Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Tổng, hiệu và tích của số phức với một số thực複素（ふくそ）数（すう）の和（わ）・差（さ）と実（じつ）数（すう）倍（ばい）

Công thức公式

|z_2 - z_1|
|kz| = |k||z|
w = kz
z_4 - z_1 = z_3 - z_2

Ví dụ例題

Cho ba điểm z1 = 1 + i, z2 = 3 + 2i, z3 = 4 + 4i. Tìm điểm z4 để bốn điểm z1, z2, z3, z4 tạo thành hình bình hành và tính khoảng cách |z2 - z1|.

3点（てん） z1 = 1 + i, z2 = 3 + 2i, z3 = 4 + 4i が与（あた）えられている。4点（てん） z1, z2, z3, z4 が平行（へいこう）四辺（しへん）形（けい）を構成（こうせい）するような点（てん） z4 を求（もと）め、距離（きょり） |z2 - z1| を計算（けいさん）せよ。

  1. Sử dụng điều kiện hình bình hành z4 - z1 = z3 - z2, biến đổi suy ra z4 = z1 + z3 - z2.平行（へいこう）四辺（しへん）形（けい）の条件（じょうけん） z4 - z1 = z3 - z2 を用（もち）いて、変形（へんけい）すると z4 = z1 + z3 - z2 となる。
  2. Thay các số phức vào: z4 = (1 + i) + (4 + 4i) - (3 + 2i) = (1 + 4 - 3) + (1 + 4 - 2)i = 2 + 3i.複素（ふくそ）数（すう）を代入（だいにゅう）すると、z4 = (1 + i) + (4 + 4i) - (3 + 2i) = (1 + 4 - 3) + (1 + 4 - 2)i = 2 + 3i となる。
  3. Tính khoảng cách |z2 - z1| = |(3 + 2i) - (1 + i)| = |2 + i| = sqrt(2^2 + 1^2) = sqrt(5).距離（きょり） |z2 - z1| = |(3 + 2i) - (1 + i)| = |2 + i| = sqrt(2^2 + 1^2) = sqrt(5) を計算（けいさん）する。
Vậy z4 = 2 + 3i và khoảng cách giữa z1 và z2 là sqrt(5).したがって、z4 = 2 + 3i であり、z1とz2の間（あいだ）の距離（きょり）は sqrt(5) である。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho z = 3 - 4i và số thực k = -2. Tính độ dài |kz| sử dụng công thức |kz| = |k||z|.z = 3 - 4i および実数（じっすう） k = -2 とする。公式（こうしき） |kz| = |k||z| を用（もち）いて |kz| の値（あたい）を求（もと）めよ。

2. Cho ba điểm z1 = 1 + 2i, z2 = 2 + 5i và z4 = 3 + 1i. Tìm z3 sao cho z1, z2, z3, z4 tạo thành hình bình hành theo đúng thứ tự.3点（てん） z1 = 1 + 2i, z2 = 2 + 5i, z4 = 3 + 1i とする。z1, z2, z3, z4 がこの順（じゅん）で平行（へいこう）四辺（しへん）形（けい）をなすとき、z3 を求（もと）めよ。

3. Cho z1 = 2 + i và z2 = 5 + 5i. Tính khoảng cách giữa hai điểm z1 và z2 trên mặt phẳng số phức.z1 = 2 + i および z2 = 5 + 5i とする。複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）の2点（てん） z1 と z2 の間（あいだ）の距離（きょり）を求（もと）めよ。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.15.3. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.15.3。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Biểu diễn phép cộng, trừ và tích với số thực của số phức trên mặt phẳng tọa độ.複素（ふくそ）数（すう）の加法（かほう）・減法（げんぽう）・実（じつ）数（すう）倍（ばい）を座標（ざひょう）平面（へいめん）上（じょう）で図示（ずし）・理解（りかい）できる。
  2. Sử dụng công thức khoảng cách |z2 - z1| và tính chất hình bình hành z4 - z1 = z3 - z2 để giải toán hình học.距離（きょり）公式（こうしき）|z2 - z1|および平行（へいこう）四辺（しへん）形（けい）の性質（せいしつ）z4 - z1 = z3 - z2を用（もち）いて図形（ずけい）問題（もんだい）を解決（かいけつ）できる。
  3. Vận dụng điều kiện w = kz để xác định tính thẳng hàng và tỷ lệ độ dài giữa các điểm.条件（じょうけん）w = kzを活用（かつよう）して点（てん）の一（いち）直線（ちょくせん）上（じょう）条件（じょうけん）や長（なが）さの比（ひ）を判定（はんてい）できる。
Trực giác · イメージ

Số phức trên mặt phẳng hoạt động giống như vectơ trong hình học複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）の複素（ふくそ）数（すう）は幾何（きか）学（がく）のベクトルと同（おな）じように振る舞（ふるま）う

Khi cộng hai số phức tương ứng với quy tắc hình bình hành cộng vectơ, còn phép trừ biểu diễn vectơ nối giữa hai điểm. Nhân số phức với một số thực k tương ứng với việc thu phóng độ dài vectơ theo hệ số k.

2つの複素（ふくそ）数（すう）の和（わ）はベクトルの加法（かほう）の平行（へいこう）四辺（しへん）形（けい）の法則（ほうそく）に対応（たいおう）し、差（さ）は2点（てん）間（かん）を結（むす）ぶベクトルを表（あらわ）します。複素（ふくそ）数（すう）の実（じつ）数（すう）倍（ばい）kは、ベクトルの長（なが）さをk倍（ばい）に拡大（かくだい）・縮小（しゅくしょう）することに対応（たいおう）します。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 平行（へいこう）四辺（しへん）形（けい）hình bình hành

    Bốn điểm z1, z2, z3, z4 tạo thành hình bình hành khi và chỉ khi vectơ nối z1 z4 bằng vectơ nối z2 z3, tức là z4 - z1 = z3 - z2.

    4点（てん）z1, z2, z3, z4が平行（へいこう）四辺（しへん）形（けい）をなすのは、z1からz4へのベクトルとz2からz3へのベクトルが一致（いっち）するとき、即（すなわ）ちz4 - z1 = z3 - z2が成り立（なりた）つときです。

  • 2点（てん）間（かん）の距離（きょり）khoảng cách giữa hai điểm

    Khoảng cách giữa hai điểm biểu diễn số phức z1 và z2 trên mặt phẳng số phức được tính bằng độ dài hiệu hai số phức |z2 - z1|.

    複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）で複素（ふくそ）数（すう）z1とz2を表（あらわ）す2点（てん）間（かん）の距離（きょり）は、差（さ）の絶対（ぜったい）値（ち）|z2 - z1|によって計算（けいさん）されます。

  • 実（じつ）数（すう）倍（ばい）tích với một số thực

    Tích của số phức z với số thực k cho số phức w = kz, có độ dài |kz| = |k||z|. Nếu k > 0 thì w cùng hướng với z, nếu k < 0 thì w ngược hướng.

    複素（ふくそ）数（すう）zの実（じつ）数（すう）倍（ばい）kはw = kzとなり、絶対（ぜったい）値（ち）は|kz| = |k||z|です。k > 0ならwはzと同（おな）じ方向（ほうこう）、k < 0なら反対（はんたい）方向（ほうこう）となります。

  • 一（いち）直線（ちょくせん）上（じょう）にあるthẳng hàng

    Ba điểm phân biệt A(z1), B(z2), C(z3) thẳng hàng khi và chỉ khi hiệu z3 - z1 là một số thực của z2 - z1, tức là z3 - z1 = k(z2 - z1) với k là số thực.

    相異（そうい）なる3点（てん）A(z1), B(z2), C(z3)が一（いち）直線（ちょくせん）上（じょう）にある充（みつる）要（よう）条件（じょうけん）は、z3 - z1がz2 - z1の実（じつ）数（すう）倍（ばい）、すなわちz3 - z1 = k(z2 - z1) (kは実数（じっすう）) となることです。

  • 直角（ちょっかく）二（に）等辺（とうへん）三角形（さんかくけい）tam giác vuông cân

    Tam giác tạo bởi các điểm số phức là tam giác vuông cân khi có hai cạnh bằng nhau và góc giữa chúng bằng 90 độ, liên quan đến khoảng cách và phép quay.

    複素（ふくそ）数（すう）の点（てん）により形成（けいせい）される三角形（さんかくけい）は、2辺（へん）の長（なが）さが等（ひと）しくその間（あいだ）の角（かど）が90度（ど）であるとき直角（ちょっかく）二（に）等辺（とうへん）三角形（さんかくけい）となり、距離（きょり）と回転（かいてん）に関連（かんれん）します。

  • 回転（かいてん）phép quay

    Phép quay một điểm xung quanh một điểm gốc trên mặt phẳng số phức làm thay đổi hướng của số phức mà giữ nguyên hoặc thay đổi độ dài theo tỉ lệ.

    複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）の任意（にんい）の点（てん）を中心（ちゅうしん）とする点（てん）の回転（かいてん）は、絶対（ぜったい）値（ち）を保（たも）つか倍率（ばいりつ）に応（おう）じて拡大（かくだい）しながら複素（ふくそ）数（すう）の方向（ほうこう）を変化（へんか）させます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：複素（ふくそ）数（すう）の座標（ざひょう）と表（あらわ）す点（てん）を特定（とくてい）する

    Bước 1: Xác định tọa độ và điểm biểu diễn số phức

    Biểu diễn số phức z = a + bi dưới dạng điểm (a, b) trên mặt phẳng số phức. Việc này giúp chuyển các phép toán số phức sang vectơ hình học.

    複素（ふくそ）数（すう）z = a + biを複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）の点（てん）(a, b)として表（あらわ）します。これにより複素（ふくそ）数（すう）演算（えんざん）を幾何（きか）学（がく）的（てき）なベクトルに対応（たいおう）させることができます。

  2. 02
    ステップ2：複素（ふくそ）数（すう）の差（さ）を計算（けいさん）して距離（きょり）を求（もと）める

    Bước 2: Tính hiệu hai số phức để tìm khoảng cách

    Sử dụng công thức |z2 - z1| để tính độ dài đoạn thẳng nối hai điểm z1 và z2. Áp dụng tính chất |kz| = |k||z| khi có hệ số thực k.

    公式（こうしき）|z2 - z1|を用（もち）いて点（てん）z1とz2を結（むす）ぶ線分（せんぶん）の長（なが）さを計算（けいさん）します。実数（じっすう）係数（けいすう）kがある場合（ばあい）は|kz| = |k||z|の性質（せいしつ）を利用（りよう）します。

  3. 03
    ステップ3：平行（へいこう）四辺（しへん）形（けい）および一（いち）直線（ちょくせん）上（じょう）の条件（じょうけん）を適用（てきよう）する

    Bước 3: Áp dụng điều kiện hình bình hành và thẳng hàng

    Thiết lập đẳng thức z4 - z1 = z3 - z2 cho hình bình hành hoặc w = kz cho điều kiện các điểm thẳng hàng. Giải hệ phương trình tìm tọa độ điểm chưa biết.

    平行（へいこう）四辺（しへん）形（けい）にはz4 - z1 = z3 - z2、一（いち）直線（ちょくせん）上（じょう）条件（じょうけん）にはw = kzの等式（とうしき）を設定（せってい）します。方程（ほうてい）式（しき）を解（と）いて未知（みち）の点（てん）の座標（ざひょう）を求（もと）めます。

  4. 04
    ステップ4：幾何（きか）学（がく）的（てき）結果（けっか）を検証（けんしょう）する

    Bước 4: Kiểm tra kết quả hình học

    Vẽ phác thảo các điểm trên mặt phẳng số phức để đối chiếu khoảng cách và hướng. Đảm bảo tính toán đáp ứng đúng quan hệ hình học yêu cầu.

    複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）に点（てん）を素描（そびょう）して距離（きょり）や方向（ほうこう）を照合（しょうごう）します。計算（けいさん）結果（けっか）が要求（ようきゅう）された幾何（きか）学（がく）的（てき）関係（かんけい）を満（み）たしていることを確認（かくにん）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn thứ tự đỉnh khi áp dụng công thức hình bình hành, viết thành z4 - z1 = z2 - z3 thay vì z4 - z1 = z3 - z2.平行（へいこう）四辺（しへん）形（けい）の公式（こうしき）を適用（てきよう）する際（さい）、頂点（ちょうてん）の順序（じゅんじょ）を間違（まちが）えてz4 - z1 = z3 - z2の代（か）わりにz4 - z1 = z2 - z3と書（か）いてしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Cần vẽ phác các đỉnh theo đúng thứ tự vòng quanh hình bình hành z1, z2, z3, z4 để xác định đúng cặp vectơ đối bằng nhau.平行（へいこう）四辺（しへん）形（けい）の頂点（ちょうてん）の順序（じゅんじょ） z1, z2, z3, z4 を正確（せいかく）にスケッチし、等（ひと）しい対辺（たいへん）ベクトルの組（くみ）を正（ただ）しく特定（とくてい）する必要（ひつよう）があります。

Cho rằng |k z| = k |z| với mọi k mà quên lấy giá trị tuyệt đối của k khi k là số thực âm.kが負（ふ）の実数（じっすう）であるときにkの絶対（ぜったい）値（ち）を取（と）るのを忘（わす）れ、すべてのkに対（たい）して |k z| = k |z| と誤認（ごにん）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Độ dài |k z| luôn là một số không âm, do đó công thức đúng phải là |k z| = |k| |z|.絶対（ぜったい）値（ち） |k z| は常（つね）に非（ひ）負（ふ）であるため、正（ただ）しい公式（こうしき）は |k z| = |k| |z| です。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Hiệu hai số phức |z2 - z1| biểu diễn khoảng cách giữa hai điểm z1 và z2 trên mặt phẳng.複素（ふくそ）数（すう）の差（さ）の絶対（ぜったい）値（ち） |z2 - z1| は平面（へいめん）上（じょう）の2点（てん）z1, z2間（あいだ）の距離（きょり）を表（あらわ）す。
  • Phép nhân số phức với số thực k tuân theo công thức độ dài |kz| = |k||z| và tạo ra các điểm thẳng hàng w = kz.複素（ふくそ）数（すう）の実（じつ）数（すう）倍（ばい）kは絶対（ぜったい）値（ち）の公式（こうしき） |kz| = |k||z| に従（したが）い、原点（げんてん）を通（とお）る直線（ちょくせん）上（じょう） w = kz を形成（けいせい）する。
  • Đẳng thức z4 - z1 = z3 - z2 là điều kiện cần và đủ để 4 điểm z1, z2, z3, z4 tạo thành hình bình hành.等式（とうしき） z4 - z1 = z3 - z2 は4点（てん） z1, z2, z3, z4 が平行（へいこう）四辺（しへん）形（けい）を構成（こうせい）するための必要（ひつよう）十（じゅう）分（ふん）条件（じょうけん）である。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

|z_2 - z_1|

Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm biểu diễn số phức z1 và z2 trên mặt phẳng.

平面（へいめん）上（じょう）の複素（ふくそ）数（すう）z1とz2を表（あらわ）す2点（てん）間（かん）の距離（きょり）を求（もと）める公式（こうしき）です。

|kz| = |k||z|

Độ dài của tích số phức z với số thực k bằng tích trị tuyệt đối của k và độ dài của z.

複素（ふくそ）数（すう）zの実（じつ）数（すう）倍（ばい）kの絶対（ぜったい）値（ち）は、kの絶対（ぜったい）値（ち）とzの絶対（ぜったい）値（ち）の積（せき）に等（ひと）しくなります。

w = kz

Biểu thức phép tích số phức z với số thực k thu được số phức w cùng đường thẳng với z qua gốc tọa độ.

複素（ふくそ）数（すう）zの実（じつ）数（すう）倍（ばい）kにより得（え）られる複素（ふくそ）数（すう）wを表（あらわ）し、原点（げんてん）を通（とお）る同（おな）じ直線（ちょくせん）上（じょう）になります。

z_4 - z_1 = z_3 - z_2

Điều kiện để 4 điểm z1, z2, z3, z4 theo thứ tự tạo thành hình bình hành trên mặt phẳng số phức.

複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）で4点（てん）z1, z2, z3, z4がこの順（じゅん）で平行（へいこう）四辺（しへん）形（けい）を構成（こうせい）するための条件（じょうけん）です。

EJU 2026 · MATH.15.3

Bài học này hướng dẫn các phép toán tổng, hiệu và tích số phức với một số thực trên mặt phẳng số phức. Bạn sẽ nắm được ý nghĩa hình học như hình bình hành, khoảng cách và điều kiện thẳng hàng.

本課（ほんか）では複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）での複素（ふくそ）数（すう）の和（わ）・差（さ）および実（じつ）数（すう）倍（ばい）の演算（えんざん）を解説（かいせつ）します。平行（へいこう）四辺（しへん）形（けい）、2点（てん）間（かん）の距離（きょり）、一（いち）直線（ちょくせん）上（じょう）にある条件（じょうけん）などの図形（ずけい）的（てき）意味（いみ）を理解（りかい）します。

複素（ふくそ）数（すう）の和（わ）・差（さ）と実（じつ）数（すう）倍（ばい）
平行四辺形2点間の距離実数倍一直線上にある