Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Đạo hàm của tích và thương積（せき）・商（しょう）の微分（びぶん）法（ほう）

Kiến thức cần dùng必要（ひつよう）な知識（ちしき）

\((uv)'=u'v+uv'\)\((uv)'=u'v+uv'\)

Áp dụng khi u và v khả vi tại điểm xét.

u, v がその点（てん）で微分（びぶん）可能（かのう）なときに用（もち）いる。

\((uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'\)\((uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'\)

Đạo hàm tích ba hàm: mỗi lần đạo hàm một thừa số và giữ nguyên hai thừa số còn lại.

3関数（かんすう）の積（せき）では、1因子（いんし）ずつ微分（びぶん）し、他（ほか）の2因子（いんし）をそのままにする。

\(\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\)\(\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\)

Cần u, v khả vi và \(v(x)\ne0\). Thứ tự tử số là “đạo hàm tử × mẫu − tử × đạo hàm mẫu”.

u, v が微分（びぶん）可能（かのう）で \(v(x)\ne0\)。分子（ぶんし）の順序（じゅんじょ）は「分子（ぶんし）の微分（びぶん）×分母（ぶんぼ） − 分子（ぶんし）×分母（ぶんぼ）の微分（びぶん）」。

\(\left(\frac1v\right)'=-\frac{v'}{v^2}\)\(\left(\frac1v\right)'=-\frac{v'}{v^2}\)

Là trường hợp riêng của quy tắc thương.

商（しょう）の微分（びぶん）法（ほう）の特別（とくべつ）な場合（ばあい）である。

Công thức公式

(x^n)' = n x^{n-1}
(c)' = 0
(k u)' = k u'
(u \pm v)' = u' \pm v'

Cách làm解（と）き方（かた）

  1. Nhận dạng biểu thức là tích hay thương; không khai triển nếu quy tắc trực tiếp ngắn hơn.式（しき）が積（せき）か商（しょう）かを見分（みわ）け、直接（ちょくせつ）公式（こうしき）の方（ほう）が短（みじか）ければ無理（むり）に展開（てんかい）しない。
  2. Đặt u, v rõ ràng và tính u′, v′ riêng.u, v を明確（めいかく）におき、u′, v′ を別々（べつべつ）に求（もと）める。
  3. Thay đúng thứ tự vào công thức, đặc biệt dấu trừ ở tử của thương.公式（こうしき）の順序（じゅんじょ）どおりに代入（だいにゅう）し、特（とく）に商（しょう）の分子（ぶんし）のマイナスに注意（ちゅうい）する。
  4. Thu gọn và ghi điều kiện mẫu khác 0.整理（せいり）し、分母（ぶんぼ）が0でない条件（じょうけん）を記（しる）す。

Ví dụ có lời giải解説（かいせつ）付（つ）き例題（れいだい）

Tính đạo hàm \(f(x)=(x^2+1)(3x-2)\).

\(f(x)=(x^2+1)(3x-2)\) を微分（びぶん）せよ。

  1. Đặt \(u=x^2+1\), \(v=3x-2\), nên \(u'=2x\), \(v'=3\).\(u=x^2+1\), \(v=3x-2\) とおくと、\(u'=2x\), \(v'=3\)。
  2. \(f'=u'v+uv'=2x(3x-2)+3(x^2+1)\).\(f'=u'v+uv'=2x(3x-2)+3(x^2+1)\)。
  3. Thu gọn: \(f'=9x^2-4x+3\).整理（せいり）して \(f'=9x^2-4x+3\)。
\(f'(x)=9x^2-4x+3\).\(f'(x)=9x^2-4x+3\)。

Không dùng \((uv)'=u'v'\); phải có hai số hạng.

\((uv)'=u'v'\) ではない。2項（こう）が必要（ひつよう）。

Ví dụ có lời giải解説（かいせつ）付（つ）き例題（れいだい）

Tính đạo hàm \(g(x)=(x^2+1)/(x-1)\), \(x\ne1\).

\(g(x)=(x^2+1)/(x-1)\), \(x\ne1\) を微分（びぶん）せよ。

  1. Đặt \(u=x^2+1\), \(v=x-1\); \(u'=2x\), \(v'=1\).\(u=x^2+1\), \(v=x-1\) とおく。\(u'=2x\), \(v'=1\)。
  2. \(g'=(u'v-uv')/v^2=[2x(x-1)-(x^2+1)]/(x-1)^2\).\(g'=(u'v-uv')/v^2=[2x(x-1)-(x^2+1)]/(x-1)^2\)。
  3. Thu gọn tử: \(g'=(x^2-2x-1)/(x-1)^2\), \(x\ne1\).分子（ぶんし）を整理（せいり）して \(g'=(x^2-2x-1)/(x-1)^2\), \(x\ne1\)。
\(g'(x)=(x^2-2x-1)/(x-1)^2\), \(x\ne1\).\(g'(x)=(x^2-2x-1)/(x-1)^2\), \(x\ne1\)。

Không đảo thứ tự thành \(uv'-u'v\); dấu của tử số sẽ sai.

分子（ぶんし）を \(uv'-u'v\) と逆（ぎゃく）にしない。

Ví dụ例題

Tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = 3 x^{4} - 2 x^{2} + 7 x - 5\) tại mọi điểm x.

関数（かんすう） \(f(x) = 3 x^{4} - 2 x^{2} + 7 x - 5\) の導（どう）関数（かんすう） f'(x) を求（もと）めなさい。

  1. Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng và hiệu: f'\((x) = (3 x^{4})\)' - \((2 x^{2})\)' + (7x)' - (5)'.和（わ）と差（さ）の微分（びぶん）公式（こうしき）を適用（てきよう）すると、f'\((x) = (3 x^{4})\)' - \((2 x^{2})\)' + (7x)' - (5)' となります。
  2. Đưa các hệ số ra ngoài và tính đạo hàm từng hạng tử: \((3 x^{4})\)' = \(3\cdot (4 x^{3}) = 12 x^{3}\); \((2 x^{2})\)' = 2*(2x) = 4x; (7x)' = 7*(1) = 7; (5)' = 0.定数（ていすう）倍（ばい）と累乗（るいじょう）の公式（こうしき）を適用（てきよう）すると、\((3 x^{4})\)' = \(3\cdot (4 x^{3}) = 12 x^{3}\)、\((2 x^{2})\)' = 2*(2x) = 4x、(7x)' = 7*(1) = 7、(5)' = 0 となります。
  3. Kết hợp các kết quả lại ta thu được f'\((x) = 12 x^{3} - 4 x + 7\).各項（かくこう）の結果（けっか）をまとめると、f'\((x) = 12 x^{3} - 4 x + 7\) が得（え）られます。
Vậy đạo hàm của hàm số \(f(x) = 3 x^{4} - 2 x^{2} + 7 x - 5\) là f'\((x) = 12 x^{3} - 4 x + 7\).したがって、関数（かんすう） \(f(x) = 3 x^{4} - 2 x^{2} + 7 x - 5\) の導（どう）関数（かんすう）は f'\((x) = 12 x^{3} - 4 x + 7\) です。

Tự luyện自分（じぶん）で練習（れんしゅう）

Tính đạo hàm \(y=(x^2-1)(2x+3)\).

\(y=(x^2-1)(2x+3)\) を微分（びぶん）せよ。

Xem công thức và lời giải公式（こうしき）と解説（かいせつ）を見（み）る
  1. \(u=x^2-1, u'=2x; v=2x+3, v'=2\).\(u=x^2-1, u'=2x; v=2x+3, v'=2\)。
  2. \(y'=2x(2x+3)+2(x^2-1)=6x^2+6x-2\).\(y'=2x(2x+3)+2(x^2-1)=6x^2+6x-2\)。
\(y'=6x^2+6x-2\).\(y'=6x^2+6x-2\)。

Tự luyện自分（じぶん）で練習（れんしゅう）

Tính đạo hàm \(y=(x^2+1)/(x-2)\), \(x\ne2\).

\(y=(x^2+1)/(x-2)\), \(x\ne2\) を微分（びぶん）せよ。

Xem công thức và lời giải公式（こうしき）と解説（かいせつ）を見（み）る
  1. \(u=x^2+1,u'=2x; v=x-2,v'=1\).\(u=x^2+1,u'=2x; v=x-2,v'=1\)。
  2. \(y'=[2x(x-2)-(x^2+1)]/(x-2)^2\).\(y'=[2x(x-2)-(x^2+1)]/(x-2)^2\)。
  3. \(y'=(x^2-4x-1)/(x-2)^2\), \(x\ne2\).\(y'=(x^2-4x-1)/(x-2)^2\), \(x\ne2\)。
\(y'=(x^2-4x-1)/(x-2)^2\), \(x\ne2\).\(y'=(x^2-4x-1)/(x-2)^2\), \(x\ne2\)。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho hàm số \(f(x) = 2 x^{3} + 5 x - 4\). Đạo hàm f'(x) của hàm số là biểu thức nào sau đây?関数（かんすう） \(f(x) = 2 x^{3} + 5 x - 4\) が与（あた）えられている。この関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう） f'(x) として正（ただ）しいものを1つ選（えら）びなさい。

2. Cho hàm số \(y = 4 x^{2} - 3 x + 8\). Đạo hàm y' của hàm số bằng biểu thức nào?関数（かんすう） \(y = 4 x^{2} - 3 x + 8\) の導（どう）関数（かんすう） y' を表（あらわ）す式（しき）はどれか。

3. Cho hàm số \(f(x) = x^{3} - 2 x + 1\). Giá trị của đạo hàm f'(2) bằng bao nhiêu?関数（かんすう） \(f(x) = x^{3} - 2 x + 1\) について、微分（びぶん）係数（けいすう） f'(2) の値（あたい）を求（もと）めなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.19.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.19.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu và áp dụng đúng các công thức tính đạo hàm cơ bản của hàm số lũy thừa và hằng số.累乗（るいじょう）関数（かんすう）および定数（ていすう）関数（かんすう）の基本（きほん）的（てき）な微分（びぶん）公式（こうしき）を理解（りかい）し、正（まさ）しく適用（てきよう）できるようになる。
  2. Vận dụng quy tắc đạo hàm của tích với số thực và tổng hiệu để tìm đạo hàm của các đa thức.定数（ていすう）倍（ばい）および和（わ）・差（さ）の微分（びぶん）規則（きそく）を活用（かつよう）して、多項（たこう）式（しき）の導（どう）関数（かんすう）を計算（けいさん）できるようになる。
Trực giác · イメージ

Trực giác về sự thay đổi của hàm số và đạo hàm関数（かんすう）の変化（へんか）と導（どう）関数（かんすう）に関（かん）する直感（ちょっかん）的（てき）理解（りかい）

Đạo hàm biểu thị tốc độ thay đổi tức thời của hàm số tại mỗi điểm. Khi tính đạo hàm của một biểu thức phức tạp, ta có thể tách nhỏ biểu thức thành các thành phần đơn giản nhờ tính chất tuyến tính của phép tính đạo hàm.

導（どう）関数（かんすう）は各点（かくてん）における関数（かんすう）の瞬間（しゅんかん）的（てき）な変化（へんか）率（りつ）を表（あらわ）します。複雑（ふくざつ）な式（しき）の導（どう）関数（かんすう）を求（もと）める際（さい）、微分（びぶん）の線形（せんけい）性（せい）を利用（りよう）して式（しき）を単純（たんじゅん）な要素（ようそ）に分解（ぶんかい）して計算（けいさん）できます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 積（せき）の微分（びぶん）法（ほう）đạo hàm của tích

    Quy tắc tính đạo hàm cho biểu thức dạng tích của các hàm số. Việc hiểu bản chất phép nhân giúp triển khai các phép biến đổi đa thức trước khi lấy đạo hàm.

    関数（かんすう）の積（せき）の形（かたち）をした式（しき）の導（どう）関数（かんすう）を求（もと）める計算（けいさん）規則（きそく）です。積（せき）の性質（せいしつ）を理解（りかい）することで、展開（てんかい）後（ご）に各項（かくこう）の微分（びぶん）を適用（てきよう）できます。

  • 商（しょう）の微分（びぶん）法（ほう）đạo hàm của thương

    Phương pháp xác định đạo hàm cho phân thức hoặc thương của các hàm số. Phép tính này đòi hỏi tuân thủ nghiêm ngặt các quy tắc biến đổi đạo hàm.

    分数（ぶんすう）形（けい）または関数（かんすう）の商（しょう）に対（たい）する導（どう）関数（かんすう）を求（もと）める手法（しゅほう）です。微分（びぶん）規則（きそく）に従（したが）って慎重（しんちょう）に変形（へんけい）を行（おこな）う必要（ひつよう）があります。

  • 導（どう）関数（かんすう）đạo hàm

    Hàm số mới biểu diễn hệ số góc của tiếp tuyến hoặc tốc độ biến thiên của hàm số ban đầu tại mọi điểm x. Ký hiệu thường dùng là f'(x) hoặc y'.

    元（もと）の関数（かんすう）の各点（かくてん）xにおける接線（せっせん）の傾（かたむ）きや変化（へんか）率（りつ）を表（あらわ）す新（あたら）しい関数（かんすう）です。通常（つうじょう） f'(x) や y' と表記（ひょうき）されます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1: 微分（びぶん）する式（しき）の構造（こうぞう）を分析（ぶんせき）的（てき）に確認（かくにん）する

    Bước 1: Phân tích cấu trúc của biểu thức cần tính đạo hàm

    Xác định các hạng tử trong biểu thức và đưa về dạng tổng hiệu của các tích hằng số với lũy thừa của x.

    式（しき）の中（なか）の各項（かくこう）を確認（かくにん）し、定数（ていすう）とxの累乗（るいじょう）の積（せき）の和差（わさ）の形（かたち）に整理（せいり）します。

  2. 02
    ステップ2: 和（わ）と差（さ）の微分（びぶん）公式（こうしき）を適用（てきよう）する

    Bước 2: Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng và hiệu

    Tách phép tính đạo hàm của toàn bộ biểu thức thành tổng hoặc hiệu đạo hàm của từng hạng tử riêng biệt theo công thức (u \(\pm\) v)' = u' \(\pm\) v'.

    公式（こうしき） (u \(\pm\) v)' = u' \(\pm\) v' に従（したが）い、全体（ぜんたい）の微分（びぶん）を各項（かくこう）の微分（びぶん）の和（わ）や差（さ）に分解（ぶんかい）します。

  3. 03
    ステップ3: 定数（ていすう）倍（ばい）を前（まえ）に出（だ）し、累乗（るいじょう）の微分（びぶん）を行（おこな）う

    Bước 3: Cho hằng số ra ngoài và tính đạo hàm lũy thừa

    Sử dụng công thức (k u)' = k u' để giữ nguyên hệ số k, đồng thời áp dụng \((x^{n})\)' = n \(x^{n - 1}\) cho phần biến số.

    公式（こうしき） (k u)' = k u' で定数（ていすう）kをそのまま残（のこ）し、変数（へんすう）部分（ぶぶん）に \((x^{n})\)' = n \(x^{n - 1}\) を適用（てきよう）します。

  4. 04
    ステップ4: 得（え）られた導（どう）関数（かんすう）の式（しき）を整理（せいり）する

    Bước 4: Rút gọn biểu thức kết quả

    Thực hiện các phép nhân hệ số và thu gọn các hạng tử đồng dạng để thu được hàm đạo hàm f'(x) cuối cùng.

    係数（けいすう）の掛け算（かけざん）を行（おこな）い、同類（どうるい）項（こう）をまとめて最終（さいしゅう）的（てき）な導（どう）関数（かんすう） f'(x) を求（もと）めます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên giảm số mũ đi 1 đơn vị khi tính đạo hàm lũy thừa, ví dụ nhầm \((x^{3})\)' = \(3 x^{3}\).累乗（るいじょう）の微分（びぶん）で指数（しすう）を1減（へ）らすのを忘（わす）れ、\((x^{3})\)' = \(3 x^{3}\) と誤（あやま）って計算（けいさん）してしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn nhớ công thức \((x^{n})\)' = n \(x^{n - 1}\), số mũ mới phải lấy n trừ đi 1, do đó \((x^{3})\)' = \(3 x^{2}\).公式（こうしき） \((x^{n})\)' = n \(x^{n - 1}\) を再（さい）確認（かくにん）し、新（あたら）しい指数（しすう）は n-1 となるため \((x^{3})\)' = \(3 x^{2}\) と計算（けいさん）します。

Tưởng rằng đạo hàm của hằng số tự do bằng chính hằng số đó, ví dụ đạo hàm của 5 là 5.定数（ていすう）項（こう）の微分（びぶん）がその定数（ていすう）自身（じしん）のままであると勘違（かんちが）いし、例（たと）えば5の微分（びぶん）を5にしてしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Hằng số c có đạo hàm luôn bằng 0 theo công thức (c)' = 0 vì hằng số không biến thiên.定数（ていすう）cの変化（へんか）率（りつ）は0であるため、公式（こうしき） (c)' = 0 に従（したが）い定数（ていすう）項（こう）の微分（びぶん）は必（かなら）ず0になります。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Công thức cơ bản \((x^{n})\)' = n \(x^{n - 1}\) và (c)' = 0 là nền tảng để tính đạo hàm của các hàm số đại số.基本（きほん）公式（こうしき） \((x^{n})\)' = n \(x^{n - 1}\) および (c)' = 0 は代数（だいすう）関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう）を計算（けいさん）する基盤（きばん）となります。
  • Quy tắc tuyến tính (k u)' = k u' và (u \(\pm\) v)' = u' \(\pm\) v' cho phép tách phức tạp thành các phép tính đơn giản.線形（せんけい）性（せい）の規則（きそく） (k u)' = k u' および (u \(\pm\) v)' = u' \(\pm\) v' により、複雑（ふくざつ）な計算（けいさん）を単純（たんじゅん）な項（こう）に分解（ぶんかい）できます。
  • Luôn rút gọn số mũ và hệ số cẩn thận để tránh các lỗi tính toán phổ biến trong bài thi EJU.EJU試験（しけん）での計算（けいさん）ミスを防（ふせ）ぐため、常（つね）に指数（しすう）と係数（けいすう）の整理（せいり）を慎重（しんちょう）に行（い）ってください。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

(x^n)' = n x^{n-1}

Công thức đạo hàm của hàm lũy thừa với số mũ n. Số mũ n được hạ xuống làm hệ số và số mũ mới giảm đi 1 đơn vị.

累乗（るいじょう）関数（かんすう） \(x^{n}\) の微分（びぶん）公式（こうしき）です。指数（しすう）nが係数（けいすう）として前（まえ）に出（で）て、新（あたら）しい指数（しすう）は1減（へ）ります。

(c)' = 0

Đạo hàm của một hằng số c luôn bằng 0. Do hằng số không thay đổi nên tốc độ biến thiên của nó bằng 0.

定数（ていすう）cの導（どう）関数（かんすう）は常（つね）に0となります。定数（ていすう）は変化（へんか）しないため、変化（へんか）率（りつ）は0です。

(k u)' = k u'

Đạo hàm của tích giữa hằng số k và hàm số u bằng hằng số k nhân với đạo hàm của u.

定数（ていすう）kと関数（かんすう）uの積（せき）の導（どう）関数（かんすう）は、定数（ていすう）kにuの導（どう）関数（かんすう）を掛（か）けたものになります。

(u \pm v)' = u' \pm v'

Đạo hàm của tổng hoặc hiệu hai hàm số bằng tổng hoặc hiệu các đạo hàm tương ứng của từng hàm số.

2つの関数（かんすう）の和（なご）または差（さ）の導（どう）関数（かんすう）は、それぞれの関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう）の和（なご）または差（さ）に等（ひと）しくなります。

EJU 2026 · MATH.19.1

Bài học này hướng dẫn tính đạo hàm của các hàm số thông qua các quy tắc cơ bản như đạo hàm của lũy thừa, hằng số, tích với số thực và tổng hiệu. Việc nắm vững các công thức này giúp bạn xử lý chính xác phép tính đạo hàm trong các bài thi EJU.

本課（ほんか）では、累乗（るいじょう）、定数（ていすう）、定数（ていすう）倍（ばい）、和（わ）と差（さ）の基本（きほん）公式（こうしき）を用（もち）いて導（どう）関数（かんすう）を計算（けいさん）する方法（ほうほう）を学（まな）びます。これらの公式（こうしき）を正確（せいかく）に理解（りかい）することで、EJUの微分（びぶん）計算（けいさん）問題（もんだい）に確実（かくじつ）に対応（たいおう）できるようになります。

積（せき）・商（しょう）の微分（びぶん）法（ほう）
積の微分法商の微分法導関数