Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Elip và đường tròn楕円（だえん）と円（えん）

Công thức公式

x^2+y^2=a^2
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
f\left(x,\frac{y}{k}\right)=0
\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1

Ví dụ例題

Cho đường tròn \(x^{2} + y^{2} = 4\). Tìm phương trình của hình thu được khi co giãn đường tròn này theo hướng trục y với tỷ lệ k=2.

円（えん） \(x^{2} + y^{2} = 4\) があります。この円（えん）を y 軸（じく）方向（ほうこう）に 2 倍（ばい）に拡大（かくだい）して得（え）られる図形（ずけい）の方程（ほうてい）式（しき）を求（もと）めなさい。

  1. Giả sử điểm P(x, y) thuộc đường tròn \(x^{2} + y^{2} = 4\) và điểm M(X, Y) là điểm thu được sau phép co giãn.円（えん） \(x^{2} + y^{2} = 4\) 上（うえ）の点（てん）を P(x, y) とし、伸縮（しんしゅく）後（ご）の点（てん）を M(X, Y) と置（お）きます。
  2. Do co giãn theo trục y với tỷ lệ k=2 nên X=x và Y=2y, suy ra x=X và y=Y/2.y 軸（じく）方向（ほうこう）に 2 倍（ばい）拡大（かくだい）するため X=x かつ Y=2y となり、x=X, y=Y/2 が得（え）られます。
  3. Thay x=X và y=Y/2 vào phương trình đường tròn ta có \(X^{2} + (Y / 2)^{2} = 4\).x=X と y=Y/2 を元（もと）の円（えん）の方程（ほうてい）式（しき）に代入（だいにゅう）すると \(X^{2} + (Y / 2)^{2} = 4\) となります。
  4. Chia hai vế cho 4 ta được X^2/4 + Y^2/16 = 1. Đổi ký hiệu về (x, y) ta thu được \(\frac{x^2}{4}\)+\(\frac{y^2}{16}\)=1.両辺（りょうへん）を 4 で割（われ）ると X^2/4 + Y^2/16 = 1 となります。記号（きごう）を (x, y) に戻（もど）すと \(\frac{x^2}{4}\)+\(\frac{y^2}{16}\)=1 が得（え）られます。
Vậy phương trình của elip thu được là \(\frac{x^2}{4}\)+\(\frac{y^2}{16}\)=1.したがって、得（え）られる楕円（だえん）の方程（ほうてい）式（しき）は \(\frac{x^2}{4}\)+\(\frac{y^2}{16}\)=1 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Co giãn đường tròn \(x^{2} + y^{2} = 4\) theo hướng trục y với tỷ lệ k=2. Phương trình quỹ tích thu được là phương trình nào sau đây?円（えん） \(x^{2} + y^{2} = 4\) を y 軸（じく）方向（ほうこう）に 2 倍（ばい）拡大（かくだい）したとき、得（え）られる軌跡（きせき）の方程（ほうてい）式（しき）はどれですか。

2. Biết phép co giãn đường tròn x^2+y^2=4 theo trục y tạo ra phương trình elip \(\frac{x^2}{4}\)+\(\frac{y^2}{16}\)=1. Tỷ lệ co giãn k bằng bao nhiêu?円（えん） x^2+y^2=4 を y 軸（じく）方向（ほうこう）に伸縮（しんしゅく）して楕円（だえん） \(\frac{x^2}{4}\)+\(\frac{y^2}{16}\)=1 が得（え）られました。伸縮（しんしゅく）の倍率（ばいりつ） k はいくらですか。

3. Điểm P chuyển động trên đường tròn \(x^{2} + y^{2} = a^{2}\). Nếu biến đổi tọa độ điểm P(x, y) thành M(x, ky) thỏa mãn f(x, y/k) = 0 thì đây là phép toán gì?点（てん） P が円（えん） \(x^{2} + y^{2} = a^{2}\) 上（うえ）を動（うご）きます。点（てん） P(x, y) の座標（ざひょう）を M(x, ky) に変換（へんかん）して f(x, y/k) = 0 を得（え）る操作（そうさ）は何（なん）ですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.16.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 3 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.16.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）3区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu phép co giãn hình học biến đổi đường tròn thành elip.伸縮（しんしゅく）による円（えん）から楕円（だえん）への図形（ずけい）変換（へんかん）を理解（りかい）する。
  2. Lập phương trình quỹ tích của các điểm liên quan bằng phép thay thế tọa độ.座標（ざひょう）置換（ちかん）を用（もち）いて関連（かんれん）する点（てん）の軌跡（きせき）の方程（ほうてい）式（しき）を導出（どうしゅつ）する。
Trực giác · イメージ

Bản chất hình học của phép co giãn đường tròn円（えん）の伸縮（しんしゅく）に関（かん）する図形（ずけい）的（てき）な直感（ちょっかん）

Khi ta kéo giãn hoặc thu nhỏ một đường tròn theo một hướng trục tọa độ, hình dạng của nó bị biến dạng thành hình elip. Phép biến đổi tọa độ này giúp chuyển đổi phương trình đường tròn ban đầu thành phương trình elip tương ứng.

円（えん）を座標（ざひょう）軸（じく）の一（いち）方向（ほうこう）に拡大（かくだい）または縮小（しゅくしょう）すると、その形状（けいじょう）は楕円（だえん）に変形（へんけい）します。この座標（ざひょう）変換（へんかん）を利用（りよう）することで、元（もと）の円（えん）の方程（ほうてい）式（しき）を対応（たいおう）する楕円（だえん）の方程（ほうてい）式（しき）へ変換（へんかん）できます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 伸縮（しんしゅく）co giãn

    Phép biến đổi làm thay đổi tỷ lệ khoảng cách của các điểm theo hướng trục tọa độ.

    座標（ざひょう）軸（じく）方向（ほうこう）に点（てん）の距離（きょり）の比率（ひりつ）を変化（へんか）させる図形（ずけい）変換（へんかん）です。

  • 円（えん）đường tròn

    Tập hợp các điểm cách đều một điểm cố định một khoảng không đổi trên mặt phẳng.

    平面（へいめん）上（じょう）で定点（ていてん）から等（とう）距離（きょり）にあるすべての点（てん）の集合（しゅうごう）です。

  • 楕円（だえん）elip

    Hình thu được khi co giãn đường tròn theo một trục tọa độ với tỷ lệ nhất định.

    円（えん）を特定（とくてい）の軸（じく）方向（ほうこう）に一定（いってい）の割合（わりあい）で伸縮（しんしゅく）して得（え）られる図形（ずけい）です。

  • 軌跡（きせき）の方程（ほうてい）式（しき）phương trình quỹ tích

    Phương trình biểu diễn quan hệ tọa độ của điểm chuyển động theo điều kiện cho trước.

    与（あた）えられた条件（じょうけん）に従（したが）って動（うご）く点（てん）の座標（ざひょう）関係（かんけい）を表（あらわ）す方程（ほうてい）式（しき）です。

  • 内分（ないぶん）する点（てん）điểm chia trong

    Điểm nằm trên đoạn thẳng nối hai điểm và chia đoạn thẳng đó theo tỷ số dương.

    2点（てん）を結（むす）ぶ線分（せんぶん）上（じょう）にあり、その線分（せんぶん）を正（せい）の比率（ひりつ）で分（わ）ける点（てん）です。

  • 外分（がいぶん）する点（てん）điểm chia ngoài

    Điểm nằm trên đường thẳng kéo dài của đoạn thẳng và chia đoạn thẳng theo tỷ số.

    線分（せんぶん）の延長（えんちょう）線（せん）上（じょう）にあり、その線分（せんぶん）を比率（ひりつ）に基（もと）づいて分（わ）ける点（てん）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    元（もと）の円（えん）の方程（ほうてい）式（しき）の確認（かくにん）

    Xác định phương trình đường tròn ban đầu

    Viết phương trình đường tròn ban đầu ở dạng \(x^{2} + y^{2} = a^{2}\). Xác định tọa độ của điểm P nằm trên đường tròn này.

    元（もと）の円（えん）の方程（ほうてい）式（しき）を \(x^{2} + y^{2} = a^{2}\) の形（かたち）で表（あらわ）します。この円上（えんじょう）の点（てん） P の座標（ざひょう）を設定（せってい）します。

  2. 02
    伸縮（しんしゅく）による座標（ざひょう）関係（かんけい）の設定（せってい）

    Thiết lập quan hệ tọa độ qua phép co giãn

    Gọi M(X, Y) là điểm mới thu được sau phép co giãn theo trục y với tỷ lệ k. Biểu diễn tọa độ (x, y) của điểm P theo (X, Y).

    y 軸（じく）方向（ほうこう）に k 倍（ばい）伸縮（しんしゅく）した新（あたら）しい点（てん）を M(X, Y) と置（お）きます。点（てん） P の座標（ざひょう） (x, y) を (X, Y) で表（あらわ）します。

  3. 03
    方程（ほうてい）式（しき）への代入（だいにゅう）と整理（せいり）

    Thay tọa độ vào phương trình và rút gọn

    Thay biểu thức (x, y) vào phương trình đường tròn ban đầu. Thu được phương trình dạng f(x, y/k) = 0 để biểu diễn elip.

    元（もと）の円（えん）の方程（ほうてい）式（しき）に (x, y) の式（しき）を代入（だいにゅう）します。整理（せいり）して f(x, y/k) = 0 の形（かたち）を導（みちび）き楕円（だえん）を表（あらわ）します。

  4. 04
    軌跡（きせき）の方程（ほうてい）式（しき）の結論（けつろん）

    Kết luận phương trình quỹ tích thu được

    Thay ký hiệu (X, Y) về dạng (x, y) thông thường. Nhận xét dạng phương trình elip thu được.

    記号（きごう） (X, Y) を通常（つうじょう）の (x, y) に戻（もど）します。得（え）られた楕円（だえん）の方程（ほうてい）式（しき）の形（かたち）を確認（かくにん）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Thay nhầm y bằng 2y thay vì y/2 khi co giãn theo trục y với tỷ lệ k=2.y 軸（じく）方向（ほうこう）に 2 倍（ばい）にする際（さい）、y を y/2 ではなく 2y に置き換（おきか）えてしまう誤（あやま）り。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Khi tọa độ mới Y = k*y thì tọa độ cũ y phải được thay bằng Y/k.新（あたら）しい座標（ざひょう） Y = k*y であるため、元（もと）の座標（ざひょう） y は Y/k に置換（ちかん）する必要（ひつよう）があります。

Nhầm lẫn giữa phương trình đường tròn ban đầu và phương trình quỹ tích sau biến đổi.元（もと）の円（えん）の方程（ほうてい）式（しき）と変換（へんかん）後（ご）の軌跡（きせき）の方程（ほうてい）式（しき）を混同（こんどう）してしまう誤（あやま）り。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn biểu diễn tọa độ ban đầu theo tọa độ mới trước khi thế vào phương trình gốc.元（もと）の方程（ほうてい）式（しき）に代入（だいにゅう）する前（まえ）に、必（かなら）ず元（もと）の座標（ざひょう）を新（あたら）しい座標（ざひょう）の式（しき）で表（あらわ）してください。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Phép co giãn đường tròn theo trục tọa độ tạo ra hình elip.座標（ざひょう）軸（じく）方向（ほうこう）への円（えん）の伸縮（しんしゅく）により楕円（だえん）が生成（せいせい）されます。
  • Khi co giãn theo trục y với tỷ lệ k, thay y bằng y/k trong phương trình ban đầu.y 軸（じく）方向（ほうこう）に k 倍（ばい）伸縮（しんしゅく）する場合（ばあい）、元（もと）の式（しき）において y を y/k に置き換（おきか）えます。
  • Phương trình quỹ tích thu được có dạng chuẩn \(\frac{x^2}{a^2}\)+\(\frac{y^2}{b^2}\)=1.得（え）られる軌跡（きせき）の方程（ほうてい）式（しき）は標準（ひょうじゅん）形（けい） \(\frac{x^2}{a^2}\)+\(\frac{y^2}{b^2}\)=1 の形（かたち）をとります。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

x^2+y^2=a^2

Phương trình đường tròn tâm tại gốc tọa độ với bán kính a.

原点（げんてん）を中心（ちゅうしん）とする半径（はんけい） a の円（えん）の方程（ほうてい）式（しき）です。

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

Phương trình elip dạng chuẩn với bán trục a và b.

半（はん）軸（じく）長（ちょう） a および b を持（も）つ楕円（だえん）の標準（ひょうじゅん）形（けい）方程（ほうてい）式（しき）です。

f\left(x,\frac{y}{k}\right)=0

Biểu thức biến đổi khi co giãn đồ thị f(x,y)=0 theo trục y với tỷ lệ k.

グラフ f(x,y)=0 を y 軸（じく）方向（ほうこう）に k 倍（ばい）伸縮（しんしゅく）したときの変換（へんかん）式（しき）です。

\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1

Phương trình elip cụ thể thu được từ phép co giãn đường tròn.

円（えん）の伸縮（しんしゅく）操作（そうさ）によって得（え）られる具体（ぐたい）的（てき）な楕円（だえん）の方程（ほうてい）式（しき）です。

EJU 2026 · MATH.16.1

Bài học này hướng dẫn biến đổi đường tròn thành hình elip thông qua phép co giãn theo trục tọa độ. Bạn cũng sẽ học cách lập phương trình quỹ tích của điểm chia trong hoặc điểm chia ngoài.

このレッスンでは、座標（ざひょう）軸（じく）方向（ほうこう）の伸縮（しんしゅく）操作（そうさ）によって円（えん）を楕円（だえん）へ変換（へんかん）する方法（ほうほう）を解説（かいせつ）します。また、内分（ないぶん）点（てん）や外分（がいぶん）点（てん）の軌跡（きせき）の方程（ほうてい）式（しき）を導出（どうしゅつ）する手法（しゅほう）も学（まな）びます。

楕円（だえん）と円（えん）
伸縮円楕円軌跡の方程式