Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Phương trình elip楕円（だえん）の方程（ほうてい）式（しき）

Công thức公式

PF + PF' = 2a
\sqrt{(x-c)^2+y^2} + \sqrt{(x+c)^2+y^2} = 2a
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
b = \sqrt{a^2-c^2}

Ví dụ例題

Cho hai tiêu điểm F(3, 0) và F'(-3, 0). Tìm phương trình elip dạng chuẩn gồm các điểm P sao cho tổng khoảng cách từ P đến F và F' bằng 10.

2焦点（しょうてん） F(3, 0), F'(-3, 0) が与（あた）えられています。PからF, F'への距離（きょり）の和（わ）が10である点（てん）Pの集合（しゅうごう）としての楕円（だえん）の標準（ひょうじゅん）形（けい）方程（ほうてい）式（しき）を求（もと）めなさい。

  1. Từ giả thiết tiêu điểm F(3, 0) và F'(-3, 0), ta có c = 3. Tổng khoảng cách 2a = 10 nên a = 5.焦点（しょうてん） F(3, 0), F'(-3, 0) より c = 3 です。距離（きょり）の和（わ） 2a = 10 より a = 5 となります。
  2. Tính b theo công thức \(b = \sqrt{a^{2} - c^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = \sqrt{25 - 9} = 4\).公式（こうしき） \(b = \sqrt{a^{2} - c^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = \sqrt{25 - 9} = 4\) を用（もち）いて b を計算（けいさん）します。
  3. Thay a = 5 và b = 4 vào phương trình dạng chuẩn \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1.a = 5 および b = 4 を標準（ひょうじゅん）形（けい）の方程（ほうてい）式（しき） \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 に代入（だいにゅう）します。
Phương trình elip cần tìm là \(\frac{x^2}{25}\) + \(\frac{y^2}{16}\) = 1.求（もと）める楕円（だえん）の方程（ほうてい）式（しき）は \(\frac{x^2}{25}\) + \(\frac{y^2}{16}\) = 1 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho elip có hai tiêu điểm F(4, 0) và F'(-4, 0). Biết tổng khoảng cách từ điểm thuộc elip đến hai tiêu điểm bằng 10. Phương trình dạng chuẩn của elip là gì?2焦点（しょうてん） F(4, 0), F'(-4, 0) を持（も）ち、楕円（だえん）上（じょう）の点（てん）から2焦点（しょうてん）への距離（きょり）の和（わ）が10である楕円（だえん）の標準（ひょうじゅん）形（けい）方程（ほうてい）式（しき）を求（もと）めなさい。

2. Cho elip có phương trình \(\frac{x^2}{16}\) + \(\frac{y^2}{7}\) = 1. Khoảng cách c từ tâm đến mỗi tiêu điểm là bao nhiêu?楕円（だえん） \(\frac{x^2}{16}\) + \(\frac{y^2}{7}\) = 1 の中心（ちゅうしん）から各（かく）焦点（しょうてん）までの距離（きょり） c を求（もと）めなさい。

3. Điểm P(x, y) nằm trên elip \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 với tiêu điểm F(c, 0) và F'(-c, 0). Giá trị của PF + PF' bằng bao nhiêu?楕円（だえん） \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 上（うえ）の点（てん） P(x, y) と焦点（しょうてん） F(c, 0), F'(-c, 0) について、PF + PF' の値（あたい）はいくらですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.16.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.16.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nắm vững định nghĩa elip qua tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm không đổi bằng 2a.2焦点（しょうてん）からの距離（きょり）の和（わ）が2aで一定（いってい）という楕円（だえん）の定義（ていぎ）を理解（りかい）する。
  2. Biết cách biến đổi từ biểu thức căn thức sang phương trình dạng chuẩn của elip.根号（こんごう）を含（ふく）む式（しき）から楕円（だえん）の標準（ひょうじゅん）形（けい）の方程（ほうてい）式（しき）への変形（へんけい）方法（ほうほう）を修得（しゅうとく）する。
  3. Hiểu mối quan hệ giữa các tham số a, b, c qua công thức \(b = \sqrt{a^{2} - c^{2}}\).公式（こうしき） \(b = \sqrt{a^{2} - c^{2}}\) を通（つう）じてパラメータ a, b, c の関係（かんけい）を理解（りかい）する。
Trực giác · イメージ

Ý nghĩa hình học của elip楕円（だえん）の幾何（きか）学（がく）的（てき）直感（ちょっかん）

Hãy tưởng tượng bạn cố định hai đầu dây tại hai tiêu điểm và dùng đầu bút kéo căng sợi dây để vẽ. Hình thu được là đường elip với tổng khoảng cách từ mỗi điểm trên elip tới hai tiêu điểm luôn bằng độ dài sợi dây 2a.

2つの焦点（しょうてん）に糸（いと）の端（はし）を固定（こてい）し、ペンで糸（いと）を張（は）ったまま動（うご）かして図形（ずけい）を描（えが）く様子（ようす）を思い浮（おもいう）かべてください。得（え）られる図形（ずけい）は楕円（だえん）であり、楕円（だえん）上（じょう）の点（てん）から2焦点（しょうてん）への距離（きょり）の和（わ）は常（つね）に糸（いと）の長（なが）さ2aに等（ひと）しくなります。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 楕円（だえん）elip

    Tập hợp các điểm P trong mặt phẳng sao cho tổng khoảng cách từ P đến hai điểm cố định F và F' bằng hằng số 2a.

    平面（へいめん）上（じょう）の点（てん）Pのうち、2つの定点（ていてん）F, F'からの距離（きょり）の和（わ）が一定（いってい）値（ち）2aであるものの集合（しゅうごう）。

  • 焦点（しょうてん）tiêu điểm

    Hai điểm cố định F(c, 0) và F'(-c, 0) dùng để định nghĩa đường elip.

    楕円（だえん）を定義（ていぎ）するための2つの定点（ていてん） F(c, 0) および F'(-c, 0)。

  • 中心（ちゅうしん）tâm

    Trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm, đối với elip dạng chuẩn tâm là gốc tọa độ (0, 0).

    2つの焦点（しょうてん）を結（むす）ぶ線分（せんぶん）の中点（ちゅうてん）であり、標準（ひょうじゅん）形（けい）の楕円（だえん）では原点（げんてん）(0, 0)となります。

  • 標準（ひょうじゅん）形（けい）dạng chuẩn

    Dạng phương trình đại số của elip có tâm tại gốc tọa độ và nhận các trục tọa độ làm trục đối xứng.

    原点（げんてん）を中心（ちゅうしん）とし、座標（ざひょう）軸（じく）に対称（たいしょう）な楕円（だえん）の代数（だいすう）方程（ほうてい）式（しき）の形式（けいしき）。

  • 長軸（ちょうじく）trục lớn

    Đoạn thẳng nối hai đỉnh nằm trên đường thẳng đi qua hai tiêu điểm, có độ dài bằng 2a.

    2焦点（しょうてん）を通（とお）る直線（ちょくせん）上（じょう）の2頂点（ちょうてん）を結（むす）ぶ線分（せんぶん）で、長（なが）さは2aです。

  • 短軸（たんじく）trục nhỏ

    Đoạn thẳng vuông góc với trục lớn tại tâm elip, có độ dài bằng 2b.

    楕円（だえん）の中心（ちゅうしん）で長軸（ちょうじく）に直交（ちょっこう）する線分（せんぶん）で、長（なが）さは2bです。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    距離（きょり）の和（わ）の定義（ていぎ）の確認（かくにん）

    Xác định định nghĩa tổng khoảng cách

    Đặt hai tiêu điểm F(c, 0) và F'(-c, 0) trên trục hoành. Cho điểm P(x, y) thuộc elip thì PF + PF' = 2a với a > c > 0.

    x軸（じく）上（じょう）に2焦点（しょうてん） F(c, 0) と F'(-c, 0) をおきます。楕円（だえん）上（じょう）の点（てん） P(x, y) に対（たい）して a > c > 0 のとき PF + PF' = 2a が成り立（なりた）ちます。

  2. 02
    座標（ざひょう）を用（もち）いた式（しき）の立（りっ）式（しき）

    Thiết lập biểu thức tọa độ

    Tính độ dài các đoạn thẳng bằng công thức khoảng cách để thu được biểu thức chứa hai căn thức. Chuyển một căn thức sang vế phải và bình phương hai vế để khử căn.

    距離（きょり）の公式（こうしき）を用（もち）いて各（かく）線分（せんぶん）の長（なが）さを計算（けいさん）し、2つの根号（こんごう）を含（ふく）む式（しき）を得（え）ます。一方（いっぽう）の根号（こんごう）を右辺（うへん）に移項（いこう）し、両辺（りょうへん）を2乗（の）して根号（こんごう）を整理（せいり）します。

  3. 03
    整理（せいり）とパラメータbの導入（どうにゅう）

    Rút gọn và đặt ẩn phụ b

    Đặt \(b = \sqrt{a^{2} - c^{2}}\) vì a > c > 0 nên b > 0. Thu gọn biểu thức ta được \((a^{2} - c^{2}) x^{2} + a^{2}\) \(y^{2} = a^{2} (a^{2} - c^{2})\), hay \(b^{2}\) \(x^{2} + a^{2}\) \(y^{2} = a^{2}\) \(b^{2}\).

    a > c > 0 より \(b = \sqrt{a^{2} - c^{2}}\) とおきます。式（しき）を整理（せいり）すると \((a^{2} - c^{2}) x^{2} + a^{2}\) \(y^{2} = a^{2} (a^{2} - c^{2})\)、すなわち \(b^{2}\) \(x^{2} + a^{2}\) \(y^{2} = a^{2}\) \(b^{2}\) となります。

  4. 04
    両辺（りょうへん）を割（わ）って標準（ひょうじゅん）形（けい）を得（う）る

    Chia hai vế để được dạng chuẩn

    Chia cả hai vế của đẳng thức cho a^2 b^2. Kết quả thu được phương trình dạng chuẩn \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1.

    等式（とうしき）の両辺（りょうへん）を a^2 b^2 で割（わ）ります。その結果（けっか）、標準（ひょうじゅん）形（けい）の方程（ほうてい）式（しき） \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 が得（え）られます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn giữa tổng khoảng cách 2a và bán trục lớn a khi thiết lập phương trình.方程（ほうてい）式（しき）を立（た）てる際（さい）に、距離（きょり）の和（わ）2aと半（はん）長軸（ちょうじく）aを混同（こんどう）してしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Chú ý rằng tổng khoảng cách bằng 2a, do đó cần chia đôi tổng khoảng cách để tìm bán trục lớn a trước khi tính \(a^{2}\).距離（きょり）の和（わ）は2aに等（ひと）しいので、\(a^{2}\)を計算（けいさん）する前（まえ）に距離（きょり）の和（わ）を2で割（わ）って半（はん）長軸（ちょうじく）aを求（もと）める点（てん）に注意（ちゅうい）します。

Áp dụng sai công thức \(b = \sqrt{a^{2} + c^{2}}\) thay vì \(b = \sqrt{a^{2} - c^{2}}\).\(b = \sqrt{a^{2} - c^{2}}\) の代（か）わりに誤（あやま）って \(b = \sqrt{a^{2} + c^{2}}\) を適用（てきよう）してしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Trong elip ta luôn có a > c, do đó \(b^{2} = a^{2} - c^{2}\) hay \(b = \sqrt{a^{2} - c^{2}}\).楕円（だえん）では常（つね）に a > c であるため、\(b^{2} = a^{2} - c^{2}\) すなわち \(b = \sqrt{a^{2} - c^{2}}\) となります。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Elip là tập hợp các điểm có tổng khoảng cách tới hai tiêu điểm cố định bằng 2a.楕円（だえん）は2つの定点（ていてん）からの距離（きょり）の和（わ）が2aで一定（いってい）の点（てん）の集合（しゅうごう）です。
  • Phương trình dạng chuẩn của elip là \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 với a > b > 0.楕円（だえん）の標準（ひょうじゅん）形（けい）方程（ほうてい）式（しき）は \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 (a > b > 0) です。
  • Mối liên hệ giữa các tham số thỏa mãn \(b = \sqrt{a^{2} - c^{2}}\).各（かく）パラメータ間（かん）の関係（かんけい）は \(b = \sqrt{a^{2} - c^{2}}\) を満（み）たします。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

PF + PF' = 2a

Định nghĩa khoảng cách từ điểm P trên elip tới hai tiêu điểm F và F' có tổng không đổi bằng 2a.

楕円（だえん）上（じょう）の点（てん）Pから2焦点（しょうてん）F, F'への距離（きょり）の和（わ）が常（つね）に一定（いってい）値（ち）2aになるという定義（ていぎ）式（しき）。

\sqrt{(x-c)^2+y^2} + \sqrt{(x+c)^2+y^2} = 2a

Biểu thức tọa độ của tổng khoảng cách từ điểm P(x, y) đến hai tiêu điểm F(c, 0) và F'(-c, 0).

点（てん）P(x, y)から2焦点（しょうてん）F(c, 0), F'(-c, 0)への距離（きょり）の和（わ）を座標（ざひょう）で表（あらわ）した式（しき）。

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

Phương trình dạng chuẩn của elip có tâm tại gốc tọa độ với bán trục lớn a và bán trục nhỏ b.

原点（げんてん）を中心（ちゅうしん）とし、半（はん）長軸（ちょうじく）a、半（はん）短軸（たんじく）bを持（も）つ楕円（だえん）の標準（ひょうじゅん）形（けい）方程（ほうてい）式（しき）。

b = \sqrt{a^2-c^2}

Mối quan hệ giữa nửa độ dài trục lớn a, nửa độ dài trục nhỏ b và tiêu cự c.

半（はん）長軸（ちょうじく）a、半（はん）短軸（たんじく）b、焦点（しょうてん）距離（きょり）cの間（あいだ）の関係（かんけい）式（しき）。

EJU 2026 · MATH.16.1

Elip là tập hợp các điểm có tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm cố định không đổi. Bài học này hướng dẫn thiết lập phương trình dạng chuẩn của elip từ định nghĩa.

楕円（だえん）は2つの定点（ていてん）からの距離（きょり）の和（わ）が一定（いってい）である点（てん）の集合（しゅうごう）です。本課（ほんか）では定義（ていぎ）から楕円（だえん）の標準（ひょうじゅん）形（けい）の方程（ほうてい）式（しき）を導出（どうしゅつ）する方法（ほうほう）を学（まな）びます。

楕円（だえん）の方程（ほうてい）式（しき）
楕円焦点中心標準形