Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Tính lồi lõm và điểm uốn của đường cong曲線（きょくせん）の凹凸（おうとつ）と変曲（へんきょく）点（てん）

Công thức公式

f''(x) > 0
f''(x) < 0
f''(x_1) = 0
\frac{x + X}{2} = a, \frac{y + Y}{2} = b

Ví dụ例題

Cho hàm số \(f(x) = x^{3} - 3 x\). Hãy tìm hoành độ điểm uốn x1 của đồ thị hàm số và xét tính lồi lõm tại x = 2.

関数（かんすう） \(f(x) = x^{3} - 3 x\) について、変曲（へんきょく）点（てん）のx座標（ざひょう） x1 を求（もと）め、x = 2 における凹凸（おうとつ）を判定（はんてい）してください。

  1. Tính đạo hàm cấp một f'\((x) = 3 x^{2} - 3\) và đạo hàm cấp hai f''(x) = 6x.第（だい）1次（じ）導（どう）関数（かんすう） f'\((x) = 3 x^{2} - 3\) と第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう） f''(x) = 6x を計算（けいさん）します。
  2. Cho f''(x1) = 0 <=> 6x1 = 0 <=> x1 = 0. Vì f''(x) đổi dấu từ âm sang dương qua x = 0, nên x1 = 0 là hoành độ điểm uốn.f''(x1) = 0 より 6x1 = 0 となり、x1 = 0 を得（え）ます。f''(x)はx = 0を挟（はさ）んで負（ふ）から正（まさ）に符号（ふごう）を変（か）えるため、x1 = 0は変曲（へんきょく）点（てん）のx座標（ざひょう）です。
  3. Tại x = 2, ta có f''(2) = 6*2 = 12 > 0. Do đó đồ thị lồi xuống dưới tại x = 2.x = 2 において f''(2) = 6*2 = 12 > 0 となります。したがって、x = 2 ではグラフは下（した）に凸（とつ）です。
Hoành độ điểm uốn là x1 = 0, và đồ thị lồi xuống dưới tại x = 2.変曲（へんきょく）点（てん）のx座標（ざひょう）は x1 = 0 であり、x = 2 においてグラフは下（した）に凸（とつ）です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho hàm số \(f(x) = x^{3} - 6 x^{2}\). Hoành độ điểm uốn x1 của đồ thị hàm số thỏa mãn f''(x1) = 0 là bao nhiêu?関数（かんすう） \(f(x) = x^{3} - 6 x^{2}\) のグラフにおける変曲（へんきょく）点（てん）のx座標（ざひょう） x1 （f''(x1) = 0 を満（み）たす）はいくらですか。

2. Cho hàm số f(x) có f''(x) = 2x - 4. Với x > 2, khẳng định nào sau đây về đồ thị hàm số là đúng?関数（かんすう） f(x) の第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）が f''(x) = 2x - 4 であるとします。x > 2 におけるグラフの性質（せいしつ）として正（ただ）しいものはどれですか。

3. Điểm I(1, 3) là tâm đối xứng của hai điểm A(x, y) và B(X, Y). Theo công thức trung điểm, phương trình nào biểu diễn hoành độ a = 1?点（てん） I(1, 3) が2点（てん） A(x, y) と B(X, Y) の対称（たいしょう）中心（ちゅうしん）であるとします。中点（ちゅうてん）公式（こうしき）に基（もと）づき、x座標（ざひょう） a = 1 を表（あらわ）す式（しき）はどれですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.19.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.19.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Sử dụng dấu của đạo hàm cấp hai f''(x) để xét tính lồi lõm của đường cong.第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう） f''(x) の符号（ふごう）を用（もち）いて、曲線（きょくせん）の凹凸（おうとつ）を判定（はんてい）する。
  2. Xác định tọa độ điểm uốn và sử dụng công thức điểm trung điểm để kiểm tra tính đối xứng.変曲（へんきょく）点（てん）の座標（ざひょう）を特定（とくてい）し、中点（ちゅうてん）の公式（こうしき）を用（もち）いて対称（たいしょう）性（せい）を確認（かくにん）する。
Trực giác · イメージ

Trực giác về hình dáng đồ thị và sự thay đổi hệ số gócグラフの形状（けいじょう）と接線（せっせん）の傾（かたむ）きの変化（へんか）に関（かん）する直感（ちょっかん）

Tính lồi lõm của đường cong phản ánh sự thay đổi của hệ số góc tiếp tuyến khi x tăng. Điểm uốn là điểm mà tại đó đồ thị chuyển từ lồi sang lõm hoặc ngược lại.

曲線（きょくせん）の凹凸（おうとつ）は、xが増加（ぞうか）するときの接線（せっせん）の傾（かたむ）きの変化（へんか）を表（あらわ）しています。変曲（へんきょく）点（てん）は、グラフが上（うえ）に凸（とつ）から下（した）に凸（とつ）へ、またはその逆（ぎゃく）に切り替（きりか）わる点（てん）です。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 曲線（きょくせん）の凹凸（おうとつ）Tính lồi lõm của đường cong

    Tính lồi lõm của đường cong mô tả dạng uốn cong của đồ thị hàm số trên từng khoảng. Nó được xác định bởi dấu của đạo hàm cấp hai.

    曲線（きょくせん）の凹凸（おうとつ）は、各（かく）区間（くかん）における関数（かんすう）グラフの曲（ま）がり具合（ぐあい）を記述（きじゅつ）します。これは第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）の符号（ふごう）によって決定（けってい）されます。

  • 変曲（へんきょく）点（てん）Điểm uốn

    Điểm uốn là điểm trên đường cong mà tại đó tính lồi lõm thay đổi. Tại điểm uốn x1, đạo hàm cấp hai f''(x1) bằng 0 và đổi dấu qua x1.

    変曲（へんきょく）点（てん）とは、曲線（きょくせん）の凹凸（おうとつ）が入れ替（いれか）わる直線（ちょくせん）上（じょう）の点（てん）です。変曲（へんきょく）点（てん）x1では、第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）f''(x1)が0となり、符号（ふごう）が変化（へんか）します。

  • 下（した）に凸（とつ）Lồi xuống dưới

    Đường cong lồi xuống dưới khi đạo hàm cấp hai dương, tức là hệ số góc tiếp tuyến tăng dần khi x tăng. Đồ thị nằm phía trên các tiếp tuyến của nó.

    第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）が正（せい）のとき、曲線（きょくせん）は下（した）に凸（とつ）となります。これはxが増加（ぞうか）するにつれて接線（せっせん）の傾（かたむ）きが増加（ぞうか）することを意味（いみ）します。

  • 上（うえ）に凸（とつ）Lồi lên trên

    Đường cong lồi lên trên khi đạo hàm cấp hai âm, nghĩa là hệ số góc tiếp tuyến giảm dần khi x tăng. Đồ thị nằm phía dưới các tiếp tuyến của nó.

    第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）が負（ふ）のとき、曲線（きょくせん）は上（うえ）に凸（とつ）となります。これはxが増加（ぞうか）するにつれて接線（せっせん）の傾（かたむ）きが減少（げんしょう）することを意味（いみ）します。

  • 接線（せっせん）の傾（かたむ）きHệ số góc của tiếp tuyến

    Hệ số góc của tiếp tuyến được cho bởi đạo hàm cấp một f'(x). Đạo hàm cấp hai f''(x) chính là tốc độ thay đổi của hệ số góc tiếp tuyến.

    接線（せっせん）の傾（かたむ）きは第（だい）1次（じ）導（どう）関数（かんすう）f'(x)によって与（あた）えられます。第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）f''(x)は、接線（せっせん）の傾（かたむ）きの変化（へんか）率（りつ）を表（あらわ）します。

  • 凹凸（おうとつ）の判定（はんてい）Xét tính lồi lõm

    Xét tính lồi lõm là quá trình tính f''(x) và lập bảng xét dấu để phân loại các khoảng lồi lên trên hoặc lồi xuống dưới.

    凹凸（おうとつ）の判定（はんてい）とは、f''(x)を計算（けいさん）して符号（ふごう）の表（ひょう）を作成（さくせい）し、上（うえ）に凸（とつ）または下（した）に凸（とつ）の区間（くかん）を分類（ぶんるい）するプロセスです。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：第（だい）1次（つぎ）および第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）の計算（けいさん）

    Bước 1: Tính đạo hàm cấp một và cấp hai

    Tính f'(x) để xác định hệ số góc tiếp tuyến, sau đó tính f''(x) để phục vụ việc xét tính lồi lõm.

    接線（せっせん）の傾（かたむ）きを求（もと）めるためにf'(x)を計算（けいさん）し、次（つぎ）に凹凸（おうとつ）の判定（はんてい）のためにf''(x)を計算（けいさん）します。

  2. 02
    ステップ2：f''(x) = 0の解（かい）の導出（どうしゅつ）と符号（ふごう）判定（はんてい）

    Bước 2: Tìm các nghiệm của f''(x) = 0 và xét dấu

    Giải phương trình f''(x) = 0 để tìm các điểm nghi ngờ là điểm uốn. Lập bảng xét dấu của f''(x) trên các khoảng xác định.

    方程（ほうてい）式（しき）f''(x) = 0を解（と）いて変曲（へんきょく）点（てん）の候補（こうほ）を求（もと）めます。定義（ていぎ）域（いき）全体（ぜんたい）でf''(x)の符号（ふごう）を表（ひょう）にまとめます。

  3. 03
    ステップ3：凹凸（おうとつ）区間（くかん）と変曲（へんきょく）点（てん）座標（ざひょう）の結論（けつろん）

    Bước 3: Kết luận khoảng lồi lõm và tọa độ điểm uốn

    Khoảng có f''(x) > 0 là lồi xuống dưới, f''(x) < 0 là lồi lên trên. Điểm mà f''(x) đổi dấu qua đó là điểm uốn của đồ thị.

    f''(x) > 0の区間（くかん）は下（した）に凸（とつ）、f''(x) < 0の区間（くかん）は上（うえ）に凸（とつ）となります。f''(x)の符号（ふごう）が変化（へんか）する点（てん）がグラフの変曲（へんきょく）点（てん）です。

  4. 04
    ステップ4：中点（ちゅうてん）公式（こうしき）による対称（たいしょう）性（せい）の確認（かくにん）

    Bước 4: Kiểm tra tính đối xứng qua công thức trung điểm

    Nếu đồ thị đối xứng qua điểm (a, b), áp dụng công thức (x + X)/2 = a và (y + Y)/2 = b để xác định quan hệ tọa độ.

    グラフが点（てん）(a, b)に関（かん）して対称（たいしょう）である場合（ばあい）、中点（ちゅうてん）公式（こうしき） (x + X)/2 = a, (y + Y)/2 = b を適用（てきよう）して座標（ざひょう）の関係（かんけい）を確認（かくにん）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn rằng mọi điểm thỏa mãn f''(x1) = 0 đều là điểm uốn.f''(x1) = 0 を満（み）たすすべての点（てん）が変曲（へんきょく）点（てん）であると誤解（ごかい）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Điểm x1 chỉ là điểm uốn khi f''(x) thực sự đổi dấu khi đi qua x1.x1が変曲（へんきょく）点（てん）となるのは、x1を通過（つうか）するときにf''(x)の符号（ふごう）が実際（じっさい）に変化（へんか）する場合（ばあい）のみです。

Nhầm lẫn giữa đồ thị lồi lên trên (f''(x) < 0) và lồi xuống dưới (f''(x) > 0).上（うえ）に凸（とつ）（f''(x) < 0）と下（した）に凸（とつ）（f''(x) > 0）の条件（じょうけん）を混同（こんどう）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Đạo hàm cấp hai dương (f''(x) > 0) ứng với đồ thị lồi xuống dưới, đạo hàm cấp hai âm (f''(x) < 0) ứng với đồ thị lồi lên trên.第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）が正（せい）（f''(x) > 0）は下（した）に凸（とつ）、負（ふ）（f''(x) < 0）は上（うえ）に凸（とつ）に対応（たいおう）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Để xét tính lồi lõm của đường cong, ta xác định dấu của đạo hàm cấp hai f''(x): dương là lồi xuống dưới, âm là lồi lên trên.曲線（きょくせん）の凹凸（おうとつ）を判定（はんてい）するには、第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう） f''(x) の符号（ふごう）を同定（どうてい）し、正（せい）であれば下（した）に凸（とつ）、負（ふ）であれば上（うえ）に凸（とつ）と結論（けつろん）づけます。
  • Để tìm điểm uốn, ta xác định nghiệm của f''(x1) = 0 và kiểm tra xem f''(x) có đổi dấu qua điểm đó hay không.変曲（へんきょく）点（てん）を見（み）つけるには f''(x1) = 0 となる候補（こうほ）点（てん）を求（もと）めたうえで、f''(x) の符号（ふごう）がその前後（ぜんご）で変化（へんか）することを確認（かくにん）します。
  • Sử dụng công thức trung điểm (x + X)/2 = a, (y + Y)/2 = b để kiểm tra chính xác tâm đối xứng và quan hệ giữa các tọa độ tương ứng.中点（ちゅうてん）公式（こうしき） (x + X)/2 = a, (y + Y)/2 = b を用（もち）いて、グラフの対称（たいしょう）中心（ちゅうしん）や対応（たいおう）する座標（ざひょう）の関係（かんけい）を正（ただ）しく確認（かくにん）します。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

f''(x) > 0

Điều kiện để đồ thị hàm số lồi xuống dưới trên một khoảng.

ある区間（くかん）において関数（かんすう）のグラフが下（した）に凸（とつ）であるための条件（じょうけん）です。

f''(x) < 0

Điều kiện để đồ thị hàm số lồi lên trên trên một khoảng.

ある区間（くかん）において関数（かんすう）のグラフが上（うえ）に凸（とつ）であるための条件（じょうけん）です。

f''(x_1) = 0

Điều kiện cần để x1 là hoành độ điểm uốn của đồ thị hàm số.

x1が関数（かんすう）グラフの変曲（へんきょく）点（てん）のx座標（ざひょう）であるための必要（ひつよう）条件（じょうけん）です。

\frac{x + X}{2} = a, \frac{y + Y}{2} = b

Công thức tọa độ trung điểm (a, b) của đoạn thẳng nối hai điểm (x, y) và (X, Y), dùng để xác định tâm đối xứng.

2点（てん）(x, y)と(X, Y)を結（むす）ぶ線分（せんぶん）の中点（ちゅうてん）(a, b)の公式（こうしき）であり、対称（たいしょう）中心（ちゅうしん）を決定（けってい）するために使用（しよう）されます。

EJU 2026 · MATH.19.2

Bài học này hướng dẫn xét tính lồi lõm và tìm điểm uốn của đường cong thông qua đạo hàm cấp hai. Bạn sẽ nắm vững cách xác định khoảng lồi lên trên, lồi xuống dưới và điểm đối xứng của đồ thị.

この課（か）では、第（だい）2次（じ）導（どう）関数（かんすう）を用（もち）いて曲線（きょくせん）の凹凸（おうとつ）を調（しら）べ、変曲（へんきょく）点（てん）を求（もと）める方法（ほうほう）を学習（がくしゅう）します。上（うえ）に凸（とつ）、下（した）に凸（とつ）の区間（くかん）やグラフの対称（たいしょう）点（てん）を正確（せいかく）に特定（とくてい）する力（ちから）を養（やしな）います。

曲線（きょくせん）の凹凸（おうとつ）と変曲（へんきょく）点（てん）
曲線の凹凸変曲点下に凸上に凸