Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Hàm số đạo hàm導（どう）関数（かんすう）

Công thức公式

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

Ví dụ例題

Dùng định nghĩa giới hạn để tính hàm số đạo hàm f'(x) của hàm số \(f(x) = x^{2}\).

極限（きょくげん）の定義（ていぎ）を用（もち）いて、2次（じ）関数（かんすう） \(f(x) = x^{2}\) の導（どう）関数（かんすう） f'(x) を求（もと）めなさい。

  1. Lập tỷ số biến thiên: \((f(x + h) - f(x)) / h = ((x + h)^{2} - x^{2}) / h\).平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ）の式（しき）を立（た）てる：\((f(x + h) - f(x)) / h = ((x + h)^{2} - x^{2}) / h\)。
  2. Rút gọn biểu thức: \(((x^{2} + 2 xh + h^{2}) - x^{2}) / h = (2 xh + h^{2}) / h = 2 x + h\) với h != 0.式（しき）を整理（せいり）する：\(((x^{2} + 2 xh + h^{2}) - x^{2}) / h = (2 xh + h^{2}) / h = 2 x + h\) （h != 0）。
  3. Cho h tiến về 0: f'(x) = lim_{h->0} (2x + h) = 2x.h -> 0 の極限（きょくげん）をとる：f'(x) = lim_{h->0} (2x + h) = 2x。
Vậy theo định nghĩa bằng giới hạn, đạo hàm của \(f(x) = x^{2}\) là f'(x) = 2x.したがって、極限（きょくげん）の定義（ていぎ）より \(f(x) = x^{2}\) の導（どう）関数（かんすう）は f'(x) = 2x となります。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Sử dụng định nghĩa giới hạn, tỷ số biến thiên (f(1+h) - f(1))/h của hàm số f(x) = 3x sau khi rút gọn h là gì?関数（かんすう） f(x) = 3x について、x = 1 における平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ） (f(1+h) - f(1))/h を約分（やくぶん）した値（あたい）はいくらか。

2. Điều kiện cần và đủ để hàm số f(x) khả vi tại điểm x = a là gì?関数（かんすう） f(x) が点（てん） x = a で微分（びぶん）可能（かのう）であるための必要（ひつよう）十（じゅう）分（ふん）条件（じょうけん）はどれか。

3. Theo định nghĩa f'(x) = lim_{h->0} (f(x+h) - f(x))/h, với f(x) = 2x + 5 thì f'(x) bằng bao nhiêu?定義（ていぎ）式（しき） f'(x) = lim_{h->0} (f(x+h) - f(x))/h に従（したが）って f(x) = 2x + 5 の導（どう）関数（かんすう） f'(x) を求（もと）めるといくらになるか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.19.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.19.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nắm vững định nghĩa hàm số đạo hàm f'(x) qua giới hạn khi h tiến tới 0.h が 0 に近（ちか）づく極限（きょくげん）による導（どう）関数（かんすう） f'(x) の定義（ていぎ）を理解（りかい）する。
  2. Phân biệt hệ số vi phân tại một điểm và hàm số đạo hàm trên một khoảng.点（てん）における微分（びぶん）係数（けいすう）と区間（くかん）における導（どう）関数（かんすう）の違（ちが）いを理解（りかい）する。
  3. Xác định tính khả vi của hàm số bằng cách so sánh đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải.左側（ひだりがわ）微分（びぶん）係数（けいすう）と右側（みぎがわ）微分（びぶん）係数（けいすう）を比較（ひかく）して関数（かんすう）の微分（びぶん）可能（かのう）性（せい）を判定（はんてい）する。
Trực giác · イメージ

Ý nghĩa của tỷ số biến thiên và giới hạn変化（へんか）率（りつ）と極限（きょくげん）の直感（ちょっかん）的（てき）理解（りかい）

Hệ số vi phân là tốc độ thay đổi tức thời tại một điểm cố định. Khi coi điểm đó là biến số x, tập hợp các hệ số vi phân tạo thành hàm số đạo hàm f'(x).

微分（びぶん）係数（けいすう）は特定（とくてい）の点（てん）における瞬間（しゅんかん）の変化（へんか）率（りつ）を表（あらわ）します。その点（てん）を変数（へんすう） x とみなすことで、各点（かくてん）での微分（びぶん）係数（けいすう）を対応（たいおう）させる導（どう）関数（かんすう） f'(x) が得（え）られます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 微分（びぶん）係数（けいすう）Hệ số vi phân

    Hệ số vi phân tại điểm x = a là giới hạn của tỷ số (f(a+h) - f(a))/h khi h tiến tới 0. Nó biểu thị độ dốc của tiếp tuyến tại điểm đó.

    点（てん） x = a における微分（びぶん）係数（けいすう）は、h が 0 に近（ちか）づくときの (f(a+h) - f(a))/h の極限（きょくげん）です。その点（てん）での接線（せっせん）の傾（かたむ）きを表（あらわ）します。

  • 導（どう）関数（かんすう）Hàm số đạo hàm

    Hàm số đạo hàm f'(x) là hàm số gán mỗi giá trị x với hệ số vi phân tương ứng của f tại x.

    導（どう）関数（かんすう） f'(x) は、各（かく） x の値（あたい）に対（たい）してその点（てん）での微分（びぶん）係数（けいすう）を対応（たいおう）させる関数（かんすう）です。

  • 微分（びぶん）可能（かのう）Khả vi

    Hàm số được gọi là khả vi tại x = a nếu tồn tại giới hạn định nghĩa hệ số vi phân tại điểm đó.

    点（てん） x = a において微分（びぶん）係数（けいすう）の定義（ていぎ）となる極限（きょくげん）が存在（そんざい）するとき、関数（かんすう）はその点（てん）で微分（びぶん）可能（かのう）であるといいます。

  • 右側（みぎがわ）微分（びぶん）係数（けいすう）Đạo hàm bên phải

    Đạo hàm bên phải là giới hạn của tỷ số biến thiên khi h tiến tới 0 từ phía bên phải h > 0.

    右側（みぎがわ）微分（びぶん）係数（けいすう）は、h が右側（みぎがわ） h > 0 から 0 に近（ちか）づくときの平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ）の極限（きょくげん）です。

  • 左側（ひだりがわ）微分（びぶん）係数（けいすう）Đạo hàm bên trái

    Đạo hàm bên trái là giới hạn của tỷ số biến thiên khi h tiến tới 0 từ phía bên trái h < 0.

    左側（ひだりがわ）微分（びぶん）係数（けいすう）は、h が左側（ひだりがわ） h < 0 から 0 に近（ちか）づくときの平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ）の極限（きょくげん）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ）の式（しき）を立（た）てる

    Bước 1: Lập tỷ số biến thiên

    Viết biểu thức tỷ số biến thiên (f(x+h) - f(x))/h với h khác 0. Rút gọn biểu thức này bằng các phép biến đổi đại số.

    h != 0 として平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ） (f(x+h) - f(x))/h の式（しき）を作成（さくせい）します。代数（だいすう）計算（けいさん）を用（もち）いてこの式（しき）を整理（せいり）・約分（やくぶん）します。

  2. 02
    ステップ2：h を 0 に近（ちか）づける極限（きょくげん）を計算（けいさん）する

    Bước 2: Cho h tiến dần về 0 để tìm f'(x)

    Tính giới hạn của tỷ số biến thiên khi h tiến tới 0. Kết quả thu được chính là hàm số đạo hàm f'(x).

    h を 0 に近（ちか）づけたときの平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ）の極限（きょくげん）を計算（けいさん）します。得（え）られた結果（けっか）が導（どう）関数（かんすう） f'(x) となります。

  3. 03
    ステップ3：特定（とくてい）点（てん）での微分（びぶん）可能（かのう）性（せい）を確認（かくにん）する

    Bước 3: Kiểm tra tính khả vi tại các điểm đặc biệt

    Tính đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải tại điểm cần xét. Nếu hai giá trị này bằng nhau thì hàm số khả vi tại điểm đó.

    対象（たいしょう）の点（てん）において左側（ひだりがわ）微分（びぶん）係数（けいすう）と右側（みぎがわ）微分（びぶん）係数（けいすう）をそれぞれ計算（けいさん）します。両者（りょうしゃ）が一致（いっち）すれば、関数（かんすう）はその点（てん）で微分（びぶん）可能（かのう）となります。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Cho rằng hàm số liên tục tại một điểm thì chắc chắn khả vi tại điểm đó.ある点（てん）で関数（かんすう）が連続（れんぞく）であれば、必（かなら）ずその点（てん）で微分（びぶん）可能（かのう）であると誤解（ごかい）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Hàm số liên tục chưa chắc khả vi vì đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải có thể khác nhau.連続（れんぞく）であっても左側（ひだりがわ）微分（びぶん）係数（けいすう）と右側（みぎがわ）微分（びぶん）係数（けいすう）が異（こと）なれば微分（びぶん）可能（かのう）ではありません。

Bỏ qua điều kiện h != 0 khi triệt tiêu h ở mẫu số trong tỷ số biến thiên.平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ）の分母（ぶんぼ） h を約分（やくぶん）する際（さい）、h != 0 の前提（ぜんてい）を忘（わす）れて計算（けいさん）を進（すす）めてしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn nhớ h tiến tới 0 chứ không bằng 0 nên ta mới chia được tử và mẫu cho h.h は 0 に近（ちか）づくのであり 0 そのものではないため、約分（やくぶん）できることを意識（いしき）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Định nghĩa hàm số đạo hàm: f'(x) = lim_{h->0} (f(x+h) - f(x))/h.導（どう）関数（かんすう）の定義（ていぎ）：f'(x) = lim_{h->0} (f(x+h) - f(x))/h。
  • Hệ số vi phân biểu thị tốc độ thay đổi tức thời và độ dốc của tiếp tuyến tại điểm xét.微分（びぶん）係数（けいすう）は特定（とくてい）の点（てん）における瞬間（しゅんかん）の変化（へんか）率（りつ）および接線（せっせん）の傾（かたむ）きを表（あらわ）す。
  • Tính khả vi tại một điểm yêu cầu đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải phải tồn tại và bằng nhau.点（てん）における微分（びぶん）可能（かのう）性（せい）には、左側（ひだりがわ）微分（びぶん）係数（けいすう）と右側（みぎがわ）微分（びぶん）係数（けいすう）が存在（そんざい）し一致（いっち）することが必要（ひつよう）である。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

Định nghĩa chính thức của hàm số đạo hàm f'(x) thông qua giới hạn của tỷ số biến thiên khi h tiến tới 0.

h が 0 に近（ちか）づくときの平均（へいきん）変化（へんか）率（りつ）の極限（きょくげん）による、導（どう）関数（かんすう） f'(x) の正式（せいしき）な定義（ていぎ）式（しき）です。

EJU 2026 · MATH.19.1

Bài học này trình bày khái niệm hệ số vi phân và hàm số đạo hàm được định nghĩa thông qua giới hạn. Bạn cũng sẽ học điều kiện tính khả vi dựa trên sự bằng nhau của đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải.

本課（ほんか）では、極限（きょくげん）によって定義（ていぎ）される微分（びぶん）係数（けいすう）と導（どう）関数（かんすう）の概念（がいねん）を学（まな）びます。また、左側（ひだりがわ）微分（びぶん）係数（けいすう）と右側（みぎがわ）微分（びぶん）係数（けいすう）の一致（いっち）に基（もと）づく微分（びぶん）可能（かのう）性（せい）の条件（じょうけん）について学習（がくしゅう）します。

導（どう）関数（かんすう）
微分係数導関数微分可能右側微分係数