Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Diện tích đường bậc hai, đường cong kín và đường cong tham số2次（じ）曲線（きょくせん）・閉（へい）曲線（きょくせん）および媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）の曲線（きょくせん）と面積（めんせき）

Công thức公式

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
S = \int y dx = \int y \frac{dx}{d\theta} d\theta
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}

Ví dụ例題

Tính diện tích S của hình elíp có biểu diễn tham số x = 2 \(\cos\)\(\theta\), y = 3 \(\sin\)\(\theta\) (với 0 \(\le\) \(\theta\) \(\le\) 2\(\pi\)).

媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ） x = 2 \(\cos\)\(\theta\), y = 3 \(\sin\)\(\theta\) (0 \(\le\) \(\theta\) \(\le\) 2\(\pi\)) で表（あらわ）される楕円（だえん）の面積（めんせき）Sを求（もと）めなさい。

  1. Do hình elíp đối xứng qua các trục, diện tích nửa trên (y \(\ge\) 0, tương ứng 0 \(\le\) \(\theta\) \(\le\) \(\pi\)) là S_1 = \(\int_{-2}^{2}\) y dx.楕円（だえん）の対称（たいしょう）性（せい）より、上（うえ）半分（はんぶん）(y \(\ge\) 0、すなわち 0 \(\le\) \(\theta\) \(\le\) \(\pi\))の面積（めんせき）を S_1 = \(\int_{-2}^{2}\) y dx とします。
  2. Với \(x = 2 \cos \theta\), ta có \(dx / d \theta = -2 \sin \theta\), nên dx = -2 \(\sin \theta\) \(d \theta\). Khi x đi từ -2 đến 2, \(\theta\) đi từ \(\pi\) đến 0.\(x = 2 \cos \theta\) より \(dx / d \theta = -2 \sin \theta\) となり、dx = -2 \(\sin \theta\) \(d \theta\) です。xが-2から2へ変化（へんか）するとき、\(\theta\)は\(\pi\)から0へ変化（へんか）します。
  3. Thay vào tích phân: S_1 = \(\int_{\pi}^{0}\) (3 \(\sin\)\(\theta\))(-2 \(\sin\)\(\theta\)) d\(\theta\) = \(\int_{0}^{\pi}\) 6 \(\sin^2\)\(\theta\) d\(\theta\) = 6 \(\cdot\) \(\frac{\pi}{2}\) = 3\(\pi\).積分（せきぶん）に代入（だいにゅう）すると S_1 = \(\int_{\pi}^{0}\) (3 \(\sin\)\(\theta\))(-2 \(\sin\)\(\theta\)) d\(\theta\) = \(\int_{0}^{\pi}\) 6 \(\sin^2\)\(\theta\) d\(\theta\) = 6 \(\cdot\) \(\frac{\pi}{2}\) = 3\(\pi\) となります。
Tổng diện tích hình elíp là S = 2 S_1 = 2 \(\cdot\) 3\(\pi\) = 6\(\pi\).楕円（だえん）全体（ぜんたい）の面積（めんせき）は S = 2 S_1 = 2 \(\cdot\) 3\(\pi\) = 6\(\pi\) となります。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho đường cong tham số x = \(\cos\)\(\theta\), y = 2\(\sin\)\(\theta\) (với 0 \(\le\) \(\theta\) \(\le\) \(\pi\), y \(\ge\) 0). Tính đạo hàm dy/dx theo \(\theta\) tại \(\theta\) = \(\frac{\pi}{4}\).媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ） x = \(\cos\)\(\theta\), y = 2\(\sin\)\(\theta\) (0 \(\le\) \(\theta\) \(\le\) \(\pi\), y \(\ge\) 0) で表（あらわ）される曲線（きょくせん）について、\(\theta\) = \(\frac{\pi}{4}\) における導（どう）関数（かんすう） dy/dx の値（あたい）を求（もと）めなさい。

2. Cho hình elíp x^2/4 + y^2/9 = 1. Phương trình biểu diễn tham số x, y theo góc \(\theta\) (0 \(\le\) \(\theta\) < 2\(\pi\)) là phương trình nào dưới đây?楕円（だえん） x^2/4 + y^2/9 = 1 の媒介（ばいかい）変数（へんすう）\(\theta\) (0 \(\le\) \(\theta\) < 2\(\pi\)) を用（もち）いた表示（ひょうじ）として正（ただ）しいものを1つ選（えら）びなさい。

3. Tính diện tích S của miền kín nằm phía trên trục hoành giới hạn bởi đường tham số x = 3\(\cos\)\(\theta\), y = \(\sin\)\(\theta\) với 0 \(\le\) \(\theta\) \(\le\) \(\pi\).媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ） x = 3\(\cos\)\(\theta\), y = \(\sin\)\(\theta\) (0 \(\le\) \(\theta\) \(\le\) \(\pi\)) で表（あらわ）されるx軸（じく）より上（うえ）の閉（へい）領域（りょういき）の面積（めんせき）Sを求（もと）めなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.16.1 · MATH.16.2 · MATH.20.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.16.1 · MATH.16.2 · MATH.20.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu cách lập tích phân tính diện tích đối với đường cong kín và đường cong biểu diễn bằng tham số.閉（へい）曲線（きょくせん）や媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）の曲線（きょくせん）に対（たい）する面積（めんせき）計算（けいさん）の積分（せきぶん）式（しき）を理解（りかい）する。
  2. Biết cách dùng đạo hàm \(dy / dx = (dy / d \theta) / (dx / d \theta)\) và lập bảng biến thiên để xác định hình dạng đường cong.導（どう）関数（かんすう） \(dy / dx = (dy / d \theta) / (dx / d \theta)\) や増減（ぞうげん）表（ひょう）を用（もち）いて曲線（きょくせん）の概形（がいけい）を把握（はあく）する方法（ほうほう）を理解（りかい）する。
Trực giác · イメージ

Chuyển đổi tích phân diện tích từ biến x sang tham số \(\theta\)面積（めんせき）積分（せきぶん）をx軸（じく）から媒介（ばいかい）変数（へんすう）\(\theta\)へ変換（へんかん）する直感（ちょっかん）

Khi một đường cong kín được cho bằng tham số \(\theta\), việc tính tích phân theo x có thể gặp khó khăn do không thể biểu diễn trực tiếp y theo x. Bằng cách đổi biến tích phân S = \(\int\) y dx sang S = \(\int\) y (dx/d\(\theta\)) d\(\theta\), ta có thể dễ dàng tính diện tích bằng cách tích phân theo tham số \(\theta\).

閉（へい）曲線（きょくせん）が媒介（ばいかい）変数（へんすう）\(\theta\)で表示（ひょうじ）されている場合（ばあい）、yをxの関数（かんすう）として直接（ちょくせつ）表（あらわ）すことが難（むずか）しいことがあります。そこで、面積（めんせき）積分（せきぶん） S = \(\int\) y dx を S = \(\int\) y (dx/d\(\theta\)) d\(\theta\) へ置換（ちかん）積分（せきぶん）することで、媒介（ばいかい）変数（へんすう）\(\theta\)に関（かん）する積分（せきぶん）として容易（ようい）に面積（めんせき）を求（もと）められます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 2次（じ）曲線（きょくせん）Đường bậc hai

    Đường cong biểu diễn bởi phương trình bậc hai hai biến, ví dụ như hình elíp.

    楕円（だえん）などの2変数（へんすう）2次（じ）方程（ほうてい）式（しき）によって表（あらわ）される曲線（きょくせん）です。

  • 楕円（だえん）Hình elíp

    Một dạng đường bậc hai kín có phương trình chính chuẩn dạng \(x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} = 1\).

    標準（ひょうじゅん）形（けい） \(x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} = 1\) で表（あらわ）される閉（と）じた2次（じ）曲線（きょくせん）の一種（いっしゅ）です。

  • 閉（へい）曲線（きょくせん）Đường cong kín

    Đường cong khép kín quanh một vùng mặt phẳng, tạo thành một miền có diện tích xác định.

    平面（へいめん）上（じょう）の一定（いってい）の領域（りょういき）を囲（かこ）み、確定（かくてい）した面積（めんせき）をもつ閉（と）じた曲線（きょくせん）です。

  • 媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）Biểu diễn bằng tham số

    Cách biểu diễn tọa độ x và y của đường cong thông qua một biến trung gian (tham số) \(\theta\).

    描（えが）かれる曲線（きょくせん）の座標（ざひょう）x, yを媒介（ばいかい）変数（へんすう）\(\theta\)を用（もち）いて表（あらわ）す形式（けいしき）です。

  • 増減（ぞうげん）表（ひょう）Bảng biến thiên

    Bảng theo dõi sự thay đổi của x, y và các đạo hàm theo tham số để khảo sát dạng đường cong.

    媒介（ばいかい）変数（へんすう）に対（たい）するx, yおよびその導（どう）関数（かんすう）の変化（へんか）を記録（きろく）し、曲線（きょくせん）の概形（がいけい）を調（しら）べる表（おもて）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）と増減（ぞうげん）表（ひょう）の確認（かくにん）

    Bước 1: Xác định phương trình tham số và bảng biến thiên

    Viết công thức tham số của đường cong \(x (\theta)\), \(y (\theta)\) và lập bảng biến thiên để xác định hướng chạy và miền giá trị. Qua đó xác định được dạng đường cong kín và các điểm đối xứng nếu có.

    曲線（きょくせん）の媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ） \(x (\theta)\), \(y (\theta)\) を確認（かくにん）し、増減（ぞうげん）表（ひょう）を作成（さくせい）して軌跡（きせき）の方向（ほうこう）と範囲（はんい）を把握（はあく）します。これにより、閉（へい）曲線（きょくせん）の概形（がいけい）や対称（たいしょう）性（せい）を確認（かくにん）できます。

  2. 02
    ステップ2：\(dx / d \theta\) および dy/dx の計算（けいさん）

    Bước 2: Tính đạo hàm \(dx / d \theta\) và dy/dx

    Tính \(dx / d \theta\) để thực hiện đổi biến trong tích phân diện tích. Sử dụng công thức \(dy / dx = (dy / d \theta) / (dx / d \theta)\) khi cần xét tiếp tuyến hoặc sự biến thiên của y theo x.

    面積（めんせき）積分（せきぶん）の置換（ちかん）のために \(dx / d \theta\) を計算（けいさん）します。接線（せっせん）やxに対（たい）するyの変化（へんか）を調（しら）べる必要（ひつよう）があれば \(dy / dx = (dy / d \theta) / (dx / d \theta)\) を用（もち）います。

  3. 03
    ステップ3：面積（めんせき）積分（せきぶん） S = \(\int\) y (dx/d\(\theta\)) d\(\theta\) の立（りっ）式（しき）

    Bước 3: Lập tích phân diện tích S = \(\int\) y (dx/d\(\theta\)) d\(\theta\)

    Thay y và dx = (dx/d\(\theta\)) d\(\theta\) vào công thức diện tích S = \(\int\) y dx. Cận tích phân được xác định tương ứng với sự thay đổi của tham số \(\theta\).

    面積（めんせき）の公式（こうしき） S = \(\int\) y dx に y と dx = (dx/d\(\theta\)) d\(\theta\) を代入（だいにゅう）します。積分（せきぶん）の上下（じょうげ）端（たん）は媒介（ばいかい）変数（へんすう）\(\theta\)の変化（へんか）に対応（たいおう）させて設定（せってい）します。

  4. 04
    ステップ4：定（てい）積分（せきぶん）の計算（けいさん）と面積（めんせき）の決定（けってい）

    Bước 4: Tính giá trị tích phân và kết luận diện tích

    Biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân và tính định tích phân theo \(\theta\) để thu được diện tích S. Chú ý dấu của y và \(dx / d \theta\) để bảo đảm diện tích mang giá trị dương.

    被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）を整理（せいり）し、\(\theta\)についての定（てい）積分（せきぶん）を実行（じっこう）して面積（めんせき）Sを求（もと）めます。面積（めんせき）が正（せい）の値（あたい）となるよう、yおよび\(dx / d \theta\)の符号（ふごう）に注意（ちゅうい）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên đổi cận tích phân tương ứng khi đổi biến từ x sang tham số \(\theta\).変数（へんすう）をxから媒介（ばいかい）変数（へんすう）\(\theta\)へ置換（ちかん）する際（さい）、積分（せきぶん）の上下（じょうげ）端（たん）（積分（せきぶん）区間（くかん））の対応（たいおう）の更新（こうしん）を忘（わす）れてしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn xác định chính xác giá trị của \(\theta\) tương ứng với cận của x trước khi tính tích phân.積分（せきぶん）を計算（けいさん）する前（まえ）に、xの区間（くかん）端（たん）に対応（たいおう）する\(\theta\)の値（あたい）を必（かなら）ず正（ただ）しく求（もと）めておきます。

Bỏ qua dấu âm của \(dx / d \theta\) dẫn đến tính ra giá trị diện tích bị âm.\(dx / d \theta\) の負（ふ）の符号（ふごう）を無視（むし）してしまい、面積（めんせき）の値（あたい）が負（ふ）になってしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Lấy tuyệt đối hoặc đảo cận tích phân khi \(dx / d \theta < 0\) để đảm bảo diện tích luôn mang giá trị dương.\(dx / d \theta < 0\) の場合（ばあい）は積分（せきぶん）の上下（じょうげ）端（たん）を入れ替（いれか）えるか絶対（ぜったい）値（ち）をとることで、面積（めんせき）が常（つね）に正（せい）となるようにします。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Sử dụng công thức S = \(\int\) y (dx/d\(\theta\)) d\(\theta\) để chuyển tích phân diện tích x sang tích phân theo tham số \(\theta\).面積（めんせき）積分（せきぶん）は S = \(\int\) y (dx/d\(\theta\)) d\(\theta\) を用（もち）いてxから媒介（ばいかい）変数（へんすう）\(\theta\)の積分（せきぶん）へ変換（へんかん）します。
  • Tính đạo hàm bằng \(dy / dx = (dy / d \theta) / (dx / d \theta)\) và lập bảng biến thiên để xác định hình dạng đường cong kín.\(dy / dx = (dy / d \theta) / (dx / d \theta)\) により導（どう）関数（かんすう）を求（もと）め、増減（ぞうげん）表（ひょう）を活用（かつよう）して閉（へい）曲線（きょくせん）の形（かたち）を把握（はあく）します。
  • Luôn chú ý thứ tự cận tích phân và dấu của \(dx / d \theta\) để kết quả diện tích S luôn mang giá trị dương.面積（めんせき）Sが常（つね）に正（せい）の値（あたい）となるよう、積分（せきぶん）の上下（じょうげ）端（たん）と \(dx / d \theta\) の符号（ふごう）の関係（かんけい）に注意（ちゅうい）します。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

Phương trình chính chuẩn của hình elíp với các bán trục a và b.

長軸（ちょうじく）・短軸（たんじく）の半（はん）長（ちょう）がa, bである楕円（だえん）の標準（ひょうじゅん）方程（ほうてい）式（しき）です。

S = \int y dx = \int y \frac{dx}{d\theta} d\theta

Công thức tính diện tích hình phẳng bằng cách đổi biến tích phân sang tham số \(\theta\).

面積（めんせき）積分（せきぶん）を媒介（ばいかい）変数（へんすう）\(\theta\)へ置換（ちかん）積分（せきぶん）して計算（けいさん）する公式（こうしき）です。

\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}

Công thức đạo hàm của y theo x đối với đường cong biểu diễn bằng tham số \(\theta\).

媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）された曲線（きょくせん）のxに関（かん）するyの導（どう）関数（かんすう）を求（もと）める公式（こうしき）です。

EJU 2026 · MATH.16.1 · MATH.16.2 · MATH.20.2

Bài học này giúp bạn tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường bậc hai, đường cong kín và đường cong biểu diễn bằng tham số. Bạn sẽ nắm vững phương pháp đổi biến tích phân theo tham số để tính diện tích một cách chính xác.

本課（ほんか）では、2次（じ）曲線（きょくせん）、閉（へい）曲線（きょくせん）、および媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）の曲線（きょくせん）によって囲（かこ）まれた図形（ずけい）の面積（めんせき）を計算（けいさん）する方法（ほうほう）を学（まな）びます。媒介（ばいかい）変数（へんすう）を用（もち）いた置換（ちかん）積分（せきぶん）により面積（めんせき）を正確（せいかく）に求（もと）める手法（しゅほう）をマスターします。

2次（じ）曲線（きょくせん）・閉（へい）曲線（きょくせん）および媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）の曲線（きょくせん）と面積（めんせき）
2次曲線楕円閉曲線媒介変数表示