Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Phương pháp đổi biến số của tích phân xác định定（てい）積分（せきぶん）の置換（ちかん）積分（せきぶん）法（ほう）

Công thức公式

\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t)) g'(t) dt
\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx
\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0
\int \{f(x)\}^\alpha f'(x) dx = \frac{1}{\alpha+1} \{f(x)\}^{\alpha+1} + C

Ví dụ例題

Tính tích phân I = \(\int_{-2}^{2}\) (x^3 + 3x^2) dx bằng cách phân tích tính chẵn lẻ của hàm số.

関数（かんすう）の偶（たま）奇（き）性（せい）を利用（りよう）して、定（てい）積分（せきぶん） I = \(\int_{-2}^{2}\) (x^3 + 3x^2) dx の値（あたい）を求（もと）めなさい。

  1. Tách tích phân thành hai phần: I = \(\int_{-2}^{2}\) x^3 dx + \(\int_{-2}^{2}\) 3x^2 dx.定（てい）積分（せきぶん）を2つの部分（ぶぶん）に分割（ぶんかつ）します：I = \(\int_{-2}^{2}\) x^3 dx + \(\int_{-2}^{2}\) 3x^2 dx。
  2. Nhận thấy f(x) = x^3 là hàm số lẻ nên tích phân trên [-2, 2] bằng 0. Với g(x) = 3x^2 là hàm số chẵn, tích phân bằng 2\(\int_{0}^{2}\) 3x^2 dx.\(f(x) = x^{3}\) は奇（き）関数（かんすう）なので[-2, 2]での積分（せきぶん）は0になります。\(g(x) = 3 x^{2}\) は偶（たま）関数（かんすう）なので、0から2までの積分（せきぶん）の2倍（ばい）になります。
  3. Tính phần hàm chẵn: 2 * [x^3]_0^2 = 2 * (8 - 0) = 16. Vậy I = 0 + 16 = 16.偶（たま）関数（かんすう）の部分（ぶぶん）を計算（けいさん）します：2 * [x^3]_0^2 = 2 * (8 - 0) = 16。したがって I = 0 + 16 = 16 となります。
Tích phân I có giá trị bằng 16 nhờ việc triệt tiêu phần hàm số lẻ và gấp đôi phần hàm số chẵn.奇（き）関数（かんすう）部分（ぶぶん）の相殺（そうさい）と偶（たま）関数（かんすう）部分（ぶぶん）の2倍（ばい）計算（けいさん）により、定（てい）積分（せきぶん） I の値（あたい）は 16 となります。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Giá trị của tích phân \(\int_{-3}^{3}\) (x^5 - 2x^3 + 4x) dx là bao nhiêu?定（てい）積分（せきぶん） \(\int_{-3}^{3}\) (x^5 - 2x^3 + 4x) dx の値（あたい）はいくらですか。

2. Tính giá trị tích phân \(\int_{-1}^{1}\) (5x^4 + 1) dx.定（てい）積分（せきぶん） \(\int_{-1}^{1}\) (5x^4 + 1) dx の値（あたい）を求（もと）めなさい。

3. Khi đổi biến t = x^2 + 1 cho tích phân \(\int_{0}^{1}\) 2x(x^2 + 1)^3 dx, cận tích phân mới theo t từ alpha đến beta lần lượt là bao nhiêu?定（てい）積分（せきぶん） \(\int_{0}^{1}\) 2x(x^2 + 1)^3 dx において t = x^2 + 1 と置換（ちかん）するとき、t の新（あたら）しい積分（せきぶん）区間（くかん） [alpha, beta] はどうなりますか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.20.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.20.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Biết cách đổi biến số x = g(t) và thay đổi cận tương ứng từ [a, b] sang [\(\alpha\), \(\beta\)].変数（へんすう）変換（へんかん） x = g(t) とそれに対応（たいおう）する積分（せきぶん）区間（くかん） [a, b] から [\(\alpha\), \(\beta\)] への変更（へんこう）方法（ほうほう）を習得（しゅうとく）する。
  2. Nhận biết hàm số chẵn, hàm số lẻ để áp dụng công thức tính nhanh trên khoảng đối xứng [-a, a].偶（たま）関数（かんすう）と奇（き）関数（かんすう）を識別（しきべつ）し、対称（たいしょう）区間（くかん） [-a, a] における計算（けいさん）省略（しょうりゃく）公式（こうしき）を適用（てきよう）できるようにする。
  3. Vận dụng công thức tích phân dạng {f(x)}^alpha * f'(x) để tính nhanh nguyên hàm.{f(x)}^alpha * f'(x) の形（かたち）の積分（せきぶん）公式（こうしき）を活用（かつよう）して効率（こうりつ）的（てき）に定（てい）積分（せきぶん）を計算（けいさん）する。
Trực giác · イメージ

Trực giác về đổi biến và tính đối xứng trong tích phân定（てい）積分（せきぶん）の置換（ちかん）と対称（たいしょう）性（せい）に関（かん）する直感（ちょっかん）的（てき）理解（りかい）

Đổi biến số trong tích phân xác định tương tự như việc đổi đơn vị đo; ta phải đổi cả hàm số, vi phân dx và hai cận tích phân. Khi tích phân trên khoảng đối xứng [-a, a], hàm số lẻ có phần diện tích âm và dương triệt tiêu lẫn nhau bằng 0. Trong khi đó, hàm số chẵn có hai nửa đối xứng bằng nhau nên chỉ cần tính tích phân từ 0 đến a rồi nhân 2.

定（てい）積分（せきぶん）の変数（へんすう）変換（へんかん）は単位（たんい）換算（かんさん）に似（に）ており、関数（かんすう）だけでなく微小（びしょう）要素（ようそ）dxと上下（じょうげ）端（たん）も同時（どうじ）に変換（へんかん）する必要（ひつよう）があります。対称（たいしょう）区間（くかん）[-a, a]において、奇（き）関数（かんすう）は正負（せいふ）の面積（めんせき）が相殺（そうさい）されて0になります。一方（いっぽう）、偶（たま）関数（かんすう）は左右（さゆう）対称（たいしょう）であるため、0からaまでの積分（せきぶん）を2倍（ばい）するだけで求（もと）まります。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 置換（ちかん）積分（せきぶん）法（ほう）phương pháp đổi biến số

    Phương pháp đổi biến số là kỹ thuật thay biến x bằng hàm g(t) để đơn giản hóa biểu thức tích phân, đồng thời đổi cận tích phân tương ứng.

    置換（ちかん）積分（せきぶん）法（ほう）は、変数（へんすう）xをg(t)に置き換（おきか）えて被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）を単純（たんじゅん）化（か）し、同時（どうじ）に積分（せきぶん）区間（くかん）も新（あたら）しい変数（へんすう）に変換（へんかん）する手法（しゅほう）です。

  • 偶（たま）関数（かんすう）hàm số chẵn

    Hàm số chẵn thỏa mãn f(-x) = f(x) với mọi x. Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung Oy.

    偶（たま）関数（かんすう）はすべてのxに対（たい）してf(-x) = f(x)を満（み）たす関数（かんすう）です。そのグラフはy軸（じく）に関（かん）して線（せん）対称（たいしょう）となります。

  • 奇（き）関数（かんすう）hàm số lẻ

    Hàm số lẻ thỏa mãn f(-x) = -f(x) với mọi x. Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ O.

    奇（き）関数（かんすう）はすべてのxに対（たい）してf(-x) = -f(x)を満（み）たす関数（かんすう）です。そのグラフは原点（げんてん）に関（かん）して点（てん）対称（たいしょう）となります。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    新（あたら）しい変数（へんすう）を置（お）き、微分（びぶん）（dx）を計算（けいさん）する

    Đặt biến mới và tính vi phân

    Đặt x = g(t) hoặc t = h(x) tùy theo dạng bài. Sau đó lấy đạo hàm hai vế để tìm mối quan hệ giữa vi phân dx và dt.

    問題（もんだい）の形（かたち）に応（おう）じて x = g(t) または t = h(x) と置（お）きます。両辺（りょうへん）を微分（びぶん）して dx と dt の関係（かんけい）式（しき）を求（もと）めます。

  2. 02
    積分（せきぶん）区間（くかん）（上下（じょうげ）端（たん））を新（あたら）しい変数（へんすう）に変換（へんかん）する

    Chuyển đổi cận tích phân

    Lập bảng biến thiên cận để tìm giá trị \(\alpha\) và \(\beta\) của biến t tương ứng với x = a và x = b. Đây là bước bắt buộc để không phải đổi ngược lại biến x khi thế cận.

    x = a, x = b に対応（たいおう）する t の値（あたい） \(\alpha\), \(\beta\) を表（ひょう）にして求（もと）めます。これにより計算（けいさん）後（ご）に元（もと）の変数（へんすう）に戻（もど）す手間（てま）が省（はぶ）けます。

  3. 03
    式（しき）を書き換（かきか）えて新（あたら）しい変数（へんすう）tで定（てい）積分（せきぶん）を計算（けいさん）する

    Thay thế biểu thức và tính tích phân theo t

    Thay f(x)dx bằng f(g(t))g'(t)dt và cận mới vào tích phân. Sau đó tìm nguyên hàm theo t và thế cận \(\alpha\), \(\beta\).

    被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）とdxをtの式（しき）に置き換（おきか）え、新（あたら）しい区間（くかん）[\(\alpha\), \(\beta\)]を設定（せってい）します。tの原（げん）関数（かんすう）を求（もと）めて値（あたい）を代入（だいにゅう）します。

  4. 04
    対称（たいしょう）区間（くかん）[-a, a]での偶（たま）関数（かんすう）・奇（き）関数（かんすう）の性質（せいしつ）を利用（りよう）する

    Tận dụng tính đối xứng trên khoảng [-a, a]

    Nếu cận tích phân dạng [-a, a], kiểm tra xem f(x) là hàm chẵn hay lẻ. Nếu là hàm lẻ kết quả bằng 0, nếu là hàm chẵn ta tính 2\(\int_{0}^{a}\) f(x) dx.

    積分（せきぶん）区間（くかん）が[-a, a]の場合（ばあい）、f(x)の偶（たま）奇（き）性（せい）を確認（かくにん）します。奇（き）関数（かんすう）なら0、偶（たま）関数（かんすう）なら0からaまでの積分（せきぶん）の2倍（ばい）として計算（けいさん）を簡略（かんりゃく）化（か）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên không đổi cận tích phân từ x sang t khi đổi biến số x = g(t).置換（ちかん）積分（せきぶん）で、変数（へんすう）xの積分（せきぶん）区間（くかん）\([a,b]\)を、新（あたら）しい変数（へんすう）tに対応（たいおう）する積分（せきぶん）区間（くかん）\([\alpha,\beta]\)へ変換（へんかん）し忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Sau khi đặt biến mới t, bắt buộc phải tìm giá trị \(\alpha\) và \(\beta\) tương ứng để thế cận chính xác.新（あたら）しい変数（へんすう）tを設定（せってい）した後（あと）は、必（かなら）ずxの値（あたい）に対応（たいおう）するtの上下（じょうげ）端（たん）\(\alpha\), \(\beta\)を求（もと）めて置き換（おきか）えてください。

Nhầm lẫn tính chất của hàm số chẵn và hàm số lẻ trên khoảng đối xứng [-a, a], dẫn đến cho tích phân hàm chẵn bằng 0.対称（たいしょう）区間（くかん）[-a, a]において偶（たま）関数（かんすう）と奇（き）関数（かんすう）の性質（せいしつ）を混同（こんどう）し、偶（たま）関数（かんすう）の積分（せきぶん）値（ち）を0にしてしまう。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Ghi nhớ rằng chỉ có tích phân của hàm số lẻ trên [-a, a] mới bằng 0, còn hàm số chẵn bằng 2 lần tích phân trên [0, a].[-a, a]で0になるのは奇（き）関数（かんすう）のみであり、偶（たま）関数（かんすう）は0からaまでの積分（せきぶん）の2倍（ばい）になることを正確（せいかく）に記憶（きおく）してください。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Đổi biến số trong tích phân xác định đòi hỏi đổi đồng thời biểu thức vi phân dx và cận tích phân.定（てい）積分（せきぶん）の置換（ちかん）積分（せきぶん）では、微小（びしょう）要素（ようそ）dxと積分（せきぶん）区間（くかん）を同時（どうじ）に変換（へんかん）する必要（ひつよう）がある。
  • Tích phân của hàm số lẻ trên khoảng đối xứng [-a, a] luôn bằng 0.対称（たいしょう）区間（くかん）[-a, a]における奇（き）関数（かんすう）の定積（ていせき）分（ぶん）は常（つね）に0となる。
  • Tích phân của hàm số chẵn trên khoảng đối xứng [-a, a] bằng 2 lần tích phân trên khoảng [0, a].対称（たいしょう）区間（くかん）[-a, a]における偶（たま）関数（かんすう）の定積（ていせき）分（ぶん）は、0からaまでの積分（せきぶん）の2倍（ばい）に等（ひと）しい。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t)) g'(t) dt

Công thức đổi biến số cho tích phân xác định với x = g(t), x đổi từ a đến b tương ứng t đổi từ \(\alpha\) đến \(\beta\).

x = g(t) と置換（ちかん）したときの定（てい）積分（せきぶん）の公式（こうしき）であり、xの区間（くかん）[a, b]がtの区間（くかん）[\(\alpha\), \(\beta\)]に対応（たいおう）します。

\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx

Công thức tính nhanh tích phân của hàm số chẵn f(x) trên khoảng đối xứng [-a, a].

対称（たいしょう）区間（くかん）[-a, a]における偶（たま）関数（かんすう）f(x)の定（てい）積分（せきぶん）を、0からaまでの積分（せきぶん）の2倍（ばい）に短縮（たんしゅく）する公式（こうしき）です。

\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0

Công thức tính nhanh tích phân của hàm số lẻ f(x) trên khoảng đối xứng [-a, a] luôn bằng 0.

対称（たいしょう）区間（くかん）[-a, a]における奇（き）関数（かんすう）f(x)の定積（ていせき）分（ぶん）は常（つね）に0になるという公式（こうしき）です。

\int \{f(x)\}^\alpha f'(x) dx = \frac{1}{\alpha+1} \{f(x)\}^{\alpha+1} + C

Công thức tích phân đổi biến nhanh cho dạng tích của lũy thừa hàm số f(x) và đạo hàm f'(x).

関数（かんすう）f(x)のべき乗（じょう）とその微分（びぶん）f'(x)の積（せき）の形（かたち）に対（たい）する、効率（こうりつ）的（てき）な置換（ちかん）積分（せきぶん）公式（こうしき）です。

EJU 2026 · MATH.20.1

Phương pháp đổi biến số giúp chuyển các tích phân xác định phức tạp về dạng cơ bản bằng cách thay đổi biến và cận tích phân. Nắm vững tính chất của hàm số chẵn và hàm số lẻ giúp bạn đơn giản hóa phép tính tích phân đối xứng.

置換（ちかん）積分（せきぶん）法（ほう）を用（もち）いることで、複雑（ふくざつ）な定（てい）積分（せきぶん）を新（あたら）しい変数（へんすう）と積分（せきぶん）区間（くかん）に変換（へんかん）して簡単（かんたん）に計算（けいさん）できます。偶（たま）関数（かんすう）・奇（き）関数（かんすう）の性質（せいしつ）を理解（りかい）することで、対称（たいしょう）区間（くかん）での定（てい）積分（せきぶん）を迅速（じんそく）に解（と）くことが可能（かのう）になります。

定（てい）積分（せきぶん）の置換（ちかん）積分（せきぶん）法（ほう）
置換積分法偶関数奇関数