Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Đỉnh, tiêu điểm và đường tiệm cận của hyperbol双（そう）曲線（きょくせん）の頂点（ちょうてん）・焦点（しょうてん），漸近（ぜんきん）線（せん）

Công thức公式

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1
y=\pm\frac{b}{a}x
c=\sqrt{a^2+b^2}

Ví dụ例題

Cho phương trình hyperbol \(\frac{x^2}{9}\) - \(\frac{y^2}{16}\) = 1. Hãy tìm tọa độ các đỉnh, tiêu điểm và phương trình các đường tiệm cận.

双（そう）曲線（きょくせん） \(\frac{x^2}{9}\) - \(\frac{y^2}{16}\) = 1 の頂点（ちょうてん），焦点（しょうてん）の座標（ざひょう）および漸近（ぜんきん）線（せん）の方程（ほうてい）式（しき）を求（もと）めなさい。

  1. Xác định \(a^{2} = 9\) suy ra a = 3 và \(b^{2} = 16\) suy ra b = 4. Vì vế phải bằng 1 nên các đỉnh nằm trên trục Ox tại (3, 0) và (-3, 0).\(a^{2} = 9\) より a = 3 ，\(b^{2} = 16\) より b = 4 です。右辺（うへん）が1であるため，頂点（ちょうてん）はx軸（じく）上（じょう）の (3, 0) と (-3, 0) です。
  2. Tính \(c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\). Do đó hai tiêu điểm là (5, 0) và (-5, 0).\(c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5\) を計算（けいさん）します。したがって，焦点（しょうてん）は (5, 0) と (-5, 0) です。
  3. Áp dụng công thức đường tiệm cận y = \(\pm\)\(\frac{b}{a}\)x, ta có y = \(\pm\)\(\frac{4}{3}\)x.漸近（ぜんきん）線（せん）の方程（ほうてい）式（しき）の公式（こうしき） y = \(\pm\)\(\frac{b}{a}\)x より，y = \(\pm\)\(\frac{4}{3}\)x となります。
Các đỉnh là (\(\pm\) 3, 0), các tiêu điểm là (\(\pm\) 5, 0), và các đường tiệm cận là y = \(\pm\)\(\frac{4}{3}\)x.頂点（ちょうてん）は (\(\pm\) 3, 0)，焦点（しょうてん）は (\(\pm\) 5, 0)，漸近（ぜんきん）線（せん）は y = \(\pm\)\(\frac{4}{3}\)x です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho hyperbol \(\frac{x^2}{16}\) - \(\frac{y^2}{9}\) = 1. Tọa độ hai tiêu điểm là gì?双（そう）曲線（きょくせん） \(\frac{x^2}{16}\) - \(\frac{y^2}{9}\) = 1 の2つの焦点（しょうてん）の座標（ざひょう）を求（もと）めなさい。

2. Tìm phương trình các đường tiệm cận của hyperbol \(\frac{x^2}{4}\) - \(\frac{y^2}{9}\) = -1.双（そう）曲線（きょくせん） \(\frac{x^2}{4}\) - \(\frac{y^2}{9}\) = -1 の漸近（ぜんきん）線（せん）の方程（ほうてい）式（しき）を求（もと）めなさい。

3. Cho hyperbol có hai đỉnh là (0, 2) và (0, -2), hai đường tiệm cận là y = \(\pm\) 2x. Phương trình chính quy của hyperbol là gì?頂点（ちょうてん）が (0, 2) と (0, -2) で，漸近（ぜんきん）線（せん）が y = \(\pm\) 2x である双（そう）曲線（きょくせん）の標準（ひょうじゅん）形（けい）を求（もと）めなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.16.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.16.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Trình bày được dạng tổng quát và xác định đỉnh, tiêu điểm, đường tiệm cận của hyperbol.双（そう）曲線（きょくせん）の標準（ひょうじゅん）形（けい）を理解（りかい）し，頂点（ちょうてん），焦点（しょうてん），漸近（ぜんきん）線（せん）を求（もと）めることができる。
  2. Vẽ được hình dạng sơ bộ của hyperbol từ các thành phần đặc trưng.特徴（とくちょう）的（てき）な要素（ようそ）から双（そう）曲線（きょくせん）の概形（がいけい）を描（えが）くことができる。
Trực giác · イメージ

Nhận diện đặc trưng hình học của hyperbol双（そう）曲線（きょくせん）の図形（ずけい）的（てき）特徴（とくちょう）の理解（りかい）

Hyperbol gồm hai nhánh đối xứng mở ra xa tâm. Các đường tiệm cận đóng vai trò làm khung định hướng giúp ta phác thảo đường cong một cách chính xác.

双（そう）曲線（きょくせん）は中心（ちゅうしん）から広（ひろ）がる2つの対称（たいしょう）な曲線（きょくせん）から構成（こうせい）されます。漸近（ぜんきん）線（せん）は曲線（きょくせん）が近（ちか）づく案内（あんない）線（せん）となり，概形（がいけい）を正確（せいかく）に描（えが）く際（さい）の基準（きじゅん）となります。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 双（そう）曲線（きょくせん）hyperbol

    Là tập hợp các điểm có hiệu khoảng cách đến hai điểm cố định (tiêu điểm) là một hàng số. Đường cong gồm hai nhánh riêng biệt đối xứng qua trục.

    2つの定点（ていてん）（焦点（しょうてん））からの距離（きょり）の差（さ）が一定（いってい）である点（てん）の軌跡（きせき）です。軸（じく）に関（かん）して対称（たいしょう）な2つの曲線（きょくせん）からなります。

  • 頂点（ちょうてん）đỉnh

    Là giao điểm của hyperbol với trục đối xứng cắt nó. Hyperbol có hai đỉnh đối xứng nhau qua gốc tọa độ.

    双（そう）曲線（きょくせん）が主軸（しゅじく）と交（まじ）わる点（てん）です。原点（げんてん）に関（かん）して対称（たいしょう）な2つの頂点（ちょうてん）が存在（そんざい）します。

  • 焦点（しょうてん）tiêu điểm

    Là hai điểm cố định dùng để định nghĩa hyperbol. Tọa độ tiêu điểm xác định dựa trên mối quan hệ giữa a và b.

    双（そう）曲線（きょくせん）を定義（ていぎ）する基準（きじゅん）となる2つの定点（ていてん）です。焦点（しょうてん）の座標（ざひょう）はaとbの関係（かんけい）から求（もと）まります。

  • 漸近（ぜんきん）線（せん）đường tiệm cận

    Là hai đường thẳng mà các nhánh của hyperbol tiến đến rất gần khi ra xa gốc tọa độ nhưng không bao giờ cắt.

    双（そう）曲線（きょくせん）のグラフが無限（むげん）遠（えん）で限（かぎ）りなく近（ちか）づく2つの直線（ちょくせん）です。

  • 概形（がいけい）hình dạng sơ bộ

    Là hình vẽ phác thảo của hyperbol dựa trên vị trí các đỉnh, tiêu điểm và hai đường tiệm cận.

    頂点（ちょうてん），焦点（しょうてん），2つの漸近（ぜんきん）線（せん）の位置（いち）関係（かんけい）をもとに描（えが）くグラフの概略（がいりゃく）図（ず）です。

  • 双（そう）曲線（きょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）phương trình hyperbol

    Phương trình chính quy của hyperbol có dạng \(\frac{x^2}{a^2}\)-\(\frac{y^2}{b^2}\)=1 hoặc \(\frac{x^2}{a^2}\)-\(\frac{y^2}{b^2}\)=-1.

    双（そう）曲線（きょくせん）の標準（ひょうじゅん）形（けい）は \(\frac{x^2}{a^2}\)-\(\frac{y^2}{b^2}\)=1 または \(\frac{x^2}{a^2}\)-\(\frac{y^2}{b^2}\)=-1 で表（あらわ）されます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：方程（ほうてい）式（しき）を標準（ひょうじゅん）形（けい）に変形（へんけい）する

    Bước 1: Đưa phương trình về dạng chính quy

    Biến đổi phương trình bậc hai đã cho về dạng \(\frac{x^2}{a^2}\)-\(\frac{y^2}{b^2}\)=1 hoặc \(\frac{x^2}{a^2}\)-\(\frac{y^2}{b^2}\)=-1. Từ đó xác định được hai bán trục a > 0 và b > 0.

    与（あた）えられた2次（じ）方程（ほうてい）式（しき）を \(\frac{x^2}{a^2}\)-\(\frac{y^2}{b^2}\)=1 または \(\frac{x^2}{a^2}\)-\(\frac{y^2}{b^2}\)=-1 の形（かたち）に変形（へんけい）します。これにより a > 0 と b > 0 の値（あたい）を特定（とくてい）します。

  2. 02
    ステップ2：頂点（ちょうてん）と焦点（しょうてん）の座標（ざひょう）を求（もと）める

    Bước 2: Tìm tọa độ đỉnh và tiêu điểm

    Xác định hai đỉnh theo dạng phương trình và tính \(c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) để suy ra tọa độ hai tiêu điểm. Với vế phải bằng 1, đỉnh thuộc trục Ox; vế phải bằng -1, đỉnh thuộc trục Oy.

    方程（ほうてい）式（しき）の形（かたち）に応（おう）じて頂点（ちょうてん）を決定（けってい）し，\(c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) を計算（けいさん）して焦点（しょうてん）の座標（ざひょう）を求（もと）めます。右辺（うへん）が1なら頂点（ちょうてん）はx軸上（じくじょう），-1ならy軸（じく）上（じょう）に位置（いち）します。

  3. 03
    ステップ3：漸近（ぜんきん）線（せん）の方程（ほうてい）式（しき）を求（もと）める

    Bước 3: Xác định hai đường tiệm cận

    Viết phương trình hai đường tiệm cận theo công thức y = \(\pm\)\(\frac{b}{a}\)x. Các đường thẳng này đi qua gốc tọa độ.

    漸近（ぜんきん）線（せん）の方程（ほうてい）式（しき） y = \(\pm\)\(\frac{b}{a}\)x を求（もと）めます。これらの直線（ちょくせん）は原点（げんてん）を通（とお）ります。

  4. 04
    ステップ4：概形（がいけい）を描（えが）く

    Bước 4: Phác thảo hình dạng sơ bộ

    Vẽ các đường tiệm cận và chấm các đỉnh, tiêu điểm lên hệ trục tọa độ. Phác thảo hai nhánh của hyperbol sao cho bám sát các đường tiệm cận.

    座標（ざひょう）平面（へいめん）上（じょう）に漸近（ぜんきん）線（せん）を描（えが）き，頂点（ちょうてん）と焦点（しょうてん）を打（う）ちます。漸近（ぜんきん）線（せん）に沿（そ）うように双（そう）曲線（きょくせん）の2つの枝（えだ）を描（えが）きます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn công thức tính khoảng cách tiêu điểm của hyperbol c=\(\sqrt{a^2+b^2}\) với elip c=\(\sqrt{|a^2-b^2|}\).双（そう）曲線（きょくせん）の焦点（しょうてん）の距離（きょり）の公式（こうしき） c=\(\sqrt{a^2+b^2}\) を，楕円（だえん）の公式（こうしき） c=\(\sqrt{|a^2-b^2|}\) と混同（こんどう）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Đối với hyperbol, tiêu điểm luôn nằm xa tâm hơn đỉnh, do đó \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\).双（そう）曲線（きょくせん）では焦点（しょうてん）は頂点（ちょうてん）よりも中心（ちゅうしん）から遠（とお）い位置（いち）にあるため，常（つね）に \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\) となります。

Nhầm lẫn vị trí của các đỉnh khi vế phải bằng -1.右辺（うへん）が -1 の場合（ばあい）に頂点（ちょうてん）の位置（いち）を誤（あやま）ること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Khi vế phải là -1, hai đỉnh nằm trên trục y tại (0, \(\pm\) b) thay vì trục x.右辺（うへん）が -1 の場合（ばあい），頂点（ちょうてん）はx軸（じく）上（じょう）ではなくy軸（じく）上（じょう）の (0, \(\pm\) b) に存在（そんざい）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Phương trình chính quy \(\frac{x^2}{a^2}\)-\(\frac{y^2}{b^2}\)=1 có đỉnh trên trục Ox, còn \(\frac{x^2}{a^2}\)-\(\frac{y^2}{b^2}\)=-1 có đỉnh trên trục Oy.標準（ひょうじゅん）形（けい） \(\frac{x^2}{a^2}\)-\(\frac{y^2}{b^2}\)=1 はx軸（じく）上（じょう）に頂点（ちょうてん）を持（も）ち，\(\frac{x^2}{a^2}\)-\(\frac{y^2}{b^2}\)=-1 はy軸（じく）上（じょう）に頂点（ちょうてん）を持（も）ちます。
  • Tiêu điểm tính theo công thức \(c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) và nằm trên trục chứa đỉnh.焦点（しょうてん）の距離（きょり）は \(c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) で計算（けいさん）され，頂点（ちょうてん）と同（おな）じ軸（じく）上（じょう）に位置（いち）します。
  • Hai đường tiệm cận y = \(\pm\)\(\frac{b}{a}\)x đóng vai trò là khung hướng dẫn để vẽ hình dạng sơ bộ của hyperbol.2つの漸近（ぜんきん）線（せん） y = \(\pm\)\(\frac{b}{a}\)x は，双（そう）曲線（きょくせん）の概形（がいけい）を描（えが）く際（さい）の案内（あんない）線（せん）となります。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1

Phương trình hyperbol có hai đỉnh nằm trên trục x tại (a, 0) và (-a, 0).

x軸（じく）上（じょう）に頂点（ちょうてん） (a, 0) と (-a, 0) を持（も）つ双曲（そうきょく）線（せん）の標準（ひょうじゅん）形（けい）です。

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1

Phương trình hyperbol có hai đỉnh nằm trên trục y tại (0, b) và (0, -b).

y軸（じく）上（じょう）に頂点（ちょうてん） (0, b) と (0, -b) を持（も）つ双曲（そうきょく）線（せん）の標準（ひょうじゅん）形（けい）です。

y=\pm\frac{b}{a}x

Phương trình của hai đường tiệm cận của hyperbol đi qua gốc tọa độ.

原点（げんてん）を通（とお）る双（そう）曲線（きょくせん）の2つの漸近（ぜんきん）線（せん）の方程（ほうてい）式（しき）です。

c=\sqrt{a^2+b^2}

Công thức tính khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm của hyperbol.

中心（ちゅうしん）から焦点（しょうてん）までの距離（きょり）を求（もと）める公式（こうしき）です。

EJU 2026 · MATH.16.1

Bài học này giúp bạn nắm vững cách xác định đỉnh, tiêu điểm và đường tiệm cận của hyperbol. Qua đó, bạn có thể phác thảo hình dạng sơ bộ của hyperbol một cách chính xác.

本課（ほんか）では，双（そう）曲線（きょくせん）の頂点（ちょうてん），焦点（しょうてん），漸近（ぜんきん）線（せん）を正確（せいかく）に求（もと）める方法（ほうほう）を学（まな）びます。これにより，双（そう）曲線（きょくせん）の概形（がいけい）を正（ただ）しく描（えが）くことができるようになります。

双（そう）曲線（きょくせん）の頂点（ちょうてん）・焦点（しょうてん），漸近（ぜんきん）線（せん）
双曲線頂点焦点漸近線