Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Đỉnh, tiêu điểm và hình dạng của elip楕円（だえん）の頂点（ちょうてん）・焦点（しょうてん）と概形（がいけい）

Công thức公式

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
c=\sqrt{a^2-b^2}
c=\sqrt{b^2-a^2}

Ví dụ例題

Cho elip có phương trình \(\frac{x^2}{9}\) + \(\frac{y^2}{25}\) = 1. Tìm các đỉnh, tọa độ tiêu điểm và độ dài trục lớn, trục bé của elip.

楕円（だえん） \(\frac{x^2}{9}\) + \(\frac{y^2}{25}\) = 1 について、各（かく）頂点（ちょうてん）、焦点（しょうてん）の座標（ざひょう）、および長軸（ちょうじく）・短軸（たんじく）の長（なが）さを求（もと）めなさい。

  1. Từ phương trình ta có a = 3 và b = 5. Bốn đỉnh của elip là (3, 0), (-3, 0), (0, 5) và (0, -5).方程（ほうてい）式（しき）より a = 3, b = 5 です。楕円（だえん）の4頂点（ちょうてん）は (3, 0), (-3, 0), (0, 5), (0, -5) となります。
  2. Do b = 5 > a = 3 nên trục lớn nằm trên trục y. Độ dài trục lớn là 2b = 10 và độ dài trục bé là 2a = 6.b = 5 > a = 3 より長軸（ちょうじく）はy軸（じく）上（じょう）にあります。長軸（ちょうじく）の長（なが）さは 2b = 10、短軸（たんじく）の長（なが）さは 2a = 6 です。
  3. Vì b > a, tính c theo công thức \(c = \sqrt{b^{2} - a^{2}} = \sqrt{25 - 9} = 4\). Hai tiêu điểm nằm trên trục y là (0, 4) và (0, -4).b > a より \(c = \sqrt{b^{2} - a^{2}} = \sqrt{25 - 9} = 4\) です。2つの焦点（しょうてん）はy軸（じく）上（じょう）にあり (0, 4) および (0, -4) となります。
Elip có các đỉnh (\(\pm\) 3, 0), (0, \(\pm\) 5), hai tiêu điểm (0, \(\pm\) 4), trục lớn bằng 10 và trục bé bằng 6.楕円（だえん）の頂点（ちょうてん）は (\(\pm\) 3, 0), (0, \(\pm\) 5)、焦点（しょうてん）は (0, \(\pm\) 4)、長軸（ちょうじく）の長（なが）さは10、短軸（たんじく）の長（なが）さは6です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho elip \(\frac{x^2}{16}\) + \(\frac{y^2}{25}\) = 1. Tọa độ các tiêu điểm của elip này là gì?楕円（だえん） \(\frac{x^2}{16}\) + \(\frac{y^2}{25}\) = 1 の焦点（しょうてん）を求（もと）めなさい。

2. Cho elip \(\frac{x^2}{36}\) + \(\frac{y^2}{20}\) = 1. Độ dài trục lớn và độ dài trục bé của elip lần lượt là bao nhiêu?楕円（だえん） \(\frac{x^2}{36}\) + \(\frac{y^2}{20}\) = 1 の長軸（ちょうじく）の長（なが）さと短軸（たんじく）の長（なが）さはそれぞれいくらですか。

3. Elip \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 có các đỉnh trên trục tung là (0, 4) và (0, -4), các tiêu điểm là (3, 0) và (-3, 0). Phương trình elip là gì?y軸（じく）上（じょう）の頂点（ちょうてん）が (0, 4), (0, -4) であり、焦点（しょうてん）が (3, 0), (-3, 0) である楕円（だえん）の方程（ほうてい）式（しき）を求（もと）めなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.16.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.16.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Xác định tọa độ 4 đỉnh và độ dài trục lớn, trục bé của elip từ phương trình.方程（ほうてい）式（しき）から楕円（だえん）の4頂点（ちょうてん）の座標（ざひょう）および長軸（ちょうじく）・短軸（たんじく）の長（なが）さを特定（とくてい）する。
  2. Phân biệt hai trường hợp elip nằm ngang (a > b) và elip đứng (b > a) để tìm tiêu điểm c.焦点（しょうてん）cを求（もと）めるために、横長（よこなが）の楕円（だえん）(a > b)と縦長（たてなが）の楕円（だえん）(b > a)の2つの場合（ばあい）を識別（しきべつ）する。
  3. Phác thảo chính xác hình dạng sơ bộ của elip dựa trên các đỉnh và tiêu điểm.頂点（ちょうてん）と焦点（しょうてん）に基（もと）づいて楕円（だえん）の概形（がいけい）を正確（せいかく）に描画（びょうが）する。
Trực giác · イメージ

Hình dạng và định hướng của elip楕円（だえん）の形状（けいじょう）と向（む）きの直感（ちょっかん）

Hình dạng của elip phụ thuộc vào việc trục lớn dãn theo hướng nào. Khi a > b elip kéo dài theo trục x, còn khi b > a elip kéo dài theo trục y với tiêu điểm luôn nằm trên trục dài hơn.

楕円（だえん）の形状（けいじょう）はどちらの軸（じく）方向（ほうこう）に伸（の）びているかによって決（き）まります。a > b のときx軸（じく）方向（ほうこう）に、b > a のときy軸（じく）方向（ほうこう）に伸（の）び、焦点（しょうてん）は常（つね）に長（なが）い方（ほう）の軸（じく）上（じょう）に位置（いち）します。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 楕円（だえん）elip

    Đường cong đối xứng nhận gốc tọa độ làm tâm và các trục tọa độ làm trục đối xứng.

    原点（げんてん）を中心（ちゅうしん）とし、座標（ざひょう）軸（じく）に対称（たいしょう）な曲線（きょくせん）。

  • 頂点（ちょうてん）đỉnh

    Các giao điểm của elip với các trục tọa độ, gồm 4 điểm đối xứng qua tâm.

    楕円（だえん）と座標（ざひょう）軸（じく）との交点（こうてん）であり、中心（ちゅうしん）に関（かん）して対称（たいしょう）な4つの点（てん）。

  • 焦点（しょうてん）tiêu điểm

    Hai điểm cố định nằm trên trục lớn, có khoảng cách đến tâm thỏa mãn công thức tính c.

    長軸（ちょうじく）上（じょう）に位置（いち）する2つの定点（ていてん）であり、中心（ちゅうしん）からの距離（きょり）はcの計算（けいさん）公式（こうしき）を満（み）たします。

  • 長軸（ちょうじく）trục lớn

    Trục đối xứng dài hơn của elip, chứa hai tiêu điểm và có độ dài bằng 2 lần bán trục tương ứng.

    楕円（だえん）の長（なが）い方（ほう）の対称（たいしょう）軸（じく）であり、2焦点（しょうてん）を含（ふく）み、対応（たいおう）する半（はん）軸（じく）の2倍（ばい）の長（なが）さを持（も）ちます。

  • 短軸（たんじく）trục bé

    Trục đối xứng ngắn hơn của elip, vuông góc với trục lớn tại tâm.

    楕円（だえん）の短（みじか）い方（ほう）の対称（たいしょう）軸（じく）であり、中心（ちゅうしん）で長軸（ちょうじく）と直交（ちょっこう）します。

  • 概形（がいけい）hình dạng sơ bộ

    Hình vẽ phác thảo elip hiển thị rõ các đỉnh, tiêu điểm và chiều hướng dãn của đồ thị.

    頂点（ちょうてん）、焦点（しょうてん）、およびグラフの伸（の）びる方向（ほうこう）を明確（めいかく）に示（しめ）した楕円（だえん）のスケッチ。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    方程（ほうてい）式（しき）からのaとbの特定（とくてい）

    Xác định a và b từ phương trình

    Đưa phương trình về dạng \(\frac{x^2}{a^2}\)+\(\frac{y^2}{b^2}\)=1. Tìm giá trị a và b bằng cách lấy căn bậc hai của các mẫu số.

    方程（ほうてい）式（しき）を \(\frac{x^2}{a^2}\)+\(\frac{y^2}{b^2}\)=1 の形（かたち）にします。分母（ぶんぼ）の平方（へいほう）根（ね）をとることでaとbの値（あたい）を求（もと）めます。

  2. 02
    各（かく）頂点（ちょうてん）の座標（ざひょう）の決定（けってい）

    Tìm tọa độ các đỉnh

    Các đỉnh trên trục x là (a, 0) và (-a, 0). Các đỉnh trên trục y là (0, b) và (0, -b).

    x軸（じく）上（じょう）の頂点（ちょうてん）は (a, 0) および (-a, 0) です。y軸（じく）上（じょう）の頂点（ちょうてん）は (0, b) および (0, -b) となります。

  3. 03
    aとbの比較（ひかく）と焦点（しょうてん）cの計算（けいさん）

    So sánh a và b để tính tiêu điểm c

    Nếu a > b thì tiêu điểm nằm trên trục x với \(c = \sqrt{a^{2} - b^{2}}\). Nếu b > a thì tiêu điểm nằm trên trục y với \(c = \sqrt{b^{2} - a^{2}}\).

    a > b ならば焦点（しょうてん）はx軸（じく）上（じょう）にあり \(c = \sqrt{a^{2} - b^{2}}\) となります。b > a ならば焦点（しょうてん）はy軸（じく）上（じょう）にあり \(c = \sqrt{b^{2} - a^{2}}\) となります。

  4. 04
    概形（がいけい）の描画（びょうが）

    Phác thảo hình dạng sơ bộ

    Vẽ 4 đỉnh và 2 tiêu điểm lên mặt phẳng tọa độ. Nối các đỉnh bằng một đường cong kín đối xứng nhẵn.

    座標（ざひょう）平面（へいめん）上（じょう）に4頂点（ちょうてん）と2焦点（しょうてん）をプロットします。各（かく）頂点（ちょうてん）をなめらかな対称（たいしょう）閉（へい）曲線（きょくせん）で結（むす）びます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Mặc định tiêu điểm luôn nằm trên trục x mà không so sánh giá trị a và b.aとbの値（あたい）を比較（ひかく）せずに、焦点（しょうてん）が常（つね）にx軸（じく）上（じょう）にあると思い込（おもいこ）むこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Khi b > a, tiêu điểm nằm trên trục y và tiêu cự được tính bằng \(c = \sqrt{b^{2} - a^{2}}\).b > a のとき、焦点（しょうてん）はy軸（じく）上（じょう）にあり、焦点（しょうてん）距離（きょり）は \(c = \sqrt{b^{2} - a^{2}}\) で計算（けいさん）されます。

Nhầm lẫn giữa bán trục (a, b) và độ dài trục (2a, 2b).半（はん）軸（じく）の長（なが）さ(a, b)と軸（じく）全体（ぜんたい）の長（なが）さ(2a, 2b)を混同（こんどう）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Trục lớn và trục bé có độ dài lần lượt là 2a và 2b (hoặc 2b và 2a tùy thuộc vào trục nào dài hơn).長軸（ちょうじく）および短軸（たんじく）の長（なが）さはそれぞれ 2a, 2b（またはどちらが長（なが）いかに応（おう）じて 2b, 2a）となります。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Elip \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 có 4 đỉnh là (\(\pm\) a, 0) và (0, \(\pm\) b).楕円（だえん） \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 の4頂点（ちょうてん）は (\(\pm\) a, 0) および (0, \(\pm\) b) です。
  • Tiêu điểm nằm trên trục lớn: trên trục x nếu a > b \((c = \sqrt{a^{2} - b^{2}})\), trên trục y nếu b > a \((c = \sqrt{b^{2} - a^{2}})\).焦点（しょうてん）は長軸（ちょうじく）上（じょう）にあります。a > b のときはx軸上（じくじょう） \((c = \sqrt{a^{2} - b^{2}})\)、b > a のときはy軸上（じくじょう） \((c = \sqrt{b^{2} - a^{2}})\) です。
  • Độ dài trục lớn và trục bé bằng 2 lần bán trục tương ứng.長軸（ちょうじく）および短軸（たんじく）の長（なが）さは、対応（たいおう）する半（はん）軸（じく）の2倍（ばい）です。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

Phương trình tổng quát dạng chuẩn của elip nhận gốc tọa độ làm tâm.

原点（げんてん）を中心（ちゅうしん）とする楕円（だえん）の標準（ひょうじゅん）形（けい）一般（いっぱん）方程（ほうてい）式（しき）。

c=\sqrt{a^2-b^2}

Công thức tính tọa độ tiêu điểm khi elip nằm ngang (a > b).

横長（よこなが）の楕円（だえん） (a > b) における焦点（しょうてん）座標（ざひょう）の計算（けいさん）公式（こうしき）。

c=\sqrt{b^2-a^2}

Công thức tính tọa độ tiêu điểm khi elip đứng (b > a).

縦長（たてなが）の楕円（だえん） (b > a) における焦点（しょうてん）座標（ざひょう）の計算（けいさん）公式（こうしき）。

EJU 2026 · MATH.16.1

Bài học hướng dẫn xác định các đỉnh, tiêu điểm và phác thảo hình dạng sơ bộ của elip từ phương trình. Ta xét hai trường hợp trục lớn nằm trên trục hoành hoặc trục tung dựa vào so sánh a và b.

本課（ほんか）では方程（ほうてい）式（しき）から楕円（だえん）の頂点（ちょうてん）、焦点（しょうてん）、および概形（がいけい）を特定（とくてい）する方法（ほうほう）を学（まな）びます。aとbの大小（だいしょう）関係（かんけい）に基（もと）づき、長軸（ちょうじく）がx軸上（じくじょう）またはy軸（じく）上（じょう）にある2つの場合（ばあい）を考察（こうさつ）します。

楕円（だえん）の頂点（ちょうてん）・焦点（しょうてん）と概形（がいけい）
楕円頂点焦点長軸