Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Độ dài đường cong và quãng đường Phần 1曲線（きょくせん）の長（なが）さと道（みち）のり 第（だい）1部（ぶ）

Công thức公式

Velocity v=t−1: signed area zero, total distance onev (m/s)t (s)1−1012−1/2+1/2
Ví dụ v(t)=t−1, t tính bằng s và v bằng m/s. Hai diện tích có dấu −1/2 và +1/2 cho độ dời \(l=0\) m; tổng độ lớn diện tích cho quãng đường \(s=1\) m. Khi v đổi dấu, phải tích phân |v| để tính quãng đường.例（れい）としてv(t)=t−1、tはs、vはm/s。符号（ふごう）付（つ）き面積（めんせき）−1/2と+1/2から位置（いち）の変化（へんか）は\(l=0\) m、面積（めんせき）の絶対（ぜったい）値（ち）の和（わ）から道（みち）のりは\(s=1\) m。vの符号（ふごう）が変（か）わる場合（ばあい）、道（みち）のりは|v|を積分（せきぶん）する。
L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt
L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx
x = x_1 + \int_{\alpha}^{t} v dt
l = \int_{\alpha}^{\beta} v dt
s = \int_{\alpha}^{\beta} |v| dt

Ví dụ例題

Tính độ dài L của đường cong y = \(\frac{2}{3}\) x^{\(\frac{3}{2}\)} trên đoạn từ x = 0 đến x = 3.

x = 0 から x = 3 までの区間（くかん）における曲線（きょくせん） y = \(\frac{2}{3}\) x^{\(\frac{3}{2}\)} の長（なが）さ L を求（もと）めます。

  1. Tính đạo hàm dy/dx = x^{\(\frac{1}{2}\)} = \(\sqrt{x}\).導（どう）関数（かんすう） dy/dx = x^{\(\frac{1}{2}\)} = \(\sqrt{x}\) を計算（けいさん）します。
  2. Lập biểu thức căn thức 1 + \(\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\) = 1 + x.根号（こんごう）内（ない）の式（しき） 1 + \(\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\) = 1 + x を作（つく）ります。
  3. Tính tích phân L = \(\int_{0}^{3}\) \(\sqrt{1 + x}\) dx = \(\left[ \frac{2}{3} (1 + x)^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{3}\).積分（せきぶん） L = \(\int_{0}^{3}\) \(\sqrt{1 + x}\) dx = \(\left[ \frac{2}{3} (1 + x)^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{3}\) を計算（けいさん）します。
  4. Thay cận x = 3 và x = 0 vào để thu được L = \(\frac{2}{3}\)(8 - 1) = \(\frac{14}{3}\).上端（じょうたん） x = 3 と下端（したば） x = 0 を代入（だいにゅう）して L = \(\frac{2}{3}\)(8 - 1) = \(\frac{14}{3}\) を得（え）ます。
Độ dài của đường cong là L = \(\frac{14}{3}\).求（もと）める曲線（きょくせん）の長（なが）さは L = \(\frac{14}{3}\) です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Sử dụng công thức L = \(\int_{a}^{b}\) \(\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\) dx, tính độ dài đường cong y = 2x trên đoạn từ x = 0 đến x = 2.公式（こうしき） L = \(\int_{a}^{b}\) \(\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\) dx を用（もち）いて、x = 0 から x = 2 までの直線（ちょくせん） y = 2x の長（なが）さ L を求（もと）めてください。

2. Cho đường cong tham số x = 3t, y = 4t. Sử dụng công thức L = \(\int_{\alpha}^{\beta}\) \(\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\) dt, độ dài đường cong từ t = 0 đến t = 2 là bao nhiêu?媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ） x = 3t, y = 4t で表（あらわ）される曲線（きょくせん）について、公式（こうしき） L = \(\int_{\alpha}^{\beta}\) \(\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\) dt を用（もち）いて t = 0 から t = 2 までの長（なが）さを求（もと）めてください。

3. Một chất điểm chuyển động với vận tốc v(t) = 3 trên đường thẳng. Nếu vị trí ban đầu tại t = 0 là x_1 = 1, hãy sử dụng công thức x = x_1 + \(\int_{\alpha}^{t}\) v dt để tìm vị trí x tại t = 3.直線（ちょくせん）上（じょう）を速度（そくど） v(t) = 3 で運動（うんどう）する質点（しつてん）があります。t = 0 での初期（しょき）位置（いち）が x_1 = 1 であるとき、公式（こうしき） x = x_1 + \(\int_{\alpha}^{t}\) v dt を用（もち）いて t = 3 での位置（いち） x を求（もと）めてください。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.20.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.20.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nắm vững công thức tính độ dài đường cong cho dạng hàm số y = f(x) và dạng tham số.関数（かんすう） y = f(x) 形（かたち）および媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）における曲線（きょくせん）の長（なが）さの計算（けいさん）公式（こうしき）を習得（しゅうとく）する。
  2. Phân biệt được quãng đường chuyển động và độ biến thiên vị trí dựa trên tích phân của vận tốc.速度（そくど）の積分（せきぶん）に基（もと）づいて、運動（うんどう）の道（みち）のりと位置（いち）の変化（へんか）量（りょう）の違（ちが）いを理解（りかい）する。
Trực giác · イメージ

Trực giác về độ dài đường cong và quãng đường曲線（きょくせん）の長（なが）さと道（みち）のりの直感（ちょっかん）

Độ dài đường cong được tạo nên từ tổng các đoạn vi phân nhỏ định lý Pythagoras. Quãng đường chuyển động là tổng chiều dài quỹ đạo mà vật thể đã đi qua theo thời gian.

曲線（きょくせん）の長（なが）さは三（さん）平方（へいほう）の定理（ていり）に基（もと）づく微小（びしょう）セグメントの無限（むげん）和（わ）として表（あらわ）されます。道（みち）のりは物体（ぶったい）が時間（じかん）とともに移動（いどう）した軌跡（きせき）の総（そう）延長（えんちょう）です。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 曲線（きょくせん）の長（なが）さđộ dài đường cong

    Chiều dài hình học của một đường cong được tính bằng tích phân của vi phân độ dài cung.

    弧（こ）長（ちょう）の微小（びしょう）要素（ようそ）の定積（ていせき）分（ぶん）によって求（もと）められる曲線（きょくせん）の幾何（きか）学（がく）的（てき）な長（なが）さ。

  • 道（みち）のりquãng đường

    Tổng chiều dài quỹ đạo thực tế mà một chất điểm di chuyển trong khoảng thời gian xác định.

    質点（しつてん）が特定（とくてい）の時間（じかん）区間（くかん）内（ない）に実際（じっさい）に移動（いどう）した軌道（きどう）全長（ぜんちょう）の総和（そうわ）。

  • 位置（いち）の変化（へんか）量（りょう）độ biến thiên vị trí

    Sự chênh lệch giữa tọa độ vị trí cuối và tọa độ vị trí đầu của chất điểm.

    質点（しつてん）の終点（しゅうてん）座標（ざひょう）と始点（してん）座標（ざひょう）の差（さ）を表（あらわ）すベクトルの変化（へんか）量（りょう）。

  • 速度（そくど）ベクトルvectơ vận tốc

    Vectơ có các thành phần là đạo hàm của tọa độ vị trí theo thời gian t.

    位置（いち）座標（ざひょう）の各（かく）成分（せいぶん）を時間（じかん） t で微分（びぶん）して得（え）られるベクトル。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：曲線（きょくせん）の表示（ひょうじ）形式（けいしき）の確認（かくにん）

    Bước 1: Xác định dạng biểu diễn của đường cong

    Kiểm tra xem đường cong được cho dưới dạng hàm số y = f(x) hay dạng tham số x(t), y(t).

    曲線（きょくせん）が関数（かんすう） y = f(x) 形（かたち）で与（あた）えられているか、媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ） x(t), y(t) 形（かたち）であるかを確認（かくにん）します。

  2. 02
    ステップ2：各（かく）成分（せいぶん）の微分（びぶん）の計算（けいさん）

    Bước 2: Tính đạo hàm của các thành phần tọa độ

    Tính đạo hàm dy/dx đối với hàm y = f(x) hoặc tính dx/dt và dy/dt đối với dạng tham số.

    関数（かんすう） y = f(x) では dy/dx を、媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）では dx/dt および dy/dt を計算（けいさん）します。

  3. 03
    ステップ3：被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）（根号（こんごう）式（しき））の立（りっ）式（しき）

    Bước 3: Lập biểu thức căn thức dưới tích phân

    Biến đổi biểu thức trong căn thức để làm xuất hiện dạng bình phương hoàn chỉnh nếu có thể.

    根号（こんごう）内（ない）の式（しき）を変形（へんけい）し、可能（かのう）であれば完全（かんぜん）平方（へいほう）の形（かたち）を作り出（つくりだ）して根号（こんごう）を外（はず）します。

  4. 04
    ステップ4：指定（してい）区間（くかん）での定（てい）積分（せきぶん）の計算（けいさん）

    Bước 4: Tính tích phân xác định trên khoảng cho trước

    Với chuyển động thẳng: \(l=\int_\alpha^\beta v(t)\,dt\) là độ dời, còn \(s=\int_\alpha^\beta|v(t)|\,dt\) là quãng đường. Ví dụ v(t)=t−1 trên [0,2]: hai diện tích có dấu −1/2 và +1/2 cho l=0, nhưng s=1. Với độ dài đường cong, dùng căn tổng bình phương đạo hàm.

    直線（ちょくせん）運動（うんどう）では\(l=\int_\alpha^\beta v(t)\,dt\)が位置（いち）の変化（へんか）、\(s=\int_\alpha^\beta|v(t)|\,dt\)が道（みち）のり。例（たと）えば[0,2]でv(t)=t−1なら符号（ふごう）付（つ）き面積（めんせき）は−1/2と+1/2でl=0だがs=1。曲線（きょくせん）の長（なが）さでは導（どう）関数（かんすう）の2乗（じょう）和（わ）の平方（へいほう）根（ね）を用（もち）いる。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn giữa quãng đường đi được và độ biến thiên vị trí khi vận tốc đổi dấu.速度（そくど）の符号（ふごう）が変（か）わる際（さい）に、道（みち）のりと位置（いち）の変化（へんか）量（りょう）を混同（こんどう）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Độ biến thiên vị trí lấy tích phân của v(t), trong khi quãng đường lấy tích phân của độ lớn vận tốc |v(t)|.位置（いち）の変化（へんか）量（りょう）は v(t) の定積（ていせき）分（ぶん）ですが、道（みち）のりは速度（そくど）の絶対（ぜったい）値（ち） |v(t)| の定積（ていせき）分（ぶん）となります。

Quên lấy bình phương các đạo thành phần trước khi cộng lại trong biểu thức căn thức.根号（こんごう）内（ない）の式（しき）で、各（かく）成分（せいぶん）の導（どう）関数（かんすう）を2乗（の）せずに足し合（たしあ）わせてしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn bình phương từng đạo hàm \((dx / dt)^{2}\) và \((dy / dt)^{2}\) trước khi lấy tổng dưới căn.根号（こんごう）内（ない）で和（わ）をとる前（まえ）に、必（かなら）ず各（かく）導（どう）関数（かんすう）を \((dx / dt)^{2}\) および \((dy / dt)^{2}\) のように2乗（の）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Tính độ dài đường cong bằng tích phân căn bậc hai tổng bình phương các đạo thành phần.各（かく）成分（せいぶん）の導（どう）関数（かんすう）の2乗（じょう）和（わ）の平方（へいほう）根（ね）を定（てい）積分（せきぶん）して曲線（きょくせん）の長（なが）さを計算（けいさん）する。
  • Phân biệt vị trí x(t), độ dời có dấu l và quãng đường không âm s; chỉ tích phân |v| mới cho tổng quãng đường khi vật đổi chiều.位置（いち）x(t)、符号（ふごう）付（つ）きの位置（いち）の変化（へんか）l、非（ひ）負（ふ）の道（みち）のりsを区別（くべつ）する。向（む）きが変（か）わる場合（ばあい）の総（そう）道（みち）のりは|v|の積分（せきぶん）で求（もと）める。
  • Áp dụng linh hoạt biểu thức dạng tham số hoặc dạng đồ thị hàm số y = f(x) phù hợp với đề bài.問題（もんだい）に応（おう）じて、媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）または関数（かんすう） y = f(x) のグラフ形式（けいしき）の公式（こうしき）を柔軟（じゅうなん）に適用（てきよう）する。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

Velocity v=t−1: signed area zero, total distance onev (m/s)t (s)1−1012−1/2+1/2
Ví dụ v(t)=t−1, t tính bằng s và v bằng m/s. Hai diện tích có dấu −1/2 và +1/2 cho độ dời \(l=0\) m; tổng độ lớn diện tích cho quãng đường \(s=1\) m. Khi v đổi dấu, phải tích phân |v| để tính quãng đường.例（れい）としてv(t)=t−1、tはs、vはm/s。符号（ふごう）付（つ）き面積（めんせき）−1/2と+1/2から位置（いち）の変化（へんか）は\(l=0\) m、面積（めんせき）の絶対（ぜったい）値（ち）の和（わ）から道（みち）のりは\(s=1\) m。vの符号（ふごう）が変（か）わる場合（ばあい）、道（みち）のりは|v|を積分（せきぶん）する。
L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt

Công thức tính độ dài đường cong biểu diễn dưới dạng tham số x(t) và y(t).

媒介（ばいかい）変数（へんすう） x(t), y(t) で表（あらわ）された曲線（きょくせん）の長（なが）さを求（もと）める公式（こうしき）。

L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx

Công thức tính độ dài đường cong cho đồ thị hàm số y = f(x) trên đoạn [a, b].

区間（くかん） [a, b] における関数（かんすう） y = f(x) のグラフの曲線（きょくせん）の長（なが）さを求（もと）める公式（こうしき）。

x = x_1 + \int_{\alpha}^{t} v dt

Công thức xác định vị trí x tại thời điểm t dựa vào vị trí ban đầu \(x_{1}\) và tích phân vận tốc.

初期（しょき）位置（いち） \(x_{1}\) と速度（そくど）の積分（せきぶん）から時刻（じこく） t における位置（いち） x を求（もと）める公式（こうしき）。

l = \int_{\alpha}^{\beta} v dt

Đây là độ dời có dấu \(l=x(\beta)-x(\alpha)\), không phải quãng đường nói chung; v(t) là vận tốc có dấu trên một trục.

これは符号（ふごう）付（つ）きの位置（いち）の変化（へんか）\(l=x(\beta)-x(\alpha)\)であり、一般（いっぱん）の道（みち）のりではない。v(t)は直線（ちょくせん）上（じょう）の符号（ふごう）付（つ）き速度（そくど）。

s = \int_{\alpha}^{\beta} |v| dt

Quãng đường s: tích phân tốc độ |v(t)| với α<β. Nếu v đổi dấu, chia khoảng tại các thời điểm v=0.

道（みち）のりsはα<βで速（はや）さ|v(t)|を積分（せきぶん）する。vの符号（ふごう）が変（か）わるときはv=0の時刻（じこく）で区間（くかん）を分（わ）ける。

EJU 2026 · MATH.20.2

Bài học này hướng dẫn phương pháp tính độ dài đường cong và quãng đường chuyển động của điểm trong mặt phẳng.

本課（ほんか）では、平面（へいめん）上（じょう）の曲線（きょくせん）の長（なが）さおよび点（てん）の運動（うんどう）による道（みち）のりを計算（けいさん）する方法（ほうほう）を解説（かいせつ）します。

曲線（きょくせん）の長（なが）さと道（みち）のり 第（だい）1部（ぶ）
曲線の長さ道のり位置の変化量速度ベクトル