Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Phương trình hyperbol双（そう）曲線（きょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）

Công thức公式

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1
b=\sqrt{c^2-a^2}
y=\pm\frac{b}{a}x

Ví dụ例題

Cho hyperbol có phương trình dạng chuẩn \(\frac{x^2}{4}\)-\(\frac{y^2}{3}\)=1. Tìm tọa độ các tiêu điểm và phương trình đường tiệm cận.

標準（ひょうじゅん）形（けい）の方程（ほうてい）式（しき） \(\frac{x^2}{4}\)-\(\frac{y^2}{3}\)=1 で表（あらわ）される双（そう）曲線（きょくせん）があります。焦点（しょうてん）の座標（ざひょう）と漸近（ぜんきん）線（せん）の方程（ほうてい）式（しき）を求（もと）めなさい。

  1. Nhận thấy phương trình có vế phải bằng 1 nên \(a^{2} = 4\) (suy ra a=2) và \(b^{2} = 3\).右辺（うへん）が 1 であることから、\(a^{2} = 4\)（a=2）および \(b^{2} = 3\) であることがわかります。
  2. Từ công thức \(b = \sqrt{c^{2} - a^{2}}\), ta có \(b^{2} = c^{2} - a^{2}\) nên \(c^{2} = a^{2} + b^{2} = 4 + 3 = 7\), suy ra \(c = \sqrt{7}\).公式（こうしき） \(b = \sqrt{c^{2} - a^{2}}\) より \(b^{2} = c^{2} - a^{2}\) となり、\(c^{2} = a^{2} + b^{2} = 4 + 3 = 7\)、すなわち \(c = \sqrt{7}\) が得（え）られます。
  3. Do hai đỉnh nằm trên trục x nên hai tiêu điểm có tọa độ là (-\(\sqrt{7}\), 0) và (\(\sqrt{7}\), 0).頂点（ちょうてん）が x 軸（じく）上（じょう）にあるため、2 つの焦点（しょうてん）の座標（ざひょう）は (-\(\sqrt{7}\), 0) および (\(\sqrt{7}\), 0) となります。
  4. Thay a=2 và b=\(\sqrt{3}\) vào công thức tiệm cận y=\(\pm\)\(\frac{b}{a}\)x ta được y=\(\pm\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)x.a=2 と b=\(\sqrt{3}\) を漸近（ぜんきん）線（せん）の公式（こうしき） y=\(\pm\)\(\frac{b}{a}\)x に代入（だいにゅう）すると y=\(\pm\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)x となります。
Vậy hai tiêu điểm là (\(\pm\)\(\sqrt{7}\), 0) và phương trình tiệm cận là y=\(\pm\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)x.したがって、焦点（しょうてん）は (\(\pm\)\(\sqrt{7}\), 0) であり、漸近（ぜんきん）線（せん）は y=\(\pm\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)x です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho hyperbol có phương trình dạng chuẩn \(\frac{x^2}{4}\)-\(\frac{y^2}{9}\)=1. Phương trình đường tiệm cận của hyperbol này là gì?標準（ひょうじゅん）形（けい）方程（ほうてい）式（しき） \(\frac{x^2}{4}\)-\(\frac{y^2}{9}\)=1 で表（あらわ）される双（そう）曲線（きょくせん）の漸近（ぜんきん）線（せん）の方程（ほうてい）式（しき）はどれですか。

2. Cho hyperbol có phương trình dạng chuẩn \(\frac{x^2}{9}\)-\(\frac{y^2}{16}\)=1. Khoảng cách c từ tâm đến tiêu điểm thỏa mãn b=\(\sqrt{c^2-a^2}\). Giá trị của c bằng bao nhiêu?標準（ひょうじゅん）形（けい）方程（ほうてい）式（しき） \(\frac{x^2}{9}\)-\(\frac{y^2}{16}\)=1 の双（そう）曲線（きょくせん）において、中心（ちゅうしん）から焦点（しょうてん）までの距離（きょり） c は b=\(\sqrt{c^2-a^2}\) を満（み）たします。c の値（あたい）はいくらですか。

3. Phương trình dạng chuẩn nào sau đây mô tả hyperbol có hai đỉnh nằm trên trục y?y 軸（じく）上（じょう）に 2 つの頂点（ちょうてん）を持（も）つ双曲（そうきょく）線（せん）をあらわす標準（ひょうじゅん）形（けい）方程（ほうてい）式（しき）はどれですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.16.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.16.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nắm vững hai dạng chuẩn của phương trình hyperbol.双（そう）曲線（きょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）の 2 つの標準（ひょうじゅん）形（けい）をマスターする。
  2. Xác định tọa độ tiêu điểm và phương trình đường tiệm cận.焦点（しょうてん）の座標（ざひょう）と漸近（ぜんきん）線（せん）の方程（ほうてい）式（しき）を正確（せいかく）に求（もと）める。
Trực giác · イメージ

Hình dạng và tính chất đối xứng của hyperbol双（そう）曲線（きょくせん）の形状（けいじょう）と対称（たいしょう）性（せい）の直感（ちょっかん）

Hyperbol gồm hai nhánh đối xứng qua tâm và nằm trong các góc tạo bởi hai đường tiệm cận. Khoảng cách giữa các tiêu điểm và đỉnh được liên kết chặt chẽ qua công thức chuẩn.

双（そう）曲線（きょくせん）は中心（ちゅうしん）に関（かん）して対称（たいしょう）な 2 つの直線（ちょくせん）状（じょう）の枝（えだ）からなり、漸近（ぜんきん）線（せん）に挟（はさ）まれた領域（りょういき）に存在（そんざい）します。焦点（しょうてん）や頂点（ちょうてん）間（かん）の距離（きょり）は標準（ひょうじゅん）公式（こうしき）によって密接（みっせつ）に関連（かんれん）付（つ）けられています。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 双（そう）曲線（きょくせん）hyperbol

    Tập hợp các điểm có hiệu khoảng cách đến hai điểm cố định (tiêu điểm) là một giá trị không đổi.

    2 つの定点（ていてん）（焦点（しょうてん））からの距離（きょり）の差（さ）が一定（いってい）である点（てん）の集合（しゅうごう）です。

  • 焦点（しょうてん）tiêu điểm

    Hai điểm cố định dùng để định nghĩa hình hyperbol.

    双（そう）曲線（きょくせん）を定義（ていぎ）するための 2 つの定点（ていてん）です。

  • 中心（ちゅうしん）tâm

    Trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm, đóng vai trò là tâm đối xứng của hyperbol.

    2 つの焦点（しょうてん）を結（むす）ぶ線分（せんぶん）の中点（ちゅうてん）であり、双（そう）曲線（きょくせん）の対称（たいしょう）の中心（ちゅうしん）です。

  • 頂点（ちょうてん）đỉnh

    Các giao điểm của hyperbol với trục tọa độ chứa hai tiêu điểm.

    焦点（しょうてん）を含（ふく）む座標（ざひょう）軸（じく）と双（そう）曲線（きょくせん）との交点（こうてん）です。

  • 主軸（しゅじく）trục chính

    Đoạn thẳng nối hai đỉnh của hyperbol.

    双（そう）曲線（きょくせん）の 2 つの頂点（ちょうてん）を結（むす）ぶ線分（せんぶん）です。

  • 標準（ひょうじゅん）形（けい）dạng chuẩn

    Dạng phương trình đơn giản nhất của hyperbol khi tâm nằm tại gốc tọa độ.

    原点（げんてん）を中心（ちゅうしん）とする場合（ばあい）の最（もっと）も簡単（かんたん）な双（そう）曲線（きょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）の形式（けいしき）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    双（そう）曲線（きょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）の 2 つの標準（ひょうじゅん）形（けい）の識別（しきべつ）

    Phân biệt hai dạng chuẩn của phương trình hyperbol

    Dạng vế phải bằng 1 có các đỉnh nằm trên trục x. Dạng vế phải bằng -1 có các đỉnh nằm trên trục y.

    右辺（うへん）が 1 の形式（けいしき）は x 軸（じく）上（じょう）に頂点（ちょうてん）を持（も）ちます。右辺（うへん）が -1 の形式（けいしき）は y 軸（じく）上（じょう）に頂点（ちょうてん）を持（も）ちます。

  2. 02
    頂点（ちょうてん）の座標（ざひょう）と対称（たいしょう）中心（ちゅうしん）の特定（とくてい）

    Xác định tọa độ các đỉnh và tâm đối xứng

    Tâm đối xứng nằm tại gốc tọa độ (0,0). Các đỉnh có tọa độ là (+-a, 0) hoặc (0, +-b) tùy theo dạng chuẩn.

    対称（たいしょう）の中心（ちゅうしん）は原点（げんてん） (0,0) にあります。頂点（ちょうてん）の座標（ざひょう）は標準（ひょうじゅん）形（けい）に応（おう）じて (+-a, 0) または (0, +-b) となります。

  3. 03
    関係（かんけい）式（しき）を用（もち）いた焦点（しょうてん）座標（ざひょう）の計算（けいさん）

    Tính tọa độ tiêu điểm qua công thức liên hệ

    Sử dụng công thức \(b = \sqrt{c^{2} - a^{2}}\) để tìm c. Tọa độ tiêu điểm tương ứng là (+-c, 0) hoặc (0, +-c).

    公式（こうしき） \(b = \sqrt{c^{2} - a^{2}}\) を用（もち）いて c を求（もと）めます。対応（たいおう）する焦点（しょうてん）座標（ざひょう）は (+-c, 0) または (0, +-c) です。

  4. 04
    2 つの漸近（ぜんきん）線（せん）の方程（ほうてい）式（しき）の導出（どうしゅつ）

    Lập phương trình hai đường tiệm cận

    Hai đường tiệm cận của hyperbol luôn có phương trình dạng y=\(\pm\)\(\frac{b}{a}\)x. Chúng cắt nhau tại tâm đối xứng.

    双（そう）曲線（きょくせん）の 2 つの漸近（ぜんきん）線（せん）は常（つね）に y=\(\pm\)\(\frac{b}{a}\)x の形（かたち）になります。これらは対称（たいしょう）の中心（ちゅうしん）で交（まじ）わります。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn mối quan hệ giữa a, b, c của hyperbol \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\) với của elip \(a^{2} = b^{2} + c^{2}\).双（そう）曲線（きょくせん）の a, b, c の関係（かんけい）式（しき） \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\) を楕円（だえん）の \(a^{2} = b^{2} + c^{2}\) と混同（こんどう）してしまう誤（あやま）り。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Đối với hyperbol, tiêu điểm nằm ngoài các đỉnh nên c luôn lớn hơn a, do đó \(b = \sqrt{c^{2} - a^{2}}\) hay \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\).双（そう）曲線（きょくせん）では焦点（しょうてん）が頂点（ちょうてん）の外側（そとがわ）にあるため常（つね）に c > a であり、\(b = \sqrt{c^{2} - a^{2}}\) すなわち \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\) となります。

Xác định sai trục chứa tiêu điểm khi vế phải của phương trình là -1.方程（ほうてい）式（しき）の右辺（うへん）が -1 のときに焦点（しょうてん）が存在（そんざい）する軸（じく）を誤認（ごにん）してしまう誤（あやま）り。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Khi vế phải bằng -1, hai đỉnh và hai tiêu điểm nằm trên trục y thay vì trục x.右辺（うへん）が -1 の場合（ばあい）、頂点（ちょうてん）と焦点（しょうてん）は x 軸（じく）ではなく y 軸（じく）上（じょう）に存在（そんざい）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Phương trình dạng chuẩn của hyperbol phụ thuộc vào việc vế phải bằng 1 hay -1.双（そう）曲線（きょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）の標準（ひょうじゅん）形（けい）は右辺（うへん）が 1 か -1 かによって決（き）まります。
  • Khoảng cách tiêu điểm c được tính qua công thức \(b = \sqrt{c^{2} - a^{2}}\) hay \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\).焦点（しょうてん）距離（きょり） c は公式（こうしき） \(b = \sqrt{c^{2} - a^{2}}\) 即（すなわ）ち \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\) を用（もち）いて計算（けいさん）されます。
  • Hai đường tiệm cận của hyperbol dạng chuẩn có phương trình y=\(\pm\)\(\frac{b}{a}\)x.標準（ひょうじゅん）形（けい）の双（そう）曲線（きょくせん）の 2 つの漸近（ぜんきん）線（せん）は y=\(\pm\)\(\frac{b}{a}\)x で表（あらわ）されます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1

Phương trình dạng chuẩn của hyperbol có hai đỉnh trên trục x.

x 軸（じく）上（じょう）に 2 つの頂点（ちょうてん）を持（も）つ双曲（そうきょく）線（せん）の標準（ひょうじゅん）形（けい）方程（ほうてい）式（しき）です。

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1

Phương trình dạng chuẩn của hyperbol có hai đỉnh trên trục y.

y 軸（じく）上（じょう）に 2 つの頂点（ちょうてん）を持（も）つ双曲（そうきょく）線（せん）の標準（ひょうじゅん）形（けい）方程（ほうてい）式（しき）です。

b=\sqrt{c^2-a^2}

Mối quan hệ giữa khoảng cách tiêu điểm c với các bán trục a và b.

焦点（しょうてん）距離（きょり） c と半（はん）軸（じく）長（ちょう） a, b との間（あいだ）の関係（かんけい）式（しき）です。

y=\pm\frac{b}{a}x

Phương trình các đường tiệm cận của hyperbol dạng chuẩn.

標準（ひょうじゅん）形（けい）の双（そう）曲線（きょくせん）における漸近（ぜんきん）線（せん）の方程（ほうてい）式（しき）です。

EJU 2026 · MATH.16.1

Bài học này giới thiệu phương trình hyperbol ở dạng chuẩn và các yếu tố hình học liên quan như tiêu điểm, đỉnh và tiệm cận. Bạn sẽ học cách xác định mối quan hệ giữa các hệ số và vẽ đường tiệm cận.

このレッスンでは、双（そう）曲線（きょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）の標準（ひょうじゅん）形（けい）と、焦点（しょうてん）、頂点（ちょうてん）、漸近（ぜんきん）線（せん）などの幾何（きか）学（がく）的（てき）要素（ようそ）を解説（かいせつ）します。係数（けいすう）間（かん）の関係（かんけい）性（せい）を理解（りかい）し、漸近（ぜんきん）線（せん）を導出（どうしゅつ）する方法（ほうほう）を学（まな）びます。

双（そう）曲線（きょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）
双曲線焦点中心頂点