Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Độ dài đoạn thẳng và diện tích tam giác trong tọa độ cực極（ごく）座標（ざひょう）における線分（せんぶん）の長（なが）さと三角形（さんかくけい）の面積（めんせき）

Công thức公式

a^2=b^2+c^2-2bc\cos A
S=\frac{1}{2}bc\sin A
S=\frac{1}{2}r_1 r_2 |\sin(\theta_2-\theta_1)|
F(r, \theta)=0

Ví dụ例題

Trong hệ tọa độ cực, cho hai điểm A(3, \(\pi / 6\)) và B(2, \(\pi / 2\)). Tính độ dài AB và diện tích tam giác OAB (với O là cực).

極（ごく）座標（ざひょう）系（けい）において、2点（てん）A(3, \(\pi / 6\))およびB(2, \(\pi / 2\))がある。極（きょく）をOとするとき、線分（せんぶん）ABの長（なが）さと三角形（さんかくけい）OABの面積（めんせき）を求（もと）めよ。

  1. Tính hiệu góc cực: \(\theta 2 - \theta 1 = \pi / 2 - \pi / 6 = \pi / 3\). Ta có \(\cos (\pi / 3) = 1 / 2\) và \(\sin (\pi / 3) = \sqrt{3} / 2\).偏角（へんかく）の差（さ）を求（もと）めます: \(\theta 2 - \theta 1 = \pi / 2 - \pi / 6 = \pi / 3\)。\(\cos (\pi / 3) = 1 / 2\), \(\sin (\pi / 3) = \sqrt{3} / 2\) です。
  2. Tính AB bằng định lý côsin: \(AB^{2} = 3^{2} + 2^{2} - 2\cdot 3\cdot 2\cdot \cos (\pi / 3) = 9 + 4 - 12\cdot (1 / 2) = 7\). Do đó \(AB = \sqrt{7}\).余弦（よげん）定理（ていり）により \(AB^{2} = 3^{2} + 2^{2} - 2\cdot 3\cdot 2\cdot \cos (\pi / 3) = 9 + 4 - 6 = 7\) となり、\(AB = \sqrt{7}\) です。
  3. Tính diện tích tam giác: \(S = (1 / 2)\cdot 3\cdot 2\cdot \sin (\pi / 3) = 3\cdot (\sqrt{3} / 2) = 3\cdot \sqrt{3} / 2\).面積（めんせき）を計算（けいさん）します: \(S = (1 / 2)\cdot 3\cdot 2\cdot \sin (\pi / 3) = 3\cdot (\sqrt{3} / 2) = 3\cdot \sqrt{3} / 2\) です。
Độ dài đoạn thẳng AB là \(\sqrt{7}\) và diện tích tam giác OAB là \(3\cdot \sqrt{3} / 2\).線分（せんぶん）ABの長（なが）さは \(\sqrt{7}\)、三角形（さんかくけい）OABの面積（めんせき）は \(3\cdot \sqrt{3} / 2\) である。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Trong hệ tọa độ cực, cho hai điểm P(4, 0) và Q(4, \(\pi / 3\)). Độ dài đoạn thẳng PQ là bao nhiêu?極（ごく）座標（ざひょう）系（けい）において、点（てん）P(4, 0)と点（てん）Q(4, \(\pi / 3\))がある。線分（せんぶん）PQの長（なが）さはいくらか。

2. Trong hệ tọa độ cực, cho hai điểm M(2, \(\pi / 6\)) và N(6, \(\pi / 2\)). Diện tích tam giác OMN (với O là cực) bằng bao nhiêu?極（ごく）座標（ざひょう）系（けい）において、2点（てん）M(2, \(\pi / 6\))とN(6, \(\pi / 2\))がある。極（きょく）をOとするとき、三角形（さんかくけい）OMNの面積（めんせき）はいくらか。

3. Trong hệ tọa độ cực, cho điểm A(2, \(\pi / 4\)) và điểm B(3, \(3\cdot \pi / 4\)). Tính diện tích tam giác OAB (với O là cực).極（ごく）座標（ざひょう）系（けい）において、点（てん）A(2, \(\pi / 4\))と点（てん）B(3, \(3\cdot \pi / 4\))がある。極（きょく）をOとするとき、三角形（さんかくけい）OABの面積（めんせき）を求（もと）めよ。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.16.3. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.16.3。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Ứng dụng định lý côsin để tính độ dài đoạn thẳng nối hai điểm cho trong hệ tọa độ cực.余弦（よげん）定理（ていり）を用（もち）いて、極（ごく）座標（ざひょう）で与（あた）えられた2点（てん）間（かん）の線分（せんぶん）の長（なが）さを計算（けいさん）できる。
  2. Tính diện tích tam giác có một đỉnh là gốc cực và hiểu dạng phương trình cực F(r, \(\theta\)) = 0.極（きょく）を1つの頂点（ちょうてん）とする三角形（さんかくけい）の面積（めんせき）を計算（けいさん）し、極（ごく）方程（ほうてい）式（しき） F(r, \(\theta\)) = 0 の概念（がいねん）を理解（りかい）する。
Trực giác · イメージ

Tính toán hình học từ hai bán kính và góc kẹp2つの動径（どうけい）と挟（はさ）む角（かど）による図形（ずけい）計算（けいさん）

Hai điểm trong hệ tọa độ cực cùng với gốc cực tạo thành tam giác có hai cạnh là hai bán kính tác dụng và góc kẹp giữa là hiệu hai góc cực, giúp áp dụng trực tiếp các công thức tam giác cơ bản.

極（ごく）座標（ざひょう）における2点（てん）と極（きょく）は、2つの動径（どうけい）を辺（へん）とし偏角（へんかく）の差（さ）を挟（はさ）む角（かく）とする三角形（さんかくけい）を形成（けいせい）するため、三角形（さんかくけい）の基本（きほん）公式（こうしき）を直接（ちょくせつ）適用（てきよう）できます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 極（ごく）座標（ざひょう）tọa độ cực

    Hệ tọa độ xác định vị trí các điểm trên mặt phẳng bằng khoảng cách r và góc cực \(\theta\).

    動径（どうけい）rと偏角（へんかく）\(\theta\)を用（もち）いて平面（へいめん）上（じょう）の位置（いち）を指定（してい）する座標（ざひょう）系（けい）。

  • 余弦（よげん）定理（ていり）định lý côsin

    Định lý liên hệ độ dài các cạnh tam giác với cos của góc kẹp giữa.

    三角形（さんかくけい）の3辺（へん）と1つの角（かく）の余弦（よげん）の関係（かんけい）を表（あらわ）す定理（ていり）。

  • 三角形（さんかくけい）の面積（めんせき）diện tích tam giác

    Diện tích tam giác được tính bằng nửa tích hai cạnh nhân sin của góc kẹp giữa.

    2辺（へん）の長（なが）さとその挟（はさ）む角（かく）の正弦（せいげん）の積（せき）の半分（はんぶん）で表（あらわ）される面積（めんせき）。

  • 極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）phương trình cực

    Phương trình F(r, \(\theta\)) = 0 biểu diễn mối quan hệ giữa bán kính tác dụng r và góc cực \(\theta\) của đường cong.

    動径（どうけい）rと偏角（へんかく）\(\theta\)の関係（かんけい）として図形（ずけい）を表（あらわ）す方程（ほうてい）式（しき） F(r, \(\theta\)) = 0。

  • 始線（しせん）trục cực

    Tia mốc cố định xuất phát từ cực để đo góc cực \(\theta\).

    偏角（へんかく）の測定（そくてい）基準（きじゅん）となる極（きょく）からの半（はん）直線（ちょくせん）。

  • 極（きょく）cực

    Gốc tọa độ trong hệ tọa độ cực, là một đỉnh chung của tam giác.

    極（ごく）座標（ざひょう）系（けい）の基準（きじゅん）点（てん）であり、三角形（さんかくけい）の1つの頂点（ちょうてん）となる点（てん）。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1: 動径（どうけい）の長（なが）さと挟（はさ）む角（かど）の特定（とくてい）

    Bước 1: Xác định độ dài bán kính và góc kẹp giữa

    Cho hai điểm A(r1, \(\theta 1\)) và B(r2, \(\theta 2\)), hai cạnh OA, OB lần lượt bằng r1, r2 và góc AOB có số đo |\(\theta 2 - \theta 1\)|.

    2点（てん）A(r1, \(\theta 1\)), B(r2, \(\theta 2\))に対（たい）し、辺（へん）OA = r1, OB = r2 であり、角（かく）AOBの大（おお）きさは|\(\theta 2 - \theta 1\)|です。

  2. 02
    ステップ2: 余弦（よげん）定理（ていり）による距離（きょり）の計算（けいさん）

    Bước 2: Tính độ dài đoạn thẳng bằng định lý côsin

    Áp dụng định lý côsin: \(AB^{2} = r 1^{2} + r 2^{2} - 2\cdot r 1\cdot r 2\cdot \cos (\theta 2 - \theta 1)\) để tính độ dài AB.

    余弦（よげん）定理（ていり） \(AB^{2} = r 1^{2} + r 2^{2} - 2\cdot r 1\cdot r 2\cdot \cos (\theta 2 - \theta 1)\) を適用（てきよう）して線分（せんぶん）ABの長（なが）さを求（もと）めます。

  3. 03
    ステップ3: 三角形（さんかくけい）OABの面積（めんせき）の計算（けいさん）

    Bước 3: Tính diện tích tam giác OAB

    Sử dụng công thức diện tích S = (1/2)*r1*r2*|\(\sin (\theta 2 - \theta 1)\)| để tính diện tích tam giác OAB.

    公式（こうしき） S = (1/2)*r1*r2*|\(\sin (\theta 2 - \theta 1)\)| を用（もち）いて三角形（さんかくけい）OABの面積（めんせき）を計算（けいさん）します。

  4. 04
    ステップ4: 極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）による図形（ずけい）の表現（ひょうげん）

    Bước 4: Biểu diễn đường bằng phương trình cực

    Sử dụng quan hệ F(r, \(\theta\)) = 0 để biểu diễn phương trình cực của các đường thẳng hoặc đường cong.

    関係（かんけい）式（しき） F(r, \(\theta\)) = 0 を用（もち）いて、直線（ちょくせん）や曲線（きょくせん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）を表（あらわ）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Sử dụng nhầm hàm sin trong định lý côsin để tính độ dài đoạn thẳng.距離（きょり）の計算（けいさん）において余弦（よげん）定理（ていり）のcosではなく間違（まちが）えてsinを使用（しよう）する。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn nhớ độ dài đoạn thẳng dùng \(\cos (\theta 2 - \theta 1)\), còn diện tích tam giác mới dùng \(\sin (\theta 2 - \theta 1)\).線分（せんぶん）の長（なが）さにはcos（余弦（よげん）定理（ていり））、三角形（さんかくけい）の面積（めんせき）にはsinを使用（しよう）することを明確（めいかく）に区別（くべつ）する。

Không tính góc kẹp giữa là hiệu hai góc cực \(\theta 2 - \theta 1\) mà lấy trực tiếp từng góc cực.挟（はさ）む角（かく）として偏角（へんかく）の差（さ） \(\theta 2 - \theta 1\) を使（つか）わず、それぞれの偏角（へんかく）をそのまま代入（だいにゅう）してしまう。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Góc kẹp giữa hai đoạn OA và OB tại gốc cực chính là độ lớn hiệu hai góc cực |\(\theta 2 - \theta 1\)|.極（きょく）における2辺（へん）の挟（はさ）む角（かく）は、2点（てん）の偏角（へんかく）の差（さ）の絶対（ぜったい）値（ち） |\(\theta 2 - \theta 1\)| であることに注意（ちゅうい）する。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Khoảng cách d giữa hai điểm (r1, \(\theta 1\)) và (r2, \(\theta 2\)) tính theo định lý côsin: \(d^{2} = r 1^{2} + r 2^{2} - 2\cdot r 1\cdot r 2\cdot \cos (\theta 2 - \theta 1)\).2点（てん）(r1, \(\theta 1\)), (r2, \(\theta 2\))間（あいだ）の距離（きょり）dは余弦（よげん）定理（ていり） \(d^{2} = r 1^{2} + r 2^{2} - 2\cdot r 1\cdot r 2\cdot \cos (\theta 2 - \theta 1)\) で求（もと）まります。
  • Diện tích tam giác có hai đỉnh tại tọa độ cực và đỉnh thứ ba tại gốc cực là S = (1/2)*r1*r2*|\(\sin (\theta 2 - \theta 1)\)|.極（きょく）と2点（てん）を頂点（ちょうてん）とする三角形（さんかくけい）の面積（めんせき）は S = (1/2)*r1*r2*|\(\sin (\theta 2 - \theta 1)\)| です。
  • Phương trình cực F(r, \(\theta\)) = 0 biểu diễn mối quan hệ giữa bán kính tác dụng và góc cực của các điểm thuộc hình.極（ごく）方程（ほうてい）式（しき） F(r, \(\theta\)) = 0 は、動径（どうけい）と偏角（へんかく）の関係（かんけい）から図形（ずけい）を記述（きじゅつ）します。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

a^2=b^2+c^2-2bc\cos A

Định lý côsin dùng để tính độ dài đoạn thẳng nối hai điểm trong mặt phẳng.

2辺（へん）とその挟（はさ）む角（かく）から対辺（たいへん）の長（なが）さを求（もと）める余弦（よげん）定理（ていり）。

S=\frac{1}{2}bc\sin A

Công thức tính diện tích tam giác theo hai cạnh và sin của góc kẹp giữa.

2辺（へん）の長（なが）さと挟（はさ）む角（かく）の正弦（せいげん）を用（もち）いて三角形（さんかくけい）の面積（めんせき）を計算（けいさん）する公式（こうしき）。

S=\frac{1}{2}r_1 r_2 |\sin(\theta_2-\theta_1)|

Công thức tính diện tích tam giác OAB có một đỉnh tại gốc cực O.

極（きょく）Oと2点（てん）A, Bがなす三角形（さんかくけい）OABの面積（めんせき）を求（もと）める極（ごく）座標（ざひょう）公式（こうしき）。

F(r, \theta)=0

Phương trình cực tổng quát biểu diễn tập hợp các điểm thuộc đường cong.

動径（どうけい）rと偏角（へんかく）\(\theta\)の関係（かんけい）として曲線（きょくせん）を定義（ていぎ）する極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）の一般（いっぱん）形（けい）。

EJU 2026 · MATH.16.3

Bài học cung cấp phương pháp tính độ dài đoạn thẳng và diện tích tam giác có đỉnh tại gốc cực trong hệ tọa độ cực.

本課（ほんか）では、極（ごく）座標（ざひょう）系（けい）における2点（てん）間（かん）の距離（きょり）および極（きょく）を頂点（ちょうてん）とする三角形（さんかくけい）の面積（めんせき）の計算（けいさん）方法（ほうほう）を学（まな）びます。

極（ごく）座標（ざひょう）における線分（せんぶん）の長（なが）さと三角形（さんかくけい）の面積（めんせき）
極座標余弦定理三角形の面積極方程式