Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Hàm số ngược của hàm số mũ và hàm số logarit指数（しすう）関数（かんすう）・対数（たいすう）関数（かんすう）の逆（ぎゃく）関数（かんすう）

Công thức公式

y = log_{a}(x) <=> x = a^{y}
(g ∘ f)(x) = g(f(x))
f ∘ g ≠ g ∘ f
(f^{-1} ∘ f)(x) = x

Ví dụ例題

Cho hàm số f(x) = 2^{x} có tập xác định là R và tập giá trị là y > 0, và hàm số g(x) = log_{2}(x) với x > 0. Hãy tìm hàm số ngược f^{-1}(x) và tính giá trị của (g ∘ f)(3).

実数（じっすう）全体（ぜんたい）を定義（ていぎ）域（いき）とし y > 0 を値域（ちいき）とする関数（かんすう） f(x) = 2^{x} と、x > 0 を定義（ていぎ）域（いき）とする g(x) = log_{2}(x) が与（あた）えられています。逆（ぎゃく）関数（かんすう） f^{-1}(x) を求（もと）め、(g ∘ f)(3) の値（あたい）を計算（けいさん）しなさい。

  1. Đặt y = 2^{x}, suy ra x = log_{2}(y). Đổi vai trò biến x và y thu được hàm số ngược f^{-1}(x) = log_{2}(x) với tập xác định x > 0.y = 2^{x} とおくと、x = log_{2}(y) となります。変数（へんすう） x と y を入れ替（いれか）えることで、定義（ていぎ）域（いき） x > 0 における逆（ぎゃく）関数（かんすう） f^{-1}(x) = log_{2}(x) が得（え）られます。
  2. Áp dụng công thức hàm số hợp (g ∘ f)(x) = g(f(x)). Tính \(f(3) = 2^{3} = 8\).合成（ごうせい）関数（かんすう）の公式（こうしき） (g ∘ f)(x) = g(f(x)) を適用（てきよう）します。まず \(f(3) = 2^{3} = 8\) を計算（けいさん）します。
  3. Thay giá trị vào g(8) = log_{2}(8) = 3. Kết quả này khớp với tính chất (f^{-1} ∘ f)(3) = 3.値（あたい）を代入（だいにゅう）して g(8) = log_{2}(8) = 3 を得（え）ます。この結果（けっか）は (f^{-1} ∘ f)(3) = 3 の性質（せいしつ）とも一致（いっち）します。
Vậy hàm số ngược là f^{-1}(x) = log_{2}(x) và giá trị của (g ∘ f)(3) là 3.したがって、逆（ぎゃく）関数（かんすう）は f^{-1}(x) = log_{2}(x) であり、(g ∘ f)(3) の値（あたい）は 3 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho hàm số \(f(x) = 3^{x}\). Hàm số ngược \(f^{-1} (x)\) có biểu thức và tập xác định là gì?関数（かんすう） \(f(x) = 3^{x}\) の逆（ぎゃく）関数（かんすう） \(f^{-1} (x)\) の式（しき）と定義（ていぎ）域（いき）として正（ただ）しいものはどれか。

2. Cho f(x) = x + 2 và \(g(x) = 2^{x}\). Giá trị của (g ∘ f)(1) là bao nhiêu?f(x) = x + 2, \(g(x) = 2^{x}\) のとき、(g ∘ f)(1) の値（あたい）はいくらか。

3. Cho hàm số f(x) = log_{2}(x) với x > 0. Biểu thức của (f^{-1} ∘ f)(4) bằng bao nhiêu?関数（かんすう） f(x) = log_{2}(x)（x > 0）について、(f^{-1} ∘ f)(4) の値（あたい）はいくらか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.17.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.17.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nắm vững định nghĩa hàm số ngược và mối quan hệ giữa y = log_{a}(x) và x = a^{y}.逆（ぎゃく）関数（かんすう）の定義（ていぎ）および y = log_{a}(x) と x = a^{y} の関係（かんけい）を理解（りかい）する。
  2. Hiểu cách tính hàm số hợp (g ∘ f)(x) = g(f(x)) và tính chất không có tính giao hoán f ∘ g ≠ g ∘ f.合成（ごうせい）関数（かんすう） (g ∘ f)(x) = g(f(x)) の計算（けいさん）方法（ほうほう）と f ∘ g ≠ g ∘ f という非（ひ）可換（かかん）性（せい）を理解（りかい）する。
  3. Vận dụng tính chất (\(f^{-1}\) ∘ f)(x) = x và xác định đúng tập xác định, tập giá trị khi đổi vai trò x và y.(\(f^{-1}\) ∘ f)(x) = x の性質（せいしつ）を適用（てきよう）し、x と y を入れ替（いれか）える際（さい）の定義（ていぎ）域（いき）と値域（ちいき）を正（ただ）しく特定（とくてい）する。
Trực giác · イメージ

Phép biến đổi ngược và sự kết hợp hàm số逆（ぎゃく）変換（へんかん）と関数（かんすう）の合成（ごうせい）

Hàm số ngược giống như một thao tác hoán đổi vị trí giữa đầu vào và đầu ra của hàm số ban đầu. Khi ta thực hiện hàm số hợp của một hàm số và hàm số ngược của nó, kết quả sẽ đưa ta trở lại giá trị ban đầu x. Tập xác định của hàm số ban đầu chính là tập giá trị của hàm số ngược và ngược lại.

逆（ぎゃく）関数（かんすう）は、元（もと）の関数（かんすう）の入力（にゅうりょく）と出力（しゅつりょく）を入れ替（いれか）える操作（そうさ）のようなものです。ある関数（かんすう）とその逆（ぎゃく）関数（かんすう）を合成（ごうせい）すると、元（もと）の値（あたい） x に戻（もど）ります。元（もと）の関数（かんすう）の定義（ていぎ）域（いき）は逆（ぎゃく）関数（かんすう）の値域（ちいき）となり、その逆（ぎゃく）も成り立（なりた）ちます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 逆（ぎゃく）関数（かんすう）hàm số ngược

    Hàm số ngược của f thu được bằng cách đổi vai trò của biếu thức x và y trong phương trình y = f(x).

    逆（ぎゃく）関数（かんすう）とは、方程（ほうてい）式（しき） y = f(x) における x と y の役割（やくわり）を入れ替（いれか）えて得（え）られる関数（かんすう）です。

  • 定義（ていぎ）域（いき）tập xác định

    Tập xác định là tập hợp tất cả các giá trị x mà tại đó hàm số được xác định.

    定義（ていぎ）域（いき）とは、関数（かんすう）が定義（ていぎ）されるすべての x の値（あたい）の集合（しゅうごう）です。

  • 値域（ちいき）tập giá trị

    Tập giá trị là tập hợp tất cả các giá trị y thu được tương ứng với tập xác định.

    値域（ちいき）とは、定義（ていぎ）域（いき）に対応（たいおう）して関数（かんすう）がとり得（え）るすべての y の値（あたい）の集合（しゅうごう）です。

  • 合成（ごうせい）関数（かんすう）hàm số hợp

    Hàm số hợp của f và g thực hiện tính f(x) trước, sau đó lấy kết quả làm đầu vào cho g để tính g(f(x)).

    合成（ごうせい）関数（かんすう）とは、まず f(x) を計算（けいさん）し、その結果（けっか）を入力（にゅうりょく）として g(f(x)) を計算（けいさん）する関数（かんすう）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：x と y を入れ替（いれか）える

    Bước 1: Hoán đổi vai trò của x và y

    Từ phương trình y = f(x), ta đổi vị trí để viết thành x theo y. Điều này tương ứng với việc hoán đổi tập xác định và tập giá trị.

    方程（ほうてい）式（しき） y = f(x) から、x を y の式（しき）として表（あらわ）すように入れ替（いれか）えます。これは定義（ていぎ）域（いき）と値域（ちいき）の入れ替（いれか）えに対応（たいおう）します。

  2. 02
    ステップ2：指数（しすう）と対数（たいすう）の相互（そうご）変換（へんかん）

    Bước 2: Chuyển đổi giữa mũ và logarit

    Áp dụng mối quan hệ y = log_{a}(x) <=> x = a^{y} để biểu diễn hàm số ngược. Cơ số a luôn thỏa mãn a > 0 và a ≠ 1.

    関係（かんけい）式（しき） y = log_{a}(x) <=> x = a^{y} を適用（てきよう）して逆（ぎゃく）関数（かんすう）を表（あらわ）します。底（そこ） a は常（つね）に a > 0 かつ a ≠ 1 を満（み）たします。

  3. 03
    ステップ3：合成（ごうせい）関数（かんすう）の計算（けいさん）

    Bước 3: Tính toán hàm số hợp

    Thay biểu thức f(x) vào vị trí biến của g để thu được (g ∘ f)(x) = g(f(x)). Lưu ý rằng thứ tự thực hiện hàm số là rất quan trọng.

    g の変数（へんすう）部分（ぶぶん）に f(x) の式（しき）を代入（だいにゅう）して (g ∘ f)(x) = g(f(x)) を求（もと）めます。関数（かんすう）の適用（てきよう）順序（じゅんじょ）が極（きわ）めて重要（じゅうよう）です。

  4. 04
    ステップ4：恒等（こうとう）性（せい）の検証（けんしょう）

    Bước 4: Kiểm tra tính chất đồng nhất

    Thử lại phép hợp giữa hàm số ngược và hàm số ban đầu để xác nhận (\(f^{-1}\) ∘ f)(x) = x.

    逆（ぎゃく）関数（かんすう）と元（もと）の関数（かんすう）の合成（ごうせい）を行（おこな）い、(\(f^{-1}\) ∘ f)(x) = x が成り立（なりた）つことを確認（かくにん）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn rằng (f ∘ g)(x) luôn bằng (g ∘ f)(x) cho mọi cặp hàm số.すべての関数（かんすう）の組（くみ）に対（たい）して (f ∘ g)(x) と (g ∘ f)(x) が常（つね）に equal であると誤解（ごかい）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Ngoại trừ trường hợp hàm số ngược, phép hợp hàm số nói chung không có tính giao hoán, nghĩa là f ∘ g ≠ g ∘ f.逆（ぎゃく）関数（かんすう）の場合（ばあい）を除（のぞ）き、合成（ごうせい）関数（かんすう）は一般（いっぱん）に非（ひ）可換（かかん）であり、f ∘ g ≠ g ∘ f です。

Quên đổi tập xác định thành tập giá trị khi xác định hàm số ngược.逆（ぎゃく）関数（かんすう）を求（もと）める際（さい）、元（もと）の関数（かんすう）の定義（ていぎ）域（いき）と値域（ちいき）の入れ替（いれか）えを忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Tập xác định của hàm số ban đầu trở thành tập giá trị của hàm số ngược, và tập giá trị của hàm số ban đầu trở thành tập xác định của hàm số ngược.元（もと）の関数（かんすう）の定義（ていぎ）域（いき）は逆（ぎゃく）関数（かんすう）の値域（ちいき）になり、元（もと）の関数（かんすう）の値域（ちいき）は逆（ぎゃく）関数（かんすう）の定義（ていぎ）域（いき）になります。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Quan hệ mũ và logarit: y = log_{a}(x) tương đương x = a^{y}, biểu diễn hai hàm số ngược của nhau.指数（しすう）と対数（たいすう）の関係（かんけい）：y = log_{a}(x) は x = a^{y} と同値（どうち）であり、互（たが）いに逆（ぎゃく）関数（かんすう）を表（あらわ）します。
  • Tập xác định và tập giá trị hoán đổi vị trí cho nhau khi chuyển sang hàm số ngược.逆（ぎゃく）関数（かんすう）に移行（いこう）する際（さい）、定義（ていぎ）域（いき）と値域（ちいき）の位置（いち）が互（たが）いに入れ替（いれか）わります。
  • Phép hợp hàm số (g ∘ f)(x) = g(f(x)) nói chung không giao hoán, ngoại trừ tính chất (\(f^{-1}\) ∘ f)(x) = x.合成（ごうせい）関数（かんすう） (g ∘ f)(x) = g(f(x)) は一般（いっぱん）に非（ひ）可換（かかん）ですが、(\(f^{-1}\) ∘ f)(x) = x の性質（せいしつ）が成り立（なりた）ちます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

y = log_{a}(x) <=> x = a^{y}

Công thức thể hiện hàm số logarit y = log_{a}(x) là hàm số ngược của hàm số mũ x = a^{y}.

対数（たいすう）関数（かんすう） y = log_{a}(x) が指数（しすう）関数（かんすう） x = a^{y} の逆（ぎゃく）関数（かんすう）であることを示（しめ）す公式（こうしき）です。

(g ∘ f)(x) = g(f(x))

Công thức định nghĩa hàm số hợp, tác động f trước rồi đến g.

合成（ごうせい）関数（かんすう）の定義（ていぎ）式（しき）であり、先（さき）に f を作用（さよう）させ、次（つぎ）に g を作用（さよう）させます。

f ∘ g ≠ g ∘ f

Phép hợp hàm số nói chung không có tính chất giao hoán, thứ tự kết hợp làm thay đổi kết quả.

合成（ごうせい）関数（かんすう）は一般（いっぱん）に非（ひ）可換（かかん）であり、合成（ごうせい）の順序（じゅんじょ）を変（か）えると結果（けっか）が変（か）わります。

(f^{-1} ∘ f)(x) = x

Khi thực hiện hàm số ngược lên kết quả của f(x), ta thu lại chính biến số x ban đầu.

f(x) の結果（けっか）に逆（ぎゃく）関数（かんすう）を作用（さよう）させると、元（もと）の変数（へんすう） x に戻（もど）ります。

EJU 2026 · MATH.17.2

Bài học này giúp bạn hiểu mối quan hệ giữa hàm số mũ và hàm số logarit thông qua khái niệm hàm số ngược và hàm số hợp. Bạn sẽ nắm vững cách chuyển đổi qua lại giữa định nghĩa logarit và số mũ để giải toán.

この課（か）では、逆（ぎゃく）関数（かんすう）と合成（ごうせい）関数（かんすう）の概念（がいねん）を通（とお）して指数（しすう）関数（かんすう）と対数（たいすう）関数（かんすう）の関係（かんけい）を理解（りかい）します。対数（たいすう）の定義（ていぎ）と指数（しすう）の相互（そうご）変換（へんかん）をマスターし、問題（もんだい）解決（かいけつ）に役立（やくだ）てます。

指数（しすう）関数（かんすう）・対数（たいすう）関数（かんすう）の逆（ぎゃく）関数（かんすう）
逆関数定義域値域合成関数