Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Phương trình cực của đường tròn và đường bậc hai円（えん）と2次（じ）曲線（きょくせん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）

Công thức公式

r=2a\cos\theta
r=\frac{de}{1-e\cos\theta}
r=\frac{p}{1-e\cos\theta}
r=\sqrt{x^2+y^2}, \cos\theta=\frac{x}{r}, \sin\theta=\frac{y}{r}

Ví dụ例題

Cho đường tròn trong hệ tọa độ cực có phương trình \(r = 6 \cos (\theta)\). Cho biết đường tròn này có bán kính a bằng bao nhiêu và hãy chuyển phương trình này sang tọa độ vuông góc (x, y).

極（ごく）方程（ほうてい）式（しき） \(r = 6 \cos (\theta)\) で表（あらわ）される円（えん）があります。この円（えん）の半径（はんけい）aを求（もと）め、直交（ちょっこう）座標（ざひょう）(x, y)の方程（ほうてい）式（しき）に変換（へんかん）しなさい。

  1. So sánh với công thức r = 2a \(\cos (\theta)\), ta có 2a = 6 nên bán kính a = 3.公式（こうしき） r = 2a \(\cos (\theta)\) と比較（ひかく）すると、2a = 6 より半径（はんけい） a = 3 となります。
  2. Nhân hai vế của phương trình với r thu được \(r^{2} = 6\) \(r \cos (\theta)\).方程（ほうてい）式（しき）の両辺（りょうへん）に r を掛（か）けると \(r^{2} = 6\) \(r \cos (\theta)\) となります。
  3. Thay \(r^{2} = x^{2} + y^{2}\) và \(r \cos (\theta) = x\) ta được \(x^{2} + y^{2} = 6 x\), tương đương \((x - 3)^{2} + y^{2} = 9\).\(r^{2} = x^{2} + y^{2}\) および \(r \cos (\theta) = x\) を代入（だいにゅう）すると \(x^{2} + y^{2} = 6 x\)、すなわち \((x - 3)^{2} + y^{2} = 9\) となります。
Đường tròn có bán kính a = 3 và phương trình vuông góc là \((x - 3)^{2} + y^{2} = 9\).円（えん）の半径（はんけい）は a = 3 であり、直交（ちょっこう）座標（ざひょう）での方程（ほうてい）式（しき）は \((x - 3)^{2} + y^{2} = 9\) です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Trong hệ tọa độ cực, cho đường tròn có phương trình \(r = 4 \cos (\theta)\). Bán kính của đường tròn này là bao nhiêu?極（ごく）座標（ざひょう）系（けい）において、極（ごく）方程（ほうてい）式（しき） \(r = 4 \cos (\theta)\) で表（あらわ）される円（えん）の半径（はんけい）はいくらですか。

2. Cho phương trình cực đường bậc hai \(r = 2 / (1 - 0.5 \cos (\theta))\). Giá trị tâm sai e của đường bậc hai này là bao nhiêu?2次（じ）曲線（きょくせん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき） \(r = 2 / (1 - 0.5 \cos (\theta))\) が与（あた）えられています。この2次（じ）曲線（きょくせん）の離心（りしん）率（りつ）eの値（あたい）はいくらですか。

3. Phương trình vuông góc tương ứng của đường tròn cực \(r = 2 \cos (\theta)\) trong mặt phẳng (x, y) là gì?極（ごく）方程（ほうてい）式（しき） \(r = 2 \cos (\theta)\) に対応（たいおう）する直交（ちょっこう）座標（ざひょう）系（けい） (x, y) での方程（ほうてい）式（しき）は何（なん）ですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.16.3. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.16.3。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu và viết được phương trình cực của đường tròn qua gốc tọa độ.原点（げんてん）を通（とお）る半径（はんけい）aの円（えん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）を理解（りかい）し記述（きじゅつ）できること。
  2. Xác định phương trình cực của đường bậc hai theo tâm sai e.離心（りしん）率（りつ）eを用（もち）いた2次（じ）曲線（きょくせん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）を特定（とくてい）できること。
  3. Biến đổi linh hoạt giữa tọa độ cực và tọa độ vuông góc.極（ごく）座標（ざひょう）と直交（ちょっこう）座標（ざひょう）の相互（そうご）変換（へんかん）を柔軟（じゅうなん）に行（おこな）えること。
Trực giác · イメージ

Trực giác về phương trình cực của đường tròn và đường bậc hai円（えん）と2次（じ）曲線（きょくせん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）の直感（ちょっかん）的（てき）理解（りかい）

Thay vì dùng tọa độ vuông góc (x, y), hệ tọa độ cực mô tả vị trí qua khoảng cách r từ gốc và góc nghiêng \(\theta\). Điều này giúp phương trình đường tròn và đường bậc hai có dạng lượng giác rất gọn gàng.

直交（ちょっこう）座標（ざひょう）(x, y)の代（か）わりに、極（きょく）からの距離（きょり）rと偏角（へんかく）\(\theta\)で位置（いち）を表（あらわ）します。これにより、円（えん）や2次（じ）曲線（きょくせん）の式（しき）が三角（さんかく）関数（かんすう）を用（もち）いて非常（ひじょう）に簡潔（かんけつ）に表現（ひょうげん）できます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 円（えん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）phương trình cực của đường tròn

    Phương trình biểu diễn tập hợp các điểm thuộc đường tròn thông qua khoảng cách cực r và góc cực \(\theta\).

    極（きょく）からの距離（きょり）rと偏角（へんかく）\(\theta\)を用（もち）いて円上（えんじょう）の点（てん）の集合（しゅうごう）を表（あらわ）す方程（ほうてい）式（しき）です。

  • 2次（じ）曲線（きょくせん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）phương trình cực của đường bậc hai

    Phương trình biểu diễn các đường hình học như parabol, elip, hypebol bằng hệ tọa độ cực với tiêu điểm tại gốc.

    焦点（しょうてん）に極（きょく）を置（お）いた極（ごく）座標（ざひょう）系（けい）で放物（ほうぶつ）線（せん）、楕円（だえん）、双（そう）曲線（きょくせん）などの2次（じ）曲線（きょくせん）を表現（ひょうげん）する方程（ほうてい）式（しき）です。

  • 離心（りしん）率（りつ）tâm sai

    Tỉ số cố định e xác định hình dạng của đường bậc hai, phân loại thành elip, parabol hoặc hypebol.

    2次（じ）曲線（きょくせん）の形状（けいじょう）を決定（けってい）する定数（ていすう）比（ひ）eであり、楕円（だえん）、放物（ほうぶつ）線（せん）、双（そう）曲線（きょくせん）を分類（ぶんるい）します。

  • 焦点（しょうてん）tiêu điểm

    Điểm đặc biệt làm gốc tọa độ cực khi lập phương trình cực cho các đường bậc hai.

    2次（じ）曲線（きょくせん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）を立（た）てる際（さい）に極（きょく）として基準（きじゅん）になる特別（とくべつ）な点（てん）です。

  • 準線（じゅんせん）đường chuẩn

    Đường thẳng cố định dùng để định nghĩa đường bậc hai dựa trên tỉ số khoảng cách tới tiêu điểm.

    焦点（しょうてん）への距離（きょり）の比（ひ）に基（もと）づいて2次（じ）曲線（きょくせん）を定義（ていぎ）するために用（もち）いられる固定（こてい）された直線（ちょくせん）です。

  • 極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）phương trình cực

    Phương trình thể hiện mối quan hệ đại số giữa bán kính cực r và góc cực \(\theta\).

    極（ごく）径（けい）rと偏角（へんかく）\(\theta\)の間（あいだ）の代数（だいすう）的（てき）な関係（かんけい）を示（しめ）す方程（ほうてい）式（しき）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：円（えん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）の形式（けいしき）の特定（とくてい）

    Bước 1: Xác định dạng phương trình cực của đường tròn

    Nhận biết đường tròn đi qua gốc tọa độ có bán kính a và tâm trên trục cực. Sử dụng công thức r = 2a \(\cos (\theta)\) để biểu diễn.

    原点（げんてん）を通（とお）る半径（はんけい）aの円（えん）で、中心（ちゅうしん）が始線（しせん）上（じょう）にあることを確認（かくにん）します。公式（こうしき） r = 2a \(\cos (\theta)\) を用（もち）いて表現（ひょうげん）します。

  2. 02
    ステップ2：2次（じ）曲線（きょくせん）の離心（りしん）率（りつ）と準線（じゅんせん）パラメータの特定（とくてい）

    Bước 2: Xác định thông số tâm sai và đường chuẩn của đường bậc hai

    Xác định tâm sai e và khoảng cách d từ tiêu điểm đến đường chuẩn. Áp dụng dạng r = (d e) / \((1 - e \cos (\theta))\) hoặc \(r = p / (1 - e \cos (\theta))\).

    離心（りしん）率（りつ）eと焦点（しょうてん）から準線（じゅんせん）までの距離（きょり）dを特定（とくてい）します。形式（けいしき） r = (d e) / \((1 - e \cos (\theta))\) または \(r = p / (1 - e \cos (\theta))\) を適用（てきよう）します。

  3. 03
    ステップ3：極（ごく）座標（ざひょう）と直交（ちょっこう）座標（ざひょう）の間（あいだ）の相互（そうご）変換（へんかん）

    Bước 3: Chuyển đổi giữa tọa độ cực và tọa độ vuông góc

    Thay \(r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\) và \(\cos (\theta) = x / r\) để chuyển phương trình cực về dạng x, y. Thao tác này giúp xác định phương trình trong mặt phẳng Carte.

    \(r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\) および \(\cos (\theta) = x / r\) を代入（だいにゅう）して極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）をx, yの形式（けいしき）に変換（へんかん）します。これにより直交（ちょっこう）座標（ざひょう）系（けい）での方程（ほうてい）式（しき）を特定（とくてい）できます。

  4. 04
    ステップ4：定義（ていぎ）域（いき）と極（ごく）径（けい）の条件（じょうけん）の確認（かくにん）

    Bước 4: Kiểm tra điều kiện xác định và bán kính cực

    Đảm bảo bán kính r luôn không âm trong miền góc \(\theta\) xét. Kiểm tra các điểm đặc biệt tại \(\theta = 0\) và \(\theta = \pi / 2\).

    考察（こうさつ）する偏角（へんかく）\(\theta\)の範囲（はんい）で極（ごく）径（けい）rが常（つね）に非（ひ）負（ふ）であることを確認（かくにん）します。\(\theta = 0\) や \(\theta = \pi / 2\) での特別（とくべつ）な点（てん）を検証（けんしょう）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn giữa hệ số 2a trong công thức r = 2a \(\cos (\theta)\) với bán kính a của đường tròn.公式（こうしき） r = 2a \(\cos (\theta)\) における係数（けいすう） 2a を円（えん）の半径（はんけい） a と混同（こんどう）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn nhớ hệ số trước \(\cos (\theta)\) là đường kính (2a), do đó bán kính a thu được bằng cách chia hệ số này cho 2.\(\cos (\theta)\) の前（まえ）の係数（けいすう）は直径（ちょっけい）(2a)であるため、半径（はんけい） a はこの係数（けいすう）を2で割（わ）って求（もと）めることを常（つね）に覚（おぼ）えておきましょう。

Quên nhân r vào hai vế khi chuyển từ phương trình cực r = 2a \(\cos (\theta)\) sang tọa độ vuông góc.極（ごく）方程（ほうてい）式（しき） r = 2a \(\cos (\theta)\) から直交（ちょっこう）座標（ざひょう）に変換（へんかん）する際（さい）に、両辺（りょうへん）に r を掛（か）け忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Nhân cả hai vế với r để trực tiếp xuất hiện \(r^{2} = x^{2} + y^{2}\) và \(r \cos (\theta) = x\) giúp biến đổi chính xác.両辺（りょうへん）に r を掛（か）けることで \(r^{2} = x^{2} + y^{2}\) および \(r \cos (\theta) = x\) を直接（ちょくせつ）導き出（みちびきだ）し、正確（せいかく）に変換（へんかん）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Phương trình r = 2a \(\cos (\theta)\) biểu diễn đường tròn bán kính a đi qua gốc tọa độ.方程（ほうてい）式（しき） r = 2a \(\cos (\theta)\) は原点（げんてん）を通（とお）る半径（はんけい）aの円（えん）を表（あらわ）します。
  • Phương trình \(r = p / (1 - e \cos (\theta))\) biểu diễn đường bậc hai với tâm sai e có tiêu điểm tại gốc cực.方程（ほうてい）式（しき） \(r = p / (1 - e \cos (\theta))\) は極（きょく）を焦点（しょうてん）とし離心（りしん）率（りつ）eを持（も）つ2次（じ）曲線（きょくせん）を表現（ひょうげん）します。
  • Sử dụng mối liên hệ \(r^{2} = x^{2} + y^{2}\) và \(x = r \cos (\theta)\) để chuyển đổi linh hoạt giữa tọa độ cực và vuông góc.関係（かんけい）式（しき） \(r^{2} = x^{2} + y^{2}\) および \(x = r \cos (\theta)\) を用（もち）いて極（ごく）座標（ざひょう）と直交（ちょっこう）座標（ざひょう）を柔軟（じゅうなん）に変換（へんかん）します。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

r=2a\cos\theta

Phương trình cực của đường tròn bán kính a đi qua gốc tọa độ có tâm nằm trên trục cực.

始線（しせん）上（じょう）に中心（ちゅうしん）を持（も）ち原点（げんてん）を通（とお）る半径（はんけい）aの円（えん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）です。

r=\frac{de}{1-e\cos\theta}

Phương trình cực tổng quát của đường bậc hai với tiêu điểm tại gốc cực và tâm sai e.

極（きょく）を焦点（しょうてん）とし、離心（りしん）率（りつ）をeとする2次（じ）曲線（きょくせん）の一般（いっぱん）的（てき）な極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）です。

r=\frac{p}{1-e\cos\theta}

Dạng biểu diễn đơn giản của đường bậc hai với tham số tiêu p = d e.

焦（しょう）準（じゅん）パラメータ p = d e を用（もち）いた2次（じ）曲線（きょくせん）の簡潔（かんけつ）な極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）表現（ひょうげん）です。

r=\sqrt{x^2+y^2}, \cos\theta=\frac{x}{r}, \sin\theta=\frac{y}{r}

Các công thức liên hệ nền tảng để chuyển đổi giữa hệ tọa độ cực và tọa độ vuông góc.

極（ごく）座標（ざひょう）系（けい）と直交（ちょっこう）座標（ざひょう）系（けい）を相互（そうご）に変換（へんかん）するための基礎（きそ）的（てき）な関係（かんけい）式（しき）です。

EJU 2026 · MATH.16.3

Bài học giúp bạn nắm vững cách biểu diễn đường tròn và các đường bậc hai trong hệ tọa độ cực thông qua tâm sai, tiêu điểm và đường chuẩn. Bạn sẽ dễ dàng chuyển đổi và giải các bài toán hình học cực trong kỳ thi EJU.

本課（ほんか）では、離心（りしん）率（りつ）、焦点（しょうてん）、準線（じゅんせん）を用（もち）いて円（えん）や2次（じ）曲線（きょくせん）を極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）で表（あらわ）す方法（ほうほう）を学（まな）びます。EJU試験（しけん）における極（ごく）座標（ざひょう）の幾何（きか）問題（もんだい）をスムーズに解決（かいけつ）できるようになります。

円（えん）と2次（じ）曲線（きょくせん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）
円の極方程式2次曲線の極方程式離心率焦点