Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Quỹ tích và hyperbol軌跡（きせき）と双（そう）曲線（きょくせん）

Công thức公式

xy=2
y=\frac{2}{x}
ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0
F(x-a, y-b)=0

Ví dụ例題

Cho hyperbol vuông có phương trình xy=2. Tìm phương trình quỹ tích thu được khi tịnh tiến đồ thị này sang phải 1 đơn vị và lên trên 3 đơn vị.

直角（ちょっかく）双（そう）曲線（きょくせん） xy=2 を x 軸（じく）方向（ほうこう）に 1，y 軸（じく）方向（ほうこう）に 3 だけ平行（へいこう）移動（いどう）して得（え）られる軌跡（きせき）の方程（ほうてい）式（しき）を求（もと）めなさい。

  1. Phương trình ban đầu của đường cong là F(x, y) = xy - 2 = 0.元（もと）の曲線（きょくせん）の表式（ひょうしき）は F(x, y) = xy - 2 = 0 です。
  2. Áp dụng công thức phép tịnh tiến F(x-a, y-b)=0 với a=1 và b=3, ta thay x bằng x-1 và y bằng y-3.平行（へいこう）移動（いどう）の公式（こうしき） F(x-a, y-b)=0 を a=1, b=3 に適用（てきよう）し，x を x-a に，y を y-b に置き換（おきか）えます。
  3. Ta có phương trình mới là (x-1)(y-3) = 2. Khai triển ta được xy - 3x - y + 3 = 2, hay xy - 3x - y + 1 = 0.新（あたら）しい方程（ほうてい）式（しき）は (x-1)(y-3) = 2 となります。展開（てんかい）すると xy - 3x - y + 3 = 2 ，すなわち xy - 3x - y + 1 = 0 です。
Phương trình quỹ tích sau khi tịnh tiến là (x-1)(y-3) = 2 (hoặc xy - 3x - y + 1 = 0).平行（へいこう）移動（いどう）後（ご）の軌跡（きせき）の方程（ほうてい）式（しき）は (x-1)(y-3) = 2 （または xy - 3x - y + 1 = 0）です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Đồ thị hàm số y=\(\frac{2}{x}\) là dạng hình học nào dưới đây?関数（かんすう） y=\(\frac{2}{x}\) のグラフは以下（いか）のどの図形（ずけい）ですか。

2. Khi tịnh tiến đồ thị xy=2 sang trái 2 đơn vị và xuống dưới 1 đơn vị, phương trình quỹ tích mới thu được là gì?双（そう）曲線（きょくせん） xy=2 を x 軸（じく）方向（ほうこう）に -2，y 軸（じく）方向（ほうこう）に -1 だけ平行（へいこう）移動（いどう）した軌跡（きせき）の方程（ほうてい）式（しき）を求（もと）めなさい。

3. Phương trình \(ax^{2} + bxy + cy^{2} + dx + ey + f = 0\) biểu diễn đối tượng toán học nào?方程（ほうてい）式（しき） \(ax^{2} + bxy + cy^{2} + dx + ey + f = 0\) はどの数学（すうがく）的（てき）対象（たいしょう）を表（あらわ）しますか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.16.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.16.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nhận biết đồ thị tỉ lệ nghịch là hyperbol vuông và mối liên hệ với phương trình đường bậc hai.反（はん）比例（ひれい）のグラフが直角（ちょっかく）双曲（そうきょく）線（せん）であることを理解（りかい）し，2次（じ）曲線（きょくせん）との関係（かんけい）を把握（はあく）する。
  2. Sử dụng phép tịnh tiến F(x-a, y-b)=0 để tìm phương trình quỹ tích sau khi di chuyển.平行（へいこう）移動（いどう）の公式（こうしき） F(x-a, y-b)=0 を用（もち）いて，移動（いどう）後（ご）の軌跡（きせき）の方程（ほうてい）式（しき）を求（もと）めることができる。
Trực giác · イメージ

Đồ thị tỉ lệ nghịch và sự tịnh tiến hình học反（はん）比例（ひれい）のグラフと図形（ずけい）の平行（へいこう）移動（いどう）

Đồ thị hàm số tỉ lệ nghịch như y=\(\frac{2}{x}\) thực chất là một hyperbol vuông có các trục tiệm cận trùng với trục tọa độ. Khi tịnh tiến đường cong này, ta thu được phương trình dạng F(x-a, y-b)=0.

y=\(\frac{2}{x}\) のような反（はん）比例（ひれい）のグラフは，座標（ざひょう）軸（じく）を漸近（ぜんきん）線（せん）とする直角（ちょっかく）双曲（そうきょく）線（せん）です。この曲線（きょくせん）を平行（へいこう）移動（いどう）することで，F(x-a, y-b)=0 の形（かたち）の方程（ほうてい）式（しき）が得（え）られます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 軌跡（きせき）quỹ tích

    Là tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn một điều kiện hình học hoặc một phương trình đại số nhất định.

    特定（とくてい）の図形（ずけい）的（てき）条件（じょうけん）や代数（だいすう）方程（ほうてい）式（しき）を満（み）たすすべての点（てん）の集合（しゅうごう）です。

  • 双（そう）曲線（きょくせん）hyperbol

    Đường cong gồm hai nhánh đối xứng, xuất hiện khi biểu diễn các quan hệ bậc hai hoặc tỉ lệ nghịch.

    2次（つぎ）の関係（かんけい）式（しき）や反（はん）比例（ひれい）を表（あらわ）す際（さい）に現（あらわ）れる，2つの対称（たいしょう）な枝（えだ）を持（も）つ曲線（きょくせん）です。

  • 反（はん）比例（ひれい）のグラフđồ thị tỉ lệ nghịch

    Là đồ thị biểu diễn hàm số y=\(\frac{k}{x}\) (k \(\neq\) 0), có hai trục tọa độ là các đường tiệm cận.

    関数（かんすう） y=\(\frac{k}{x}\) (k \(\neq\) 0) を表（あらわ）すグラフであり，座標（ざひょう）軸（じく）を漸近（ぜんきん）線（せん）として持（も）ちます。

  • 直角（ちょっかく）双（そう）曲線（きょくせん）hyperbol vuông

    Là hyperbol có hai đường tiệm cận vuông góc với nhau, ví dụ như hai trục tọa độ x và y.

    2つの漸近（ぜんきん）線（せん）が直交（ちょっこう）している双（そう）曲線（きょくせん）であり，座標（ざひょう）軸（じく）そのものを漸近（ぜんきん）線（せん）とするものが代表（だいひょう）例（れい）です。

  • 2次（じ）曲線（きょくせん）đường bậc hai

    Là các đường cong được biểu diễn bởi phương trình bậc hai hai ẩn x và y.

    x と y の2次（じ）方程（ほうてい）式（しき）によって表（あらわ）される平面（へいめん）曲線（きょくせん）です。

  • 一般（いっぱん）の2次（じ）方程（ほうてい）式（しき）phương trình bậc hai tổng quát

    Phương trình có dạng \(ax^{2} + bxy + cy^{2} + dx + ey + f = 0\), mô tả tổng quát các đường bậc hai trên mặt phẳng.

    平面（へいめん）上（じょう）の2次（じ）曲線（きょくせん）を一般（いっぱん）的（てき）に記述（きじゅつ）する \(ax^{2} + bxy + cy^{2} + dx + ey + f = 0\) の形（かたち）の方程（ほうてい）式（しき）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：反（はん）比例（ひれい）のグラフを積（せき）の形（かたち）に表（あらわ）す

    Bước 1: Biểu diễn đồ thị tỉ lệ nghịch dưới dạng tích

    Chuyển phương trình y=\(\frac{2}{x}\) về dạng tích xy=2. Phương trình này xác định một hyperbol vuông có các đường tiệm cận là trục Ox và Oy.

    方程（ほうてい）式（しき） y=\(\frac{2}{x}\) を積（せき）の形（かたち） xy=2 に変形（へんけい）します。この方程（ほうてい）式（しき）は座標（ざひょう）軸（じく）を漸近（ぜんきん）線（せん）とする直角（ちょっかく）双（そう）曲線（きょくせん）を記述（きじゅつ）する基礎（きそ）となります。

  2. 02
    ステップ2：一般（いっぱん）の2次（じ）方程（ほうてい）式（しき）の形（かたち）を確認（かくにん）する

    Bước 2: Nhận diện phương trình bậc hai tổng quát

    Phương trình \(ax^{2} + bxy + cy^{2} + dx + ey + f = 0\) bao gồm số hạng xy, cho thấy đường cong có thể là đường tiệm cận xiên hoặc bị xoay.

    一般（いっぱん）の2次（じ）方程（ほうてい）式（しき） \(ax^{2} + bxy + cy^{2} + dx + ey + f = 0\) には xy 項（こう）が含（ふく）まれることがあり，斜（なな）めの漸近（ぜんきん）線（せん）や回転（かいてん）した曲線（きょくせん）を表（あらわ）します。

  3. 03
    ステップ3：平行（へいこう）移動（いどう）の公式（こうしき）を適用（てきよう）する

    Bước 3: Áp dụng công thức phép tịnh tiến

    Khi tịnh tiến đường cong F(x, y)=0 theo vectơ (a, b), ta thay x bởi x-a và y bởi y-b để được F(x-a, y-b)=0.

    曲線（きょくせん） F(x, y)=0 をベクトル (a, b) だけ平行（へいこう）移動（いどう）するとき，x を x-a に，y を y-b に置き換（おきか）えて F(x-a, y-b)=0 とします。

  4. 04
    ステップ4：整理（せいり）して新（あたら）しい軌跡（きせき）の方程（ほうてい）式（しき）を求（もと）める

    Bước 4: Biến đổi và xác định phương trình quỹ tích mới

    Khai triển và thu gọn phương trình thu được để viết quỹ tích dưới dạng bậc hai hoặc dạng hàm số đơn giản.

    得（え）られた方程（ほうてい）式（しき）を展開（てんかい）・整理（せいり）し，新（あたら）しい軌跡（きせき）の方程（ほうてい）式（しき）を明示（めいじ）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Dùng sai dấu trong công thức tịnh tiến, ví dụ thay x bằng x+a thay vì x-a.平行（へいこう）移動（いどう）の公式（こうしき）で符号（ふごう）を間違（まちが）え，x-a の代（か）わりに x+a と置換（ちかん）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Theo công thức F(x-a, y-b)=0, khi tịnh tiến sang phải a đơn vị thì phải thay x bằng x-a.公式（こうしき） F(x-a, y-b)=0 に従（したが）い，x 軸（じく）正（せい）の方向（ほうこう）に a 移動（いどう）する場合（ばあい）は x を x-a に置き換（おきか）えます。

Nhầm lẫn rằng đồ thị y=\(\frac{2}{x}\) không phải là một hyperbol.グラフ y=\(\frac{2}{x}\) が双（そう）曲線（きょくせん）ではないと誤解（ごかい）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Đồ thị y=\(\frac{2}{x}\) chính là một hyperbol vuông có các đường tiệm cận là trục Ox và Oy.グラフ y=\(\frac{2}{x}\) は座標（ざひょう）軸（じく）を漸近（ぜんきん）線（せん）とする直角（ちょっかく）双曲（そうきょく）線（せん）そのものです。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Đồ thị tỉ lệ nghịch y=\(\frac{2}{x}\) (hay xy=2) là một ví dụ điển hình của hyperbol vuông.反（はん）比例（ひれい）のグラフ y=\(\frac{2}{x}\) （または xy=2）は直角（ちょっかく）双（そう）曲線（きょくせん）の代表（だいひょう）例（れい）です。
  • Phép tịnh tiến đường cong F(x,y)=0 sang vị trí mới được thực hiện bằng cách thay x thành x-a và y thành y-b.曲線（きょくせん） F(x,y)=0 の平行（へいこう）移動（いどう）は，x を x-a に，y を y-b に置き換（おきか）えることによって行（おこな）います。
  • Phương trình bậc hai tổng quát \(ax^{2} + bxy + cy^{2} + dx + ey + f = 0\) bao gồm cả các hyperbol vuông đã qua biến đổi hình học.一般（いっぱん）の2次（じ）方程（ほうてい）式（しき） \(ax^{2} + bxy + cy^{2} + dx + ey + f = 0\) は，幾何（きか）学（がく）的（てき）変換（へんかん）を受（う）けた直角（ちょっかく）双（そう）曲線（きょくせん）を含（ふく）みます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

xy=2

Phương trình hyperbol vuông biểu diễn quan hệ tỉ lệ nghịch với các tiệm cận là x=0 và y=0.

x=0 と y=0 を漸近（ぜんきん）線（せん）とする直角（ちょっかく）双（そう）曲線（きょくせん）の積（せき）の形式（けいしき）です。

y=\frac{2}{x}

Dạng hàm số của đồ thị tỉ lệ nghịch xác định hyperbol vuông.

直角（ちょっかく）双（そう）曲線（きょくせん）を表（あらわ）す反（はん）比例（ひれい）の関数（かんすう）形式（けいしき）です。

ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0

Dạng phương trình bậc hai tổng quát biểu diễn các đường bậc hai bao gồm hyperbol.

双（そう）曲線（きょくせん）を含（ふく）む2次（じ）曲線（きょくせん）を一般（いっぱん）的（てき）に表（あらわ）す2次（じ）方程（ほうてい）式（しき）です。

F(x-a, y-b)=0

Công thức tịnh tiến hình học của đường cong F(x,y)=0 song song với các trục tọa độ theo vectơ (a, b).

曲線（きょくせん） F(x,y)=0 を x 軸（じく）方向（ほうこう）に a，y 軸（じく）方向（ほうこう）に b だけ平行（へいこう）移動（いどう）した方程（ほうてい）式（しき）です。

EJU 2026 · MATH.16.1

Bài học này giúp bạn hiểu mối liên hệ giữa quỹ tích, đồ thị tỉ lệ nghịch và hyperbol vuông. Ngoài ra, bạn cũng nắm vững cách sử dụng phép tịnh tiến đối với phương trình đường bậc hai.

本課（ほんか）では，軌跡（きせき），反（はん）比例（ひれい）のグラフ，直角（ちょっかく）双（そう）曲線（きょくせん）の関係（かんけい）を理解（りかい）します。また，2次（じ）曲線（きょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）における平行（へいこう）移動（いどう）の扱（あつか）い方（かた）をマスターします。

軌跡（きせき）と双（そう）曲線（きょくせん）
軌跡双曲線反比例のグラフ直角双曲線