Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Định lý De Moivreド・モアブルの定理（ていり）

Công thức公式

(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta
z^0 = 1
z^{-n} = \frac{1}{z^n}
\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta

Ví dụ例題

Cho số phức \(w = \cos (\pi / 3) + i \sin (\pi / 3)\). Tính \(z = w^{3}\) và \(z^{-1}\).

複素（ふくそ）数（すう） \(w = \cos (\pi / 3) + i \sin (\pi / 3)\) が与（あた）えられている。\(z = w^{3}\) および \(z^{-1}\) の値（あたい）を求（もと）めよ。

  1. Áp dụng Định lý De Moivre với n = 3: \(z = \cos (3\cdot \pi / 3) + i \sin (3\cdot \pi / 3) = \cos (\pi) + i \sin (\pi)\).n = 3としてド・モアブルの定理（ていり）を適用（てきよう）すると、\(z = \cos (3\cdot \pi / 3) + i \sin (3\cdot \pi / 3) = \cos (\pi) + i \sin (\pi)\) となる。
  2. Thay giá trị lượng giác \(\cos (\pi) = -1\) và \(\sin (\pi) = 0\), ta được z = -1.三角（さんかく）関数（かんすう）の値（あたい） \(\cos (\pi) = -1\), \(\sin (\pi) = 0\) を代入（だいにゅう）すると、z = -1 を得（う）る。
  3. Sử dụng công thức \(z^{-1} = 1 / z\), ta tính được \(z^{-1} = 1 / (-1) = -1\).公式（こうしき） \(z^{-1} = 1 / z\) を用（もち）いると、\(z^{-1} = 1 / (-1) = -1\) と計算（けいさん）される。
Vậy z = -1 và \(z^{-1} = -1\).したがって、z = -1 かつ \(z^{-1} = -1\) である。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Tính giá trị của biểu thức \(z = (\cos (\pi / 6) + i \sin (\pi / 6))^{6}\).式（しき） \(z = (\cos (\pi / 6) + i \sin (\pi / 6))^{6}\) の値（あたい）を求（もと）めよ。

2. Biết cos θ = 1/2. Tính giá trị của cos 3θ sử dụng công thức góc gấp ba cos 3θ = 4 cos^3 θ - 3 cos θ.cos θ = 1/2 のとき、3倍角（ばいかく）の公式（こうしき） cos 3θ = 4 cos^3 θ - 3 cos θ を用（もち）いて cos 3θ の値（あたい）を求（もと）めよ。

3. Cho \(z = \cos (\pi / 4) + i \sin (\pi / 4)\). Tính \(z^{0} + z^{-4}\).\(z = \cos (\pi / 4) + i \sin (\pi / 4)\) とする。\(z^{0} + z^{-4}\) の値（あたい）を求（もと）めよ。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.15.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.15.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu và áp dụng Định lý De Moivre cho số nguyên n.整数（せいすう）nに対（たい）するド・モアブルの定理（ていり）を理解（りかい）し適用（てきよう）できる。
  2. Biểu diễn và tìm các căn bậc n của số phức bằng dạng lượng giác.極（ごく）形式（けいしき）を用（もち）いて複素（ふくそ）数（すう）のn乗（のり）根（ね）を表現（ひょうげん）し求（もと）めることができる。
  3. Vận dụng công thức góc gấp ba để biến đổi các biểu thức lượng giác liên quan.3倍角（ばいかく）の公式（こうしき）を活用（かつよう）して関連（かんれん）する三角（さんかく）関数（かんすう）式（しき）に変形（へんけい）できる。
Trực giác · イメージ

Phép nhân số phức dạng lượng giác tương ứng với phép quay góc極（ごく）形式（けいしき）の複素（ふくそ）数（すう）の積（せき）は角（かど）の回転（かいてん）に対応（たいおう）する

Khi nhân các số phức dạng lượng giác có độ dài bằng 1, độ dài giữ nguyên và các góc được cộng lại với nhau. Khi nhân n lần cùng một số phức, góc được nhân lên n lần, tạo nên nội dung chính của Định lý De Moivre.

絶対（ぜったい）値（ち）が1の極（ごく）形式（けいしき）の複素（ふくそ）数（すう）を掛け合（かけあ）わせると、絶対（ぜったい）値（ち）は1のままで偏角（へんかく）が足し合（たしあ）わされます。同（おな）じ複素（ふくそ）数（すう）をn回（かい）掛（か）けると偏角（へんかく）がn倍（ばい）になり、これがド・モアブルの定理（ていり）の本質（ほんしつ）です。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • ド・モアブルの定理（ていり）Định lý De Moivre

    Định lý cho biết lũy thừa bậc n của số phức dạng lượng giác cosθ + i sinθ bằng cos(nθ) + i sin(nθ). Định lý này đúng với mọi số nguyên n kể cả số âm và số 0.

    偏角（へんかく）θの極（ごく）形式（けいしき）のn乗（のり）がcos(nθ) + i sin(nθ)に等（ひと）しいことを示（しめ）す定理（ていり）です。この定理（ていり）は負（ふ）の整数（せいすう）や0を含（ふく）むすべての整数（せいすう）nに対（たい）して成立（せいりつ）します。

  • 3倍角（ばいかく）の公式（こうしき）Công thức góc gấp ba

    Công thức góc gấp ba cos 3θ = 4 cos^3 θ - 3 cos θ được rút ra bằng cách so sánh phần thực khi khai triển De Moivre cho n = 3. Đây là công thức biến đổi quan trọng giữa cos 3θ và cos θ.

    3倍角（ばいかく）の公式（こうしき）cos 3θ = 4 cos^3 θ - 3 cos θは、n = 3のド・モアブルの定理（ていり）の実部（じつぶ）を比較（ひかく）することで導（みちび）かれます。cos 3θとcos θの間（あいだ）の重要（じゅうよう）な変形（へんけい）公式（こうしき）です。

  • 1のn乗（のり）根（ね）Căn bậc n của 1

    Căn bậc n của 1 là các số phức z thỏa mãn \(z^{n} = 1\). Các nghiệm này phân bố đều trên đường tròn đơn vị với góc chênh lệch nhau là 2π/n.

    1のn乗（のり）根（ね）とは方程（ほうてい）式（しき）\(z^{n} = 1\)を満（み）たす複素（ふくそ）数（すう）zのことです。これらの解（かい）は単位（たんい）円上（えんじょう）に等（とう）間隔（かんかく）に配置（はいち）され、偏角（へんかく）は2π/nずつ異（こと）なります。

  • 複素（ふくそ）数（すう）のn乗（のり）根（ね）Căn bậc n của số phức

    Căn bậc n của số phức w là tất cả các số phức z thỏa mãn \(z^{n} = w\). Phương trình này có đúng n nghiệm phân biệt trên mặt phẳng số phức.

    複素（ふくそ）数（すう）wのn乗（のり）根（ね）とは方程（ほうてい）式（しき）\(z^{n} = w\)を満（み）たす全（すべ）ての複素（ふくそ）数（すう）zのことです。この方程（ほうてい）式（しき）は複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）に相異（そうい）なるn個（こ）の解（かい）を持（も）ちます。

  • 極（ごく）形式（けいしき）の相等（そうとう）Sự bằng nhau của dạng lượng giác

    Hai số phức ở dạng lượng giác bằng nhau khi và chỉ khi độ dài của chúng bằng nhau và các góc lệch nhau một bội số nguyên của 2π. Điều này giúp tìm tất cả các nghiệm khi giải phương trình căn bậc n.

    2つの極（ごく）形式（けいしき）の複素（ふくそ）数（すう）が等（ひと）しいのは、絶対（ぜったい）値（ち）が一致（いっち）し偏角（へんかく）の差（さ）が2πの整数（せいすう）倍（ばい）であるときです。これによりn乗（のり）根（ね）の方程（ほうてい）式（しき）を解（と）く際（さい）に全（すべ）ての解（かい）を求（もと）めることができます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：複素（ふくそ）数（すう）を極（ごく）形式（けいしき）で表（あらわ）す

    Bước 1: Viết số phức dưới dạng lượng giác

    Chuyển số phức ban đầu về dạng r(cosθ + i sinθ) với r là độ dài và θ là góc biểu diễn. Bước này giúp áp dụng trực tiếp các quy tắc lũy thừa.

    与（あた）えられた複素（ふくそ）数（すう）を絶対（ぜったい）値（ち）rと偏角（へんかく）θを用（もち）いてr(cosθ + i sinθ)の形（かたち）に変換（へんかん）します。これにより累乗（るいじょう）の法則（ほうそく）を直接（ちょくせつ）適用（てきよう）できるようになります。

  2. 02
    ステップ2：ド・モアブルの定理（ていり）を適用（てきよう）する

    Bước 2: Áp dụng Định lý De Moivre

    Lấy lũy thừa bậc n bằng cách nâng độ dài lên \(r^{n}\) và nhân góc với n thành nθ. Công thức áp dụng được cho cả n dương, n = 0 và n âm.

    絶対（ぜったい）値（ち）を\(r^{n}\)にし、偏角（へんかく）をn倍（ばい）してnθにすることでn乗（のり）を計算（けいさん）します。この公式（こうしき）は正（せい）の整数（せいすう）、n = 0、負（ふ）の整数（せいすう）全（すべ）てに適用（てきよう）可能（かのう）です。

  3. 03
    ステップ3：n乗（のり）根（ね）の方程（ほうてい）式（しき）の解（かい）を求（もと）める

    Bước 3: Tìm nghiệm phương trình căn bậc n

    Cho góc tổng quát θ + 2kπ và chia góc cho n để tìm n nghiệm tương ứng k = 0, 1, ..., n-1. Sử dụng sự bằng nhau của dạng lượng giác để không bỏ sót nghiệm.

    一般（いっぱん）角（かく）θ + 2kπを用（もち）いて偏角（へんかく）をnで割（わ）ることで、k = 0, 1, ..., n-1に対応（たいおう）するn個（こ）の解（かい）を求（もと）めます。極（ごく）形式（けいしき）の相等（そうとう）を利用（りよう）して解（かい）の取（と）りこぼしを防（ふせ）ぎます。

  4. 04
    ステップ4：必要（ひつよう）に応（おう）じて代数（だいすう）形式（けいしき）に戻（もど）す

    Bước 4: Đưa kết quả về dạng đại số nếu cần

    Tính giá trị cos(nθ) và sin(nθ) để thu được kết quả dạng a + bi. Kiểm tra lại kết quả với các giá trị đặc biệt của góc.

    cos(nθ)とsin(nθ)の値（あたい）を計算（けいさん）してa + biの形（かたち）にまとめます。有名（ゆうめい）角（かく）の値（あたい）を用（もち）いて結果（けっか）を再（さい）確認（かくにん）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Áp dụng sai Định lý De Moivre khi số phức chưa ở dạng chuẩn r(cosθ + i sinθ), ví dụ như dấu trừ giữa cos và sin.cosとsinの間（あいだ）にマイナス符号（ふごう）がある場合（ばあい）など、標準（ひょうじゅん）的（てき）な極（ごく）形式（けいしき）r(cosθ + i sinθ)になっていないままド・モアブルの定理（ていり）を誤（あやま）って適用（てきよう）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Cần đưa biểu thức về đúng dạng chuẩn cosθ + i sinθ trước khi nâng lên lũy thừa bậc n.n乗（のり）する前（まえ）に、式（しき）を正（ただ）しい標準（ひょうじゅん）形（けい）cosθ + i sinθに変形（へんけい）する必要（ひつよう）があります。

Khi tìm căn bậc n của số phức, chỉ tìm một nghiệm duy nhất mà bỏ qua các nghiệm còn lại.複素（ふくそ）数（すう）のn乗（のり）根（ね）を求（もと）める際（さい）、1つの解（かい）だけを求（もと）めて他（ほか）の解（かい）を見落（みお）としてしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Cần cộng thêm 2kπ vào góc θ với k = 0, 1, ..., n-1 để tìm đủ n nghiệm phân biệt.偏角（へんかく）θに2kπ (k = 0, 1, ..., n-1) を加（くわ）えて、異（こと）なるn個（こ）の解（かい）を全（すべ）て求（もと）める必要（ひつよう）があります。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Định lý De Moivre (cosθ + i sinθ)^n = cos nθ + i sin nθ áp dụng cho mọi số nguyên n.ド・モアブルの定理（ていり） (cosθ + i sinθ)^n = cos nθ + i sin nθ はすべての整数（せいすう）nに適用（てきよう）できる。
  • Công thức \(z^{0} = 1\) và \(z^{-n} = 1 / z^{n}\) giữ nguyên các tính chất lũy thừa số nguyên cho số phức.公式（こうしき） \(z^{0} = 1\) および \(z^{-n} = 1 / z^{n}\) は複素（ふくそ）数（すう）の整数（せいすう）乗（じょう）の性質（せいしつ）を保持（ほじ）する。
  • Phương trình căn bậc n của số phức có n nghiệm phân biệt phân bố đều trên đường tròn.複素（ふくそ）数（すう）のn乗（のり）根（ね）の方程（ほうてい）式（しき）は円周（えんしゅう）上（じょう）に等（とう）間隔（かんかく）に並（なら）ぶ相異（そうい）なるn個（こ）の解（かい）を持（も）つ。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta

Công thức chính của Định lý De Moivre dùng để tính lũy thừa bậc n của số phức có độ dài bằng 1.

絶対（ぜったい）値（ち）が1の複素（ふくそ）数（すう）のn乗（のり）を計算（けいさん）するためのド・モアブルの定理（ていり）の基本（きほん）公式（こうしき）です。

z^0 = 1

Lũy thừa bậc 0 của bất kỳ số phức z nào khác 0 đều bằng 1.

0でない任意（にんい）の複素（ふくそ）数（すう）zの0乗（のり）は1に等（ひと）しいという定義（ていぎ）です。

z^{-n} = \frac{1}{z^n}

Lũy thừa số nguyên âm được tính bằng nghịch đảo của lũy thừa số nguyên dương tương ứng.

負（ふ）の整数（せいすう）乗（じょう）は、対応（たいおう）する正（せい）の整数（せいすう）乗（じょう）の逆数（ぎゃくすう）として計算（けいさん）されます。

\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta

Công thức góc gấp ba biểu diễn \(\cos 3\)θ theo cos θ, rút ra từ Định lý De Moivre khi n = 3.

n = 3のド・モアブルの定理（ていり）から導出（どうしゅつ）される、\(\cos 3\)θをcos θで表（あらわ）す3倍角（ばいかく）の公式（こうしき）です。

EJU 2026 · MATH.15.2

Bài học này giúp bạn nắm vững Định lý De Moivre và ứng dụng để tính lũy thừa cũng như căn bậc n của số phức. Đây là công cụ quan trọng để giải các bài toán dạng lượng giác trong đề thi EJU.

本課（ほんか）ではド・モアブルの定理（ていり）をマスターし、複素（ふくそ）数（すう）の累乗（るいじょう）やn乗（のり）根（ね）を計算（けいさん）する応用（おうよう）力（りょく）を養（やしな）います。EJU試験（しけん）の極（ごく）形式（けいしき）問題（もんだい）を解（と）くための重要（じゅうよう）なツールです。

ド・モアブルの定理（ていり）
ド・モアブルの定理3倍角の公式1のn乗根複素数のn乗根