Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Định nghĩa và tính chất cơ bản của tích phân xác định定（てい）積分（せきぶん）の定義（ていぎ）と基本（きほん）性質（せいしつ）

Công thức公式

\int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)
S = \int_{a}^{b} f(x) dx
\int_{a}^{b} k f(x) dx = k \int_{a}^{b} f(x) dx
\int_{a}^{b} \{f(x) \pm g(x)\} dx = \int_{a}^{b} f(x) dx \pm \int_{a}^{b} g(x) dx

Ví dụ例題

Tính tích phân xác định I = \(\int_{1}^{2}\) (3x^2 + 2x) dx và tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = 3x^2 + 2x, trục hoành, x = 1, x = 2.

定（てい）積分（せきぶん） I = \(\int_{1}^{2}\) (3x^2 + 2x) dx の値（あたい）を求（もと）め、y = 3x^2 + 2x と x軸（じく）、x = 1, x = 2 で囲（かこ）まれた面積（めんせき）を求（もと）めなさい。

  1. Tìm nguyên hàm của \(f(x) = 3 x^{2} + 2 x\). Ta có \(F (x) = x^{3} + x^{2}\).被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう） \(f(x) = 3 x^{2} + 2 x\) の原（げん）関数（かんすう）を求（もと）めます。\(F (x) = x^{3} + x^{2}\) となります。
  2. Thế hai cận a = 1 và b = 2 vào nguyên hàm: \(F (2) = 2^{3} + 2^{2} = 8 + 4 = 12\), và \(F (1) = 1^{3} + 1^{2} = 2\).上端（じょうたん） b = 2 と下端（したば） a = 1 を代入（だいにゅう）します。F(2) = 8 + 4 = 12、F(1) = 1 + 1 = 2 です。
  3. Lấy F(2) - F(1) = 12 - 2 = 10. Do f(x) > 0 trên [1, 2] nên diện tích S = I = 10.F(2) - F(1) = 12 - 2 = 10 と計算（けいさん）します。[1, 2]で f(x) > 0 なので面積（めんせき） S も 10 です。
Tích phân xác định có giá trị bằng 10, và diện tích hình phẳng tương ứng là S = 10.定（てい）積分（せきぶん）の値（あたい）は 10 であり、対応（たいおう）する領域（りょういき）の面積（めんせき）は S = 10 となります。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Giá trị của tích phân xác định \(\int_{0}^{2}\) (2x + 1) dx là bao nhiêu?定（てい）積分（せきぶん） \(\int_{0}^{2}\) (2x + 1) dx の値（あたい）はいくらですか。

2. Cho \(\int_{1}^{3}\) f(x) dx = 4 và \(\int_{1}^{3}\) g(x) dx = 2. Tính giá trị của \(\int_{1}^{3}\) \{3f(x) - 2g(x)\} dx.\(\int_{1}^{3}\) f(x) dx = 4 および \(\int_{1}^{3}\) g(x) dx = 2 のとき、\(\int_{1}^{3}\) \{3f(x) - 2g(x)\} dx の値（あたい）を求（もと）めなさい。

3. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = x^{2}\), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 3 là bao nhiêu?曲線（きょくせん） \(y = x^{2}\) と x軸（じく）、および2直線（ちょくせん） x = 0, x = 3 で囲（かこ）まれた部分（ぶぶん）の面積（めんせき） S はいくらですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.20.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.20.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu rõ định nghĩa tích phân xác định thông qua nguyên hàm và các giới hạn cận.原（げん）関数（かんすう）と上下（じょうげ）端（たん）を用（もち）いた定（てい）積分（せきぶん）の定義（ていぎ）を理解（りかい）する。
  2. Vận dụng các tính chất tuyến tính của tích phân xác định để đơn giản hóa phép tính.定（てい）積分（せきぶん）の線形（せんけい）性（せい）を利用（りよう）して計算（けいさん）を簡略（かんりゃく）化（か）する。
  3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành.曲線（きょくせん）とx軸（じく）で囲（かこ）まれた部分（ぶぶん）の面積（めんせき）を計算（けいさん）する。
Trực giác · イメージ

Trực giác về tích phân xác định và diện tích定（てい）積分（せきぶん）と面積（めんせき）の直感（ちょっかん）的（てき）理解（りかい）

Tích phân xác định là giá trị số thu được khi thay hai cận vào nguyên hàm và trừ cho nhau. Giá trị này đại diện cho diện tích hình phẳng nằm giữa đồ thị hàm số và trục hoành trong khoảng từ cận dưới đến cận trên. Nhờ các tính chất nhân với hằng số và cộng trừ, ta có thể tách phép tính phức tạp thành các phần đơn giản hơn.

定（てい）積分（せきぶん）は、原（げん）関数（かんすう）に上下（じょうげ）端（たん）を代入（だいにゅう）して引き算（ひきざん）することで得（え）られる数値（すうち）です。この値（あたい）は、指定（してい）された区間（くかん）において曲線（きょくせん）とx軸（じく）で囲（かこ）まれた領域（りょういき）の面積（めんせき）を表（あらわ）します。定数（ていすう）倍（ばい）や和（わ）・差（さ）の性質（せいしつ）を使（つか）うことで、複雑（ふくざつ）な計算（けいさん）を簡単（かんたん）な部分（ぶぶん）に分割（ぶんかつ）できます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 定（てい）積分（せきぶん）tích phân xác định

    Tích phân xác định của hàm số f(x) từ cận dưới a đến cận trên b là hiệu số F(b) - F(a), với F(x) là một nguyên hàm của f(x). Kết quả thu được là một số thực cụ thể.

    aからbまでの関数（かんすう）f(x)の定積（ていせき）分（ぶん）は、原（げん）関数（かんすう）F(x)を用（もち）いてF(b)-F(a)で定義（ていぎ）される実（じつ）数値（すうち）です。

  • 不定（ふてい）積分（せきぶん）tích phân bất định

    Tích phân bất định là họ các nguyên hàm F(x) + C của hàm số f(x). Đây là cơ sở để tìm nguyên hàm F(x) trước khi thế cận trong tích phân xác định.

    不定（ふてい）積分（せきぶん）は、関数（かんすう）f(x)のすべての原（げん）関数（かんすう）F(x)+Cの集合（しゅうごう）です。定（てい）積分（せきぶん）を計算（けいさん）する際（さい）の基礎（きそ）となります。

  • 下端（かたん）cận dưới

    Cận dưới là giá trị bắt đầu a của khoảng tích phân, được ghi ở phía dưới dấu tích phân. Giá trị này được thế vào nguyên hàm để trừ đi.

    下端（かたん）は積分（せきぶん）区間（くかん）の開始（かいし）点（てん）aであり、積分（せきぶん）記号（きごう）の下側（したがわ）に記述（きじゅつ）されます。原（げん）関数（かんすう）に代入（だいにゅう）して引き算（ひきざん）される値（あたい）です。

  • 上端（じょうたん）cận trên

    Cận trên là giá trị kết thúc b của khoảng tích phân, được ghi ở phía trên dấu tích phân. Nguyên hàm tại cận trên F(b) là số bị trừ.

    上端（じょうたん）は積分（せきぶん）区間（くかん）の終了（しゅうりょう）点（てん）bであり、積分（せきぶん）記号（きごう）の上側（うえがわ）に記述（きじゅつ）されます。原（げん）関数（かんすう）F(b)の値（あたい）から下端（したば）の値（あたい）が引（ひ）かれます。

  • 絶対（ぜったい）値（ち）記号（きごう）dấu giá trị tuyệt đối

    Dấu giá trị tuyệt đối được dùng khi tính diện tích để đảm bảo giá trị tích phân luôn dương trên các khoảng hàm số âm. Ta cần phá dấu giá trị tuyệt đối bằng cách chia khoảng.

    絶対（ぜったい）値（ち）記号（きごう）は、関数（かんすう）が負（ふ）の値（あたい）をとる区間（くかん）でも面積（めんせき）を正（せい）として計算（けいさん）するために用（もち）いられます。区間（くかん）を分割（ぶんかつ）して外（はず）します。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    関数（かんすう）の不定（ふてい）積分（せきぶん）（原（げん）関数（かんすう））を求（もと）める

    Tìm nguyên hàm của hàm số

    Bước đầu tiên là tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) dưới dấu tích phân. Ta không cần cộng hằng số C vì C sẽ bị triệt tiêu khi trừ hai cận.

    最初（さいしょ）に被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）f(x)の原（げん）関数（かんすう）F(x)を1つ求（もと）めます。上下（じょうげ）端（たん）の引き算（ひきざん）で相殺（そうさい）されるため積分（せきぶん）定数（ていすう）Cは省略（しょうりゃく）できます。

  2. 02
    上端（じょうたん）と下端（したば）を原（げん）関数（かんすう）に代入（だいにゅう）する

    Thế cận trên và cận dưới vào nguyên hàm

    Ký hiệu [F(x)]_a^b nghĩa là tính F(b) và F(a). Sau đó lấy giá trị F(b) trừ đi F(a) để nhận kết quả số.

    記号（きごう）[F(x)]_a^bに従（したが）い、原（げん）関数（かんすう）に上端（じょうたん）bと下端（したば）aを代入（だいにゅう）します。F(b)からF(a)を引（ひ）くことで定（てい）積分（せきぶん）の値（あたい）を算出（さんしゅつ）します。

  3. 03
    線形（せんけい）性（せい）を利用（りよう）して式（しき）を整理（せいり）・分解（ぶんかい）する

    Áp dụng tính chất tuyến tính để biến đổi

    Nếu biểu thức gồm tổng hiệu hoặc có hệ số, ta dùng tính chất tách tích phân hoặc đưa hằng số k ra ngoài. Điều này giúp phép tính nguyên hàm gọn gàng hơn.

    式（しき）が和（わ）や差（さ）、定数（ていすう）倍（ばい）を含（ふく）む場合（ばあい）、積分（せきぶん）を分割（ぶんかつ）したり定数（ていすう）を外（そと）に出（だ）したりします。これにより原（げん）関数（かんすう）の計算（けいさん）が簡単（かんたん）になります。

  4. 04
    曲線（きょくせん）で囲（かこ）まれた面積（めんせき）を計算（けいさん）する

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn

    Khi f(x) >= 0 trên [a, b], diện tích S của hình phẳng chính là tích phân xác định của f(x) từ a đến b. Nếu f(x) < 0, ta lấy đổi dấu biểu thức tích phân.

    区間（くかん）[a, b]でf(x) >= 0のとき、囲（かこ）まれた面積（めんせき）Sは定（てい）積分（せきぶん）の値（あたい）と一致（いっち）します。f(x) < 0の領域（りょういき）では符号（ふごう）を反転（はんてん）させて計算（けいさん）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn thứ tự trừ khi thế cận, lấy F(a) - F(b) thay vì F(b) - F(a).代入（だいにゅう）時（じ）の引き算（ひきざん）の順序（じゅんじょ）を間違（まちが）え、F(b) - F(a) ではなく F(a) - F(b) と計算（けいさん）してしまう。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn ghi nhớ nguyên tắc lấy giá trị tại cận trên F(b) trừ đi giá trị tại cận dưới F(a).常（つね）に「上端（じょうたん）の値（あたい） F(b) から下端（かたん）の値（あたい） F(a) を引（ひ）く」という原則（げんそく）を徹底（てってい）してください。

Vẫn giữ lại hằng số tích phân C trong kết quả cuối cùng của tích phân xác định.定（てい）積分（せきぶん）の最終（さいしゅう）結果（けっか）に積分（せきぶん）定数（ていすう） C を残（のこ）してしまう。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Tích phân xác định thu được một số thực cụ thể, hằng số C triệt tiêu khi lấy F(b) - F(a) nên không ghi C.定（てい）積分（せきぶん）は具体（ぐたい）的（てき）な数値（すうち）となるため、F(b)-F(a)の計算（けいさん）で相殺（そうさい）されるCは書（か）きません。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Tích phân xác định được tính bằng F(b) - F(a) với F(x) là nguyên hàm của f(x).定（てい）積分（せきぶん）は原（げん）関数（かんすう）F(x)を用（もち）いてF(b)-F(a)として計算（けいさん）される。
  • Các tính chất nhân hằng số và cộng trừ cho phép tách tích phân thành các dạng đơn giản.定数（ていすう）倍（ばい）や和（わ）・差（さ）の性質（せいしつ）により、定（てい）積分（せきぶん）を扱（あつか）いやすい形（かたち）に分解（ぶんかい）できる。
  • Diện tích hình phẳng dưới đồ thị hàm số không âm chính bằng giá trị của tích phân xác định.非（ひ）負（ふ）関数（かんすう）のグラフの下（した）の面積（めんせき）は、その区間（くかん）での定（てい）積分（せきぶん）の値（あたい）と一致（いっち）する。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)

Công thức định nghĩa cơ bản của tích phân xác định bằng cách thế cận trên và cận dưới vào nguyên hàm F(x).

原（げん）関数（かんすう）F(x)に上端（じょうたん）bと下端（したば）aを代入（だいにゅう）して引き算（ひきざん）する定（てい）積分（せきぶん）の基本（きほん）定義（ていぎ）式（しき）です。

S = \int_{a}^{b} f(x) dx

Công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x) >= 0, trục x và hai đường thẳng x = a, x = b.

区間（くかん）[a, b]でf(x) >= 0のとき、y=f(x)とx軸（じく）で囲（かこ）まれた部分（ぶぶん）の面積（めんせき）Sを表（あらわ）す公式（こうしき）です。

\int_{a}^{b} k f(x) dx = k \int_{a}^{b} f(x) dx

Tính chất cho phép đưa hằng số k ra ngoài dấu tích phân xác định để đơn giản hóa biểu thức.

定数（ていすう）kを定（てい）積分（せきぶん）の外（そと）に括（くく）り出（だ）すことができる基本（きほん）性質（せいしつ）です。

\int_{a}^{b} \{f(x) \pm g(x)\} dx = \int_{a}^{b} f(x) dx \pm \int_{a}^{b} g(x) dx

Tính chất tách tích phân xác định của một tổng hoặc hiệu thành tổng hoặc hiệu của hai tích phân xác định.

被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）の和（わ）や差（さ）を、それぞれ個別（こべつ）の定（てい）積分（せきぶん）の和（わ）や差（さ）に分割（ぶんかつ）できる性質（せいしつ）です。

EJU 2026 · MATH.20.1

Bài học này giúp bạn nắm vững định nghĩa tích phân xác định và các tính chất cơ bản để tính diện tích hình phẳng. Việc hiểu rõ mối quan hệ với tích phân bất định sẽ giúp bạn giải nhanh các bài toán EJU.

このセクションでは、定（てい）積分（せきぶん）の定義（ていぎ）と基本（きほん）性質（せいしつ）を理解（りかい）し、面積（めんせき）計算（けいさん）への応用（おうよう）を学（まな）びます。不定（ふてい）積分（せきぶん）との関係（かんけい）を明確（めいかく）にすることで、EJUの計算（けいさん）問題（もんだい）を正確（せいかく）に解（と）く力（ちから）を養（やしな）います。

定（てい）積分（せきぶん）の定義（ていぎ）と基本（きほん）性質（せいしつ）
定積分不定積分下端上端