}\) のxに関（かん）する導（どう）関数（かんすう） y' を求（もと）めなさい。

2. Cho hàm số \(f(x) = (x^{2} + 3)^{3}\). Đạo hàm f'(x) của hàm số bằng biểu thức nào sau đây?関数（かんすう） \(f(x) = (x^{2} + 3)^{3}\) の導（どう）関数（かんすう） f'(x) を表（あらわ）す正（ただ）しい式（しき）を選（えら）びなさい。

3. Cho mối quan hệ \(x = y^{2} + y\) (với y > 0). Giá trị của đạo hàm dy/dx tại điểm y = 1 bằng bao nhiêu?関係（かんけい）式（しき） \(x = y^{2} + y\) (y > 0) において、y = 1 における微分（びぶん）係数（けいすう） dy/dx の値（あたい）を求（もと）めなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.19.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 3 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.19.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）3区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nắm vững quy tắc đạo hàm của hàm hợp dy/dx = (dy/du)*(du/dx) và công thức [{f(x)}^n]' = n {f(x)}^{n-1} f'(x).合成（ごうせい）関数（かんすう）の微分（びぶん）規則（きそく） dy/dx = (dy/du)*(du/dx) および公式（こうしき） [{f(x)}^n]' = n {f(x)}^{n-1} f'(x) を確実（かくじつ）に習得（しゅうとく）する。
  2. Vận dụng công thức đạo hàm hàm ngược và lũy thừa với số mũ thực \((x^{r})\)' = r \(x^{r - 1}\) vào giải bài tập.逆（ぎゃく）関数（かんすう）の微分（びぶん）公式（こうしき）および実数（じっすう）指数（しすう）の微分（びぶん）公式（こうしき） \((x^{r})\)' = r \(x^{r - 1}\) を演習（えんしゅう）問題（もんだい）に応用（おうよう）できるようになる。
Trực giác · イメージ

Trực giác về mối liên hệ chuỗi trong đạo hàm hàm hợp合成（ごうせい）関数（かんすう）の微分（びぶん）における連鎖（れんさ）関係（かんけい）の直感（ちょっかん）的（てき）理解（りかい）

Khi x thay đổi kéo theo u thay đổi, và u thay đổi lại làm y thay đổi. Tốc độ thay đổi của y theo x chính là tích của tốc độ thay đổi y theo u và tốc độ thay đổi u theo x.

xの変化（へんか）がuの変化（へんか）を引き起（ひきお）こし、uの変化（へんか）がyの変化（へんか）を引き起（ひきお）こします。xに対（たい）するyの変化（へんか）率（りつ）は、uに対（たい）するyの変化（へんか）率（りつ）とxに対（たい）するuの変化（へんか）率（りつ）の積（せき）になります。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 合成（ごうせい）関数（かんすう）hàm hợp

    Hàm số được tạo thành bằng cách đặt một hàm số u = g(x) vào trong một hàm số y = f(u), ký hiệu y = f(g(x)).

    関数（かんすう） u = g(x) を別（べつ）の関数（かんすう） y = f(u) に代入（だいにゅう）して得（え）られる関数（かんすう） y = f(g(x)) のことです。

  • 合成（ごうせい）関数（かんすう）の微分（びぶん）法（ほう）đạo hàm của hàm hợp

    Phương pháp tính đạo hàm của hàm hợp bằng cách nhân đạo hàm của hàm bên ngoài theo u với đạo hàm của hàm bên trong theo x.

    外側（そとがわ）の関数（かんすう）のuに関（かん）する微分（びぶん）と内側（うちがわ）の関数（かんすう）のxに関（かん）する微分（びぶん）の積（せき）をとる合成（ごうせい）関数（かんすう）の計算（けいさん）手法（しゅほう）です。

  • 増分（ぞうぶん）số gia

    Lượng thay đổi của biến số hoặc giá trị hàm số, thường ký hiệu là \(\Delta\) x hoặc \(\Delta\) y, làm nền tảng định nghĩa tỷ số biến thiên.

    変数（へんすう）や関数（かんすう）の値（あたい）の変化（へんか）量（りょう）を表（あらわ）し、通常（つうじょう） \(\Delta\) x や \(\Delta\) y と表記（ひょうき）され、変化（へんか）率（りつ）の定義（ていぎ）の基礎（きそ）となります。

  • 逆（ぎゃく）関数（かんすう）hàm ngược

    Hàm số x = g(y) đảo ngược mối quan hệ giữa biến số và giá trị của hàm số gốc y = f(x).

    元（もと）の関数（かんすう） y = f(x) における変数（へんすう）と値（あたい）の関係（かんけい）を入れ替（いれか）えた関数（かんすう） x = g(y) のことです。

  • 逆（ぎゃく）関数（かんすう）の微分（びぶん）法（ほう）đạo hàm của hàm ngược

    Quy tắc tính đạo hàm dy/dx của hàm ngược thông qua nghịch đảo của dx/dy.

    逆（ぎゃく）関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう） dy/dx を dx/dy の逆数（ぎゃくすう）を利用（りよう）して求（もと）める微分（びぶん）規則（きそく）です。

  • 無理（むり）関数（かんすう）hàm vô tỷ

    Hàm số có chứa biến số x dưới dấu căn thức, có thể viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ \(x^{r}\).

    根号（こんごう）の中（なか）に変数（へんすう）xを含（ふく）む関数（かんすう）であり、有理（ゆうり）数（すう）指数（しすう） \(x^{r}\) の形（かたち）に書き換（かきか）えて微分（びぶん）できます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1: 内側（うちがわ）の関数（かんすう） u = g(x) と外側（そとがわ）の関数（かんすう） y = f(u) を特定（とくてい）する

    Bước 1: Xác định hàm số bên trong u = g(x) và hàm số bên ngoài y = f(u)

    Phân tích biểu thức cho trước để chọn phần ẩn phụ u sao cho y trở thành hàm số đơn giản theo u.

    与（あた）えられた式（しき）を分析（ぶんせき）し、yがuの単純（たんじゅん）な関数（かんすう）となるように内側（うちがわ）の式（しき）をuと置（お）きます。

  2. 02
    ステップ2: dy/du と du/dx をそれぞれ計算（けいさん）する

    Bước 2: Tính đạo hàm riêng lẻ dy/du và du/dx

    Sử dụng các công thức đạo hàm cơ bản để tìm dy/du theo biến u và du/dx theo biến x.

    基本（きほん）的（てき）な微分（びぶん）公式（こうしき）を用（もち）いて、uに関（かん）する dy/du と xに関（かん）する du/dx を求（もと）めます。

  3. 03
    ステップ3: 連鎖（れんさ）律（りつ） dy/dx = (dy/du) * (du/dx) に従（したが）い積（せき）をとる

    Bước 3: Nhân hai đạo hàm theo quy tắc chuỗi dy/dx = (dy/du) * (du/dx)

    Nhân kết quả dy/du với du/dx để thu được đạo hàm của y theo x.

    dy/du と du/dx の計算（けいさん）結果（けっか）を掛け合（かけあ）わせることで、xに対（たい）するyの導（どう）関数（かんすう）を得（え）ます。

  4. 04
    ステップ4: u = g(x) を代入（だいにゅう）してxの式（しき）に戻（もど）す

    Bước 4: Thay u = g(x) trở lại để được biểu thức theo biến x

    Thế lại u bằng biểu thức của x và thu gọn kết quả cuối cùng.

    uに元（もと）のxの式（しき）を代入（だいにゅう）し、最終（さいしゅう）的（てき）な結果（けっか）をxの式（しき）として整理（せいり）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên nhân với đạo hàm của hàm bên trong f'(x), ví dụ tính [\((2 x + 1)^{3}\)]' = \(3 (2 x + 1)^{2}\).内側（うちがわ）の関数（かんすう）の微分（びぶん） f'(x) を掛（か）け忘（わす）れて、[\((2 x + 1)^{3}\)]' = \(3 (2 x + 1)^{2}\) と計算（けいさん）してしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn nhân thêm f'(x) theo đúng công thức [{f(x)}^n]' = n {f(x)}^{n-1} f'(x), ở đây (2x+1)' = 2 nên kết quả phải là 6(2x+1)^2.公式（こうしき） [{f(x)}^n]' = n {f(x)}^{n-1} f'(x) に従（したが）い必（かなら）ず f'(x) を掛（か）けます。ここでは (2x+1)' = 2 なので正解（せいかい）は 6(2x+1)^2 です。

Áp dụng sai công thức đạo hàm hàm ngược dy/dx = dx/dy thay vì lấy nghịch đảo.逆（ぎゃく）関数（かんすう）の微分（びぶん）公式（こうしき）で逆数（ぎゃくすう）をとらずに dy/dx = dx/dy と誤（あやま）って適用（てきよう）してしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Phải lấy nghịch đảo 1/(dx/dy) theo đúng công thức dy/dx = 1 / (dx/dy).公式（こうしき） dy/dx = 1 / (dx/dy) に従（したが）って、必（かなら）ず 1/(dx/dy) という逆数（ぎゃくすう）の形（かたち）にする必要（ひつよう）があります。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Quy tắc đạo hàm hàm hợp dy/dx = (dy/du)*(du/dx) giúp tính đạo hàm của các biểu thức lồng nhau một cách hệ thống.合成（ごうせい）関数（かんすう）の微分（びぶん）規則（きそく） dy/dx = (dy/du)*(du/dx) により、入れ子（いれこ）構造（こうぞう）の式（しき）を体系（たいけい）的（てき）に微分（びぶん）できます。
  • Đạo hàm của hàm ngược dy/dx = 1/(dx/dy) cho phép tìm đạo hàm theo biến gốc mà không cần giải trực tiếp hàm ngược.逆（ぎゃく）関数（かんすう）の微分（びぶん） dy/dx = 1/(dx/dy) を使（つか）えば、逆（ぎゃく）関数（かんすう）を直接（ちょくせつ）解（と）かずに元（もと）の変数（へんすう）に関（かん）する導（どう）関数（かんすう）を求（もと）められます。
  • Luôn kiểm tra việc nhân với đạo hàm của hàm bên trong f'(x) để tránh mất mát hạng tử khi giải bài tập EJU.EJUの解答（かいとう）作成（さくせい）時（じ）、内側（うちがわ）の関数（かんすう）の微分（びぶん） f'(x) の掛（か）け忘（わす）れがないか常（つね）に確認（かくにん）してください。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

Quy tắc chuỗi để tính đạo hàm của hàm hợp y = f(u) với u = g(x).

合成（ごうせい）関数（かんすう） y = f(u), u = g(x) の導（どう）関数（かんすう）を求（もと）めるための連鎖（れんさ）律（りつ）公式（こうしき）です。

[\{f(x)\}^n]' = n \{f(x)\}^{n-1} f'(x)

Công thức tính đạo hàm trực tiếp của lũy thừa hàm số, bằng n nhân lũy thừa bậc n-1 nhân với đạo hàm của hàm bên trong.

関数（かんすう）の累乗（るいじょう）の導（どう）関数（かんすう）を直接（ちょくせつ）求（もと）める公式（こうしき）で、nにn-1乗（のり）と内側（うちがわ）の微分（びぶん）を掛け合（かけあ）わせます。

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}

Công thức tính đạo hàm của hàm ngược bằng nghịch đảo đạo hàm của hàm thuận.

逆（ぎゃく）関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう）を、元（もと）の関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう）の逆数（ぎゃくすう）として求（もと）める公式（こうしき）です。

(x^r)' = r x^{r-1}

Công thức mở rộng tính đạo hàm lũy thừa với số mũ thực r bất kỳ.

任意（にんい）の実数（じっすう）指数（しすう）rに対（たい）する累乗（るいじょう）関数（かんすう）の微分（びぶん）公式（こうしき）の拡張（かくちょう）です。

EJU 2026 · MATH.19.1

Bài học này trình bày phương pháp tính đạo hàm của hàm hợp, hàm ngược và hàm vô tỷ thông qua quy tắc chuỗi và các công thức mở rộng. Đây là công cụ quan trọng giúp giải quyết các bài toán giải tích nâng cao trong kỳ thi EJU.

本課（ほんか）では、連鎖（れんさ）律（りつ）や拡張（かくちょう）公式（こうしき）を用（もち）いて合成（ごうせい）関数（かんすう）、逆（ぎゃく）関数（かんすう）、無理（むり）関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう）を求（もと）める方法（ほうほう）を学（まな）びます。これはEJU試験（しけん）における高度（こうど）な解析（かいせき）問題（もんだい）を解決（かいけつ）するための重要（じゅうよう）なツールです。

合成（ごうせい）関数（かんすう）の微分（びぶん）法（ほう）
合成関数合成関数の微分法増分逆関数