Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Đồ thị hàm số và đường tiệm cận関数（かんすう）のグラフと漸近（ぜんきん）線（せん）

Công thức公式

f(-x) = f(x)
f(-x) = -f(x)
\lim_{x \to a+0} f(x) = \pm\infty
\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b

Ví dụ例題

Khảo sát tính đối xứng, tìm giao điểm với trục tung và các đường tiệm cận của hàm số \(f(x) = 2 / (x^{2} - 1)\).

関数（かんすう） \(f(x) = 2 / (x^{2} - 1)\) の対称（たいしょう）性（せい）、y軸（じく）との交点（こうてん）、および漸近（ぜんきん）線（せん）を求（もと）めなさい。

  1. Tính f(0) = 2/(0 - 1) = -2, vậy giao điểm với trục tung là điểm (0, -2). Tính \(f(-x) = 2 / ((-x)^{2} - 1) = 2 / (x^{2} - 1) = f(x)\), do đó hàm số là hàm số chẵn và đồ thị đối xứng qua trục tung.f(0) = 2/(0 - 1) = -2 より、y軸（じく）との交点（こうてん）は点（てん）(0, -2)です。\(f(-x) = 2 / ((-x)^{2} - 1) = 2 / (x^{2} - 1) = f(x)\) より、偶（たま）関数（かんすう）でありグラフはy軸（じく）に関（かん）して対称（たいしょう）です。
  2. Xét điểm gián đoạn x = 1, ta có \(\lim_{x \to 1+0}\) f(x) = +\(\infty\), do đó đường thẳng x = 1 (và do tính đối xứng nên x = -1) là các đường tiệm cận đứng.不（ふ）連続（れんぞく）点（てん）x = 1において \(\lim_{x \to 1+0}\) f(x) = +\(\infty\) となるため、直線（ちょくせん）x = 1（および対称（たいしょう）性（せい）よりx = -1）は垂直（すいちょく）漸近（ぜんきん）線（せん）です。
  3. Xét giới hạn khi x tiến ra vô cực: \(\lim_{x \to \pm\infty}\) f(x) = 0, do đó đường thẳng y = 0 (trục hoành) là đường tiệm cận ngang.xが無限（むげん）大（だい）に向（む）かう極限（きょくげん） \(\lim_{x \to \pm\infty}\) f(x) = 0 より、直線（ちょくせん）y = 0（x軸（じく））は水平（すいへい）漸近（ぜんきん）線（せん）です。
Đồ thị đối xứng qua trục tung, cắt trục tung tại (0, -2), có hai tiệm cận đứng x = 1, x = -1 và tiệm cận ngang y = 0.グラフはy軸（じく）に関（かん）して対称（たいしょう）で、y軸（じく）との交点（こうてん）は(0, -2)であり、垂直（すいちょく）漸近（ぜんきん）線（せん）x = 1, x = -1および水平（すいへい）漸近（ぜんきん）線（せん）y = 0を持（も）ちます。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho hàm số f(x) = 3/(x - 2). Tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số bằng cách tính giới hạn khi x tiến tới 2 từ bên phải.関数（かんすう） f(x) = 3/(x - 2) について、xが右側（みぎがわ）から2に近（ちか）づく極限（きょくげん）を計算（けいさん）し、垂直（すいちょく）漸近（ぜんきん）線（せん）を求（もと）めなさい。

2. Cho hàm số f(x) = (4x + 1)/(x + 2). Tính giới hạn \(\lim_{x \to +\infty}\) f(x) và xác định đường tiệm cận ngang.関数（かんすう） f(x) = (4x + 1)/(x + 2) について、極限（きょくげん） \(\lim_{x \to +\infty}\) f(x) を計算（けいさん）し、水平（すいへい）漸近（ぜんきん）線（せん）を求（もと）めなさい。

3. Xét tính đối xứng và tìm giao điểm với trục tung của hàm số \(f(x) = 1 / (x^{2} + 3)\).関数（かんすう） \(f(x) = 1 / (x^{2} + 3)\) の対称（たいしょう）性（せい）とy軸（じく）との交点（こうてん）を求（もと）めなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.19.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.19.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu và thực hiện các bước vẽ đồ thị hàm số.関数（かんすう）のグラフをかく手順（てじゅん）を理解（りかい）し実行（じっこう）できる。
  2. Xác định đường tiệm cận bằng cách tính giới hạn.極限（きょくげん）を計算（けいさん）して漸近（ぜんきん）線（せん）を求（もと）めることができる。
  3. Nhận biết tính đối xứng qua trục tung của hàm số chẵn.偶（たま）関数（かんすう）のy軸（じく）に関（かん）する対称（たいしょう）性（せい）を判定（はんてい）できる。
Trực giác · イメージ

Hình dung về đường tiệm cận và dáng điệu đồ thị漸近（ぜんきん）線（せん）とグラフの概形（がいけい）の直感（ちょっかん）的（てき）イメージ

Khi biến số x tiến dần đến một giá trị đặc biệt hoặc tiến ra vô cực, đồ thị hàm số sẽ tiến ngày càng gần một đường thẳng cố định nhưng không chạm vào. Đường thẳng đó chính là đường tiệm cận giúp ta phác họa chính xác dáng điệu của đồ thị.

変数（へんすう）xが特定（とくてい）の値（あたい）や無限（むげん）大（だい）に近（ちか）づくとき、関数（かんすう）のグラフはある直線（ちょくせん）に限（かぎ）りなく近（ちか）づきます。この直線（ちょくせん）が漸近（ぜんきん）線（せん）であり、グラフの概形（がいけい）を正確（せいかく）に描（えが）くための重要（じゅうよう）な指標（しひょう）となります。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 関数（かんすう）のグラフをかく手順（てじゅん）Các bước vẽ đồ thị hàm số

    Các bước vẽ đồ thị hàm số bao gồm tìm tập xác định, xét tính đối xứng, tìm giao điểm với các trục tọa độ và tìm các đường tiệm cận. Việc khảo sát sự biến thiên giúp xác định chính xác hình dạng đồ thị.

    関数（かんすう）のグラフをかく手順（てじゅん）には、定義（ていぎ）域（いき）の確認（かくにん）、対称（たいしょう）性（せい）の調査（ちょうさ）、座標（ざひょう）軸（じく）との交点（こうてん）および漸近（ぜんきん）線（せん）の導出（どうしゅつ）が含（ふく）まれます。変化（へんか）の様子（ようす）を調（しら）べることでグラフの正確（せいかく）な概形（がいけい）が得（え）られます。

  • 漸近（ぜんきん）線（せん）Đường tiệm cận

    Đường tiệm cận là đường thẳng mà đồ thị hàm số tiến sát lại gần khi x tiến đến một điểm gián đoạn hoặc tiến ra vô cực. Có đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang.

    漸近（ぜんきん）線（せん）とは、xが不（ふ）連続（れんぞく）点（てん）や無限（むげん）大（だい）に近（ちか）づくときにグラフが限（かぎ）りなく近（ちか）づく直線（ちょくせん）のことです。垂直（すいちょく）漸近（ぜんきん）線（せん）や水平（すいへい）漸近（ぜんきん）線（せん）が存在（そんざい）します。

  • 偶（たま）関数（かんすう）Hàm số chẵn

    Hàm số chẵn là hàm số thỏa mãn điều kiện f(-x) = f(x) với mọi x thuộc tập xác định. Đồ thị của hàm số chẵn luôn nhận trục tung làm trục đối xứng.

    偶（たま）関数（かんすう）とは、定義（ていぎ）域（いき）のすべてのxに対（たい）してf(-x) = f(x)を満（み）たす関数（かんすう）です。偶（たま）関数（かんすう）のグラフは常（つね）にy軸（じく）に関（かん）して対称（たいしょう）となります。

  • y軸（じく）に関（かん）して対称（たいしょう）Đối xứng qua trục tung

    Đối xứng qua trục tung nghĩa là nếu điểm (x, y) thuộc đồ thị thì điểm (-x, y) cũng thuộc đồ thị. Tính chất này xuất hiện ở các hàm số chẵn.

    y軸（じく）に関（かん）して対称（たいしょう）とは、点（てん）(x, y)がグラフ上（じょう）にあるとき点（てん）(-x, y)もグラフ上（じょう）にあることを意味（いみ）します。この性質（せいしつ）は偶（たま）関数（かんすう）において見（み）られます。

  • 漸近（ぜんきん）線（せん）の求（もと）め方（かた）Cách tìm đường tiệm cận

    Cách tìm đường tiệm cận dựa trên việc tính giới hạn của hàm số. Giới hạn khi x tiến đến điểm gián đoạn cho tiệm cận đứng, còn giới hạn khi x tiến ra vô cực cho tiệm cận ngang.

    漸近（ぜんきん）線（せん）の求（もと）め方（かた）は関数（かんすう）の極限（きょくげん）計算（けいさん）に基（もと）づきます。xが不（ふ）連続（れんぞく）点（てん）へ近（ちか）づく極限（きょくげん）から垂直（すいちょく）漸近（ぜんきん）線（せん）が、xが無限（むげん）大（だい）へ近（ちか）づく極限（きょくげん）から水平（すいへい）漸近（ぜんきん）線（せん）が得（え）られます。

  • y軸（じく）との交点（こうてん）Giao điểm với trục tung

    Giao điểm với trục tung là điểm trên đồ thị có hoành độ x = 0. Giá trị tung độ tương ứng được tính bằng f(0).

    y軸（じく）との交点（こうてん）とは、x = 0におけるグラフ上（じょう）の点（てん）のことです。対応（たいおう）するy座標（ざひょう）の値（あたい）はf(0)を計算（けいさん）することで求（もと）められます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：定義（ていぎ）域（いき）の確認（かくにん）とy軸（じく）との交点（こうてん）の導出（どうしゅつ）

    Bước 1: Tìm tập xác định và xét giao điểm với trục tung

    Xác định các giá trị của x làm hàm số xác định và tính f(0) để tìm giao điểm với trục tung nếu x = 0 thuộc tập xác định.

    関数（かんすう）が定義（ていぎ）されるxの範囲（はんい）を確認（かくにん）し、x = 0が定義（ていぎ）域（いき）に含（ふく）まれる場合（ばあい）はf(0)を計算（けいさん）してy軸（じく）との交点（こうてん）を求（もと）めます。

  2. 02
    ステップ2：偶（たま）奇（き）性（せい）と対称（たいしょう）性（せい）の確認（かくにん）

    Bước 2: Kiểm tra tính chẵn lẻ và đối xứng

    So sánh f(-x) với f(x) để kiểm tra tính chẵn lẻ. Nếu f(-x) = f(x), đồ thị hàm số đối xứng qua trục tung.

    f(-x)とf(x)を比較（ひかく）して偶（たま）奇（き）性（せい）を調（しら）べます。f(-x) = f(x)が成り立（なりた）つ場合（ばあい）、グラフはy軸（じく）に関（かん）して対称（たいしょう）となります。

  3. 03
    ステップ3：極限（きょくげん）による垂直（すいちょく）漸近（ぜんきん）線（せん）と水平（すいへい）漸近（ぜんきん）線（せん）の導出（どうしゅつ）

    Bước 3: Tìm đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang bằng giới hạn

    Tính giới hạn một bên khi x tiến đến điểm gián đoạn a để tìm tiệm cận đứng x = a. Tính giới hạn khi x tiến ra vô cực để tìm tiệm cận ngang y = b.

    xが不（ふ）連続（れんぞく）点（てん）aに近（ちか）づく片側（かたがわ）極限（きょくげん）を計算（けいさん）して垂直（すいちょく）漸近（ぜんきん）線（せん）x = aを求（もと）めます。xが無限（むげん）大（だい）に近（ちか）づく極限（きょくげん）を計算（けいさん）して水平（すいへい）漸近（ぜんきん）線（せん）y = bを求（もと）めます。

  4. 04
    ステップ4：漸近（ぜんきん）線（せん）とグラフの描画（びょうが）

    Bước 4: Tổng hợp và vẽ đường tiệm cận cùng đồ thị

    Vẽ các đường tiệm cận lên mặt phẳng tọa độ và đánh dấu giao điểm với trục tung. Phác họa đồ thị sao cho tiến sát các đường tiệm cận và thể hiện đúng tính đối xứng.

    漸近（ぜんきん）線（せん）を座標（ざひょう）平面（へいめん）上（じょう）に引（ひ）き、y軸（じく）との交点（こうてん）をプロットします。漸近（ぜんきん）線（せん）に近（ちか）づき対称（たいしょう）性（せい）を反映（はんえい）するようにグラフを描（えが）きます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn giữa tiệm cận đứng x = a và tiệm cận ngang y = b khi tính giới hạn.極限（きょくげん）計算（けいさん）時（じ）に垂直（すいちょく）漸近（ぜんきん）線（せん）x = aと水平（すいへい）漸近（ぜんきん）線（せん）y = bを混同（こんどう）してしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Nhớ rằng tiệm cận đứng xuất hiện khi x tiến đến số thực a làm f(x) tiến ra vô cực, còn tiệm cận ngang xuất hiện khi x tiến ra vô cực làm f(x) tiến đến hằng số b.垂直（すいちょく）漸近（ぜんきん）線（せん）はxが実数（じっすう）aに近（ちか）づきf(x)が無限（むげん）大（だい）になるとき、水平（すいへい）漸近（ぜんきん）線（せん）はxが無限（むげん）大（だい）に近（ちか）づきf(x)が定数（ていすう）bになるときに現（あらわ）れることを確認（かくにん）します。

Quên kiểm tra tính chẵn lẻ làm tăng khối lượng tính toán khi tìm các đường tiệm cận đứng.偶（たま）奇（き）性（せい）の確認（かくにん）を忘（わす）れ、垂直（すいちょく）漸近（ぜんきん）線（せん）を求（もと）める際（さい）の計算（けいさん）量（りょう）を無駄（むだ）に増（ふ）やしてしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Nếu xác định f(-x) = f(x), đồ thị đối xứng qua trục tung nên khi có tiệm cận đứng x = a ta suy ra ngay tiệm cận đứng x = -a.f(-x) = f(x)を確認（かくにん）できればグラフはy軸（じく）に関（かん）して対称（たいしょう）となるため、垂直（すいちょく）漸近（ぜんきん）線（せん）x = aから直（ただ）ちにx = -aも漸近（ぜんきん）線（せん）であると導（みちび）けます。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Các bước vẽ đồ thị hàm số cần kết hợp việc tìm giao điểm với trục tung và các đường tiệm cận.関数（かんすう）のグラフをかく手順（てじゅん）では、y軸（じく）との交点（こうてん）と漸近（ぜんきん）線（せん）の導出（どうしゅつ）を組み合（くみあ）わせることが重要（じゅうよう）です。
  • Hàm số chẵn thỏa mãn f(-x) = f(x) có đồ thị đối xứng qua trục tung.f(-x) = f(x)を満（み）たす偶（たま）関数（かんすう）のグラフはy軸（じく）に関（かん）して対称（たいしょう）となります。
  • Cách tìm đường tiệm cận dựa vào giới hạn: giới hạn tại điểm gián đoạn cho tiệm cận đứng, giới hạn ở vô cực cho tiệm cận ngang.漸近（ぜんきん）線（せん）の求（もと）め方（かた）は極限（きょくげん）に基（もと）づき、不（ふ）連続（れんぞく）点（てん）での極限（きょくげん）から垂直（すいちょく）漸近（ぜんきん）線（せん）、無限（むげん）大（だい）での極限（きょくげん）から水平（すいへい）漸近（ぜんきん）線（せん）が得（え）られます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

f(-x) = f(x)

Công thức xác định hàm số chẵn, có đồ thị đối xứng qua trục tung.

偶（たま）関数（かんすう）を定義（ていぎ）する公式（こうしき）であり、グラフはy軸（じく）に関（かん）して対称（たいしょう）となります。

f(-x) = -f(x)

Công thức xác định hàm số lẻ, thể hiện mối quan hệ giữa giá trị tại -x và x.

奇（き）関数（かんすう）を定義（ていぎ）する公式（こうしき）であり、-xとxにおける値（あたい）の関係（かんけい）を示（しめ）します。

\lim_{x \to a+0} f(x) = \pm\infty

Giới hạn bên phải tại x = a tiến ra vô cực, chứng tỏ đường thẳng x = a là tiệm cận đứng.

x = aにおける右側（みぎがわ）極限（きょくげん）が無限（むげん）大（だい）となるとき、直線（ちょくせん）x = aは垂直（すいちょく）漸近（ぜんきん）線（せん）となります。

\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b

Giới hạn của f(x) khi x tiến ra vô cực bằng b, chứng tỏ đường thẳng y = b là tiệm cận ngang.

xが無限（むげん）大（だい）に向（む）かうときのf(x)の極限（きょくげん）がbであるとき、直線（ちょくせん）y = bは水平（すいへい）漸近（ぜんきん）線（せん）となります。

EJU 2026 · MATH.19.2

Bài học này hướng dẫn các bước vẽ đồ thị hàm số và xác định đường tiệm cận dựa trên giới hạn. Bạn sẽ nắm vững cách tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tính đối xứng của hàm số.

この課（か）では、関数（かんすう）のグラフをかく手順（てじゅん）と極限（きょくげん）に基（もと）づく漸近（ぜんきん）線（せん）の求（もと）め方（かた）を解説（かいせつ）します。垂直（すいちょく）漸近（ぜんきん）線（せん）、水平（すいへい）漸近（ぜんきん）線（せん）、および関数（かんすう）の対称（たいしょう）性（せい）の調（しら）べ方（かた）をマスターします。

関数（かんすう）のグラフと漸近（ぜんきん）線（せん）
関数のグラフをかく手順漸近線偶関数y軸に関して対称