Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Thể tích của khối tròn xoay Phần 2回転（かいてん）体（たい）の体積（たいせき） 第（だい）2部（ぶ）

Công thức公式

\sin 2x = 2 \sin x \cos x
\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}
\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}
\cos^3 \theta = \frac{\cos 3\theta + 3\cos \theta}{4}

Ví dụ例題

Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = \(\sin\) \(\theta\) (với 0 \(\le\) \(\theta\) \(\le\) \(\frac{\pi}{2}\)) xung quanh trục hoành.

y = \(\sin\) \(\theta\) (0 \(\le\) \(\theta\) \(\le\) \(\frac{\pi}{2}\)) で囲（かこ）まれた図形（ずけい）をx軸（じく）のまわりに1回転（かいてん）させてできる回転（かいてん）体（たい）の体積（たいせき）Vを求（もと）めます。

  1. Lập công thức tính thể tích: V = \(\pi\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\) \(\sin^2\) \(\theta\) d\(\theta\).体積（たいせき）の計算（けいさん）式（しき）を立（た）てます：V = \(\pi\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\) \(\sin^2\) \(\theta\) d\(\theta\)。
  2. Sử dụng công thức hạ bậc \(\sin^2\) \(\theta\) = \(\frac{1 - \cos 2\theta}{2}\) để thay vào tích phân.半角（はんかく）の公式（こうしき） \(\sin^2\) \(\theta\) = \(\frac{1 - \cos 2\theta}{2}\) を用（もち）いて積分（せきぶん）式（しき）に代入（だいにゅう）します。
  3. Lấy nguyên hàm thu được \(\left[ \frac{\theta}{2} - \frac{\sin 2\theta}{4} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\) = \(\frac{\pi}{4}\).原子（げんし）関数（かんすう）を求（もと）めて \(\left[ \frac{\theta}{2} - \frac{\sin 2\theta}{4} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\) = \(\frac{\pi}{4}\) を得（え）ます。
  4. Nhân kết quả với \(\pi\) thu được thể tích V = \(\frac{\pi^2}{4}\).結果（けっか）に \(\pi\) を掛（か）けて体積（たいせき） V = \(\frac{\pi^2}{4}\) を得（え）ます。
Thể tích khối tròn xoay cần tìm là V = \(\frac{\pi^2}{4}\).求（もと）める回転（かいてん）体（たい）の体積（たいせき）は V = \(\frac{\pi^2}{4}\) です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Sử dụng công thức \(\cos^2\) \(\theta\) = \(\frac{1 + \cos 2\theta}{2}\), hãy tính giá trị tích phân I = \(\int_{0}^{\pi}\) \(\cos^2\) \(\theta\) d\(\theta\).公式（こうしき） \(\cos^2\) \(\theta\) = \(\frac{1 + \cos 2\theta}{2}\) を用（もち）いて、定（てい）積分（せきぶん） I = \(\int_{0}^{\pi}\) \(\cos^2\) \(\theta\) d\(\theta\) の値（あたい）を求（もと）めてください。

2. Sử dụng công thức \(\sin\) 2x = 2 \(\sin\) x \(\cos\) x, tích phân J = \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\) \(\sin\) x \(\cos\) x dx có giá trị bằng bao nhiêu?公式（こうしき） \(\sin\) 2x = 2 \(\sin\) x \(\cos\) x を用（もち）いると、定（てい）積分（せきぶん） J = \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\) \(\sin\) x \(\cos\) x dx の値（あたい）はいくらになりますか。

3. Sử dụng công thức \(\cos^3\) \(\theta\) = \(\frac{\cos 3\theta + 3\cos \theta}{4}\), hãy tính giá trị tích phân K = \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\) \(\cos^3\) \(\theta\) d\(\theta\).公式（こうしき） \(\cos^3\) \(\theta\) = \(\frac{\cos 3\theta + 3\cos \theta}{4}\) を用（もち）いて、定（てい）積分（せきぶん） K = \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\) \(\cos^3\) \(\theta\) d\(\theta\) の値（あたい）を求（もと）めてください。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.20.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.20.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu cách áp dụng phương pháp tích phân đổi biến để tính thể tích khối tròn xoay.置換（ちかん）積分（せきぶん）法（ほう）を適用（てきよう）して回転（かいてん）体（たい）の体積（たいせき）を計算（けいさん）する方法（ほうほう）を理解（りかい）する。
  2. Biết cách biến đổi tích phân chứa các hàm lượng giác bằng các công thức góc bội.倍角（ばいかく）の公式（こうしき）を用（もち）いて三角（さんかく）関数（かんすう）を含（ふく）む積分（せきぶん）を形（かたち）変形（へんけい）する方法（ほうほう）を習得（しゅうとく）する。
Trực giác · イメージ

Trực giác về thể tích khối tròn xoay và đổi biến回転（かいてん）体（たい）の体積（たいせき）と置換（ちかん）積分（せきぶん）の直感（ちょっかん）

Khi quay một hình phẳng xung quanh một trục, thể tích khối tạo thành được tính bằng cách cộng các lát cắt hình tròn. Việc đổi biến giúp đơn giản hóa biểu thức tích phân phức tạp khi tính toán.

平面（へいめん）図形（ずけい）を軸（じく）のまわりに回転（かいてん）させるとき、できる立体（りったい）の体積（たいせき）は円形（えんけい）断面（だんめん）を積み重（つみかさ）ねて計算（けいさん）します。置換（ちかん）積分（せきぶん）を行（おこな）うことで、計算（けいさん）が複雑（ふくざつ）な積分（せきぶん）式（しき）を扱（あつか）いやすい形（かたち）に変換（へんかん）できます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 置換（ちかん）積分（せきぶん）法（ほう）phương pháp tích phân đổi biến

    Phương pháp thay đổi biến số tích phân để chuyển tích phân phức tạp về dạng cơ bản dễ tính toán hơn.

    積分（せきぶん）変数（へんすう）を置き換（おきか）えることで、複雑（ふくざつ）な積分（せきぶん）をより計算（けいさん）しやすい基本（きほん）形（けい）に変換（へんかん）する方法（ほうほう）。

  • 媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）biểu diễn tham số

    Cách biểu diễn tọa độ các điểm trên đường cong thông qua một biến trung gian gọi là tham số.

    曲線（きょくせん）上（じょう）のある点（てん）の座標（ざひょう）を、媒介（ばいかい）変数（へんすう）と呼（よ）ばれる仲介（ちゅうかい）変数（へんすう）を用（もち）いて表（あらわ）す方法（ほうほう）。

  • 双（そう）曲面（きょくめん）mặt hyperboloid

    Mặt tròn xoay sinh ra khi quay một đường hyperbol xung quanh trục đối xứng của nó.

    双（そう）曲線（きょくせん）をその対称（たいしょう）軸（じく）のまわりに回転（かいてん）させることで得（え）られる回転（かいてん）面（めん）。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：体積（たいせき）の積分（せきぶん）式（しき）の立（りっ）式（しき）

    Bước 1: Lập biểu thức tích phân thể tích

    Xác định mặt cắt hình tròn vuông góc với trục quay và viết công thức tích phân thể tích theo biến số thích hợp.

    回転（かいてん）軸（じく）に垂直（すいちょく）な円形（えんけい）断面（だんめん）を特定（とくてい）し、適切（てきせつ）な変数（へんすう）を用（もち）いて体積（たいせき）の積分（せきぶん）式（しき）を立（た）てます。

  2. 02
    ステップ2：置換（ちかん）積分（せきぶん）法（ほう）の適用（てきよう）

    Bước 2: Áp dụng phương pháp tích phân đổi biến

    Thực hiện đổi biến số và đổi cận tích phân tương ứng để đơn giản hóa biểu thức dưới dấu tích phân.

    変数（へんすう）を置換（ちかん）し、対応（たいおう）する積分（せきぶん）区間（くかん）を更新（こうしん）して被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）を単純（たんじゅん）化（か）します。

  3. 03
    ステップ3：三角（さんかく）関数（かんすう）の公式（こうしき）による変形（へんけい）

    Bước 3: Hạ bậc hoặc biến đổi bằng công thức lượng giác

    Sử dụng các công thức lượng giác như công thức hạ bậc để đưa tích phân về dạng tính được trực tiếp.

    半角（はんかく）・倍角（ばいかく）の公式（こうしき）などの三角（さんかく）公式（こうしき）を利用（りよう）して、直接（ちょくせつ）積分（せきぶん）可能（かのう）な形（かたち）に変形（へんけい）します。

  4. 04
    ステップ4：定（てい）積分（せきぶん）の計算（けいさん）と結論（けつろん）

    Bước 4: Tính giá trị tích phân và kết luận

    Tính giá trị của tích phân xác định và nhân với hằng số \(\pi\) để thu được thể tích khối tròn xoay.

    定（てい）積分（せきぶん）の値（あたい）を計算（けいさん）し、円周（えんしゅう）率（りつ）\(\pi\)を掛（か）けることで回転（かいてん）体（たい）の体積（たいせき）を求（もと）めます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên đổi cận tích phân khi thực hiện phương pháp tích phân đổi biến.置換（ちかん）積分（せきぶん）法（ほう）を行（おこな）う際（さい）に、積分（せきぶん）の端点（たんてん）（積分（せきぶん）区間（くかん））を更新（こうしん）するのを忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn luôn chuyển đổi giá trị cận theo biến số mới ngay sau khi đổi biến.変数（へんすう）を置換（ちかん）した直後（ちょくご）に、必（かなら）ず新（あたら）しい変数（へんすう）に対応（たいおう）する積分（せきぶん）区間（くかん）に書き換（かきか）えます。

Nhầm lẫn dấu khi sử dụng công thức hạ bậc cho \(\sin^2\) \(\theta\) và \(\cos^2\) \(\theta\).\(\sin^2\) \(\theta\) と \(\cos^2\) \(\theta\) の半角（はんかく）の公式（こうしき）を使（つか）う際（さい）に、符号（ふごう）を間違（まちが）えること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Ghi nhớ \(\sin^2\) \(\theta\) mang dấu trừ (1 - \(\cos\) 2\(\theta\))/2 còn \(\cos^2\) \(\theta\) mang dấu cộng (1 + \(\cos\) 2\(\theta\))/2.\(\sin^2\) \(\theta\) はマイナス符号（ふごう） (1 - \(\cos\) 2\(\theta\))/2、\(\cos^2\) \(\theta\) はプラス符号（ふごう） (1 + \(\cos\) 2\(\theta\))/2 であることを暗記（あんき）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Áp dụng phương pháp tích phân đổi biến để đơn giản hóa các biểu thức tích phân thể tích phức tạp.複雑（ふくざつ）な体積（たいせき）の積分（せきぶん）式（しき）を単純（たんじゅん）化（か）するために置換（ちかん）積分（せきぶん）法（ほう）を適用（てきよう）する。
  • Sử dụng linh hoạt các công thức góc bội lượng giác để hạ bậc và đưa hàm số về dạng lấy nguyên hàm cơ bản.三角（さんかく）関数（かんすう）の倍角（ばいかく）・半角（はんかく）公式（こうしき）を柔軟（じゅうなん）に利用（りよう）して次数（じすう）を下（さ）げ、基本（きほん）関数（かんすう）の積分（せきぶん）形（けい）に変形（へんけい）する。
  • Chú ý đổi cận tích phân tương ứng khi thực hiện đổi biến số để tránh sai sót kết quả.計算（けいさん）ミスを防（ふせ）ぐため、変数（へんすう）置換（ちかん）を行（おこな）う際（さい）には対応（たいおう）する積分（せきぶん）区間（くかん）を正（ただ）しく変更（へんこう）する。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\sin 2x = 2 \sin x \cos x

Công thức nhân đôi của hàm số sin, dùng để biến đổi tích của sin và cos.

正弦（せいげん）の2倍角（ばいかく）の公式（こうしき）。sinとcosの積（せき）を変形（へんけい）する際（さい）に使用（しよう）します。

\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}

Công thức hạ bậc cho bình phương của sin, giúp tính tích phân của sin^2(theta).

sinの2乗（のり）に対（たい）する半角（はんかく）の公式（こうしき）。sin^2(theta)の積分（せきぶん）を計算（けいさん）する際（さい）に役立（やくだ）ちます。

\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}

Công thức hạ bậc cho bình phương của cos, giúp tính tích phân của cos^2(theta).

cosの2乗（のり）に対（たい）する半角（はんかく）の公式（こうしき）。cos^2(theta)の積分（せきぶん）を計算（けいさん）する際（さい）に役立（やくだ）ちます。

\cos^3 \theta = \frac{\cos 3\theta + 3\cos \theta}{4}

Công thức biểu diễn cos mũ 3 theo \(\cos 3 \theta\) và costheta để tính tích phân bậc 3.

cosの3乗（のり）を\(\cos 3 \theta\)とcosthetaで表（あらわ）し、3次項（じこう）の積分（せきぶん）を計算（けいさん）可能（かのう）にする公式（こうしき）。

EJU 2026 · MATH.20.2

Bài học này giúp bạn tính thể tích khối tròn xoay bằng phương pháp tích phân đổi biến và biểu diễn tham số.

本課（ほんか）では、置換（ちかん）積分（せきぶん）法（ほう）と媒介（ばいかい）変数（へんすう）表示（ひょうじ）を用（もち）いて回転（かいてん）体（たい）の体積（たいせき）を計算（けいさん）する方法（ほうほう）を学（まな）びます。

回転（かいてん）体（たい）の体積（たいせき） 第（だい）2部（ぶ）
置換積分法媒介変数表示双曲面