Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Phép biến hình trên mặt phẳng số phức bởi hàm số関数（かんすう）による複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）の変換（へんかん）

Công thức公式

w = f(z) = z + (p + qi)
w = f(z) = (\cos\theta + i\sin\theta)z
w = f(z) = (\cos\theta + i\sin\theta)(z - \alpha) + \alpha
w = f(z) = kz

Ví dụ例題

Cho điểm z = 1 + i trên mặt phẳng số phức. Tìm điểm ảnh w của z qua phép quay quanh gốc tọa độ một góc \(\theta = \pi / 2\).

複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）の点（てん）z = 1 + iについて、原点（げんてん）を中心（ちゅうしん）に角度（かくど）θ = π / 2だけ回転（かいてん）させる変換（へんかん）による像（ぞう）wを求（もと）めなさい。

  1. Sử dụng công thức phép quay quanh gốc tọa độ \(w = (\cos (\pi / 2) + i\cdot \sin (\pi / 2))\cdot z\). Do \(\cos (\pi / 2) = 0\) và \(\sin (\pi / 2) = 1\) nên biểu thức đơn giản thành w = i*z.原点（げんてん）中心（ちゅうしん）の回転（かいてん）公式（こうしき）w = (cos(π/2) + i*sin(π/2))*zを使用（しよう）します。cos(π/2) = 0, sin(π/2) = 1よりw = i*zと簡略（かんりゃく）化（か）されます。
  2. Thay z = 1 + i vào công thức ta có w = i*(1 + i).z = 1 + iを代入（だいにゅう）すると、w = i*(1 + i)が得（え）られます。
  3. Tính tích \(i\cdot (1 + i) = i + i^{2} = -1 + i\). Vậy điểm ảnh là w = -1 + i.乗算（じょうざん）\(i\cdot (1 + i) = i + i^{2} = -1 + i\)を計算（けいさん）します。したがって像（ぞう）となる点（てん）はw = -1 + iです。
Điểm z = 1 + i sau khi quay góc \(\pi / 2\) quanh gốc tọa độ trở thành w = -1 + i.点（てん）z = 1 + iを原点（げんてん）中心（ちゅうしん）にπ/2回転（かいてん）させた像（ぞう）はw = -1 + iとなります。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Tìm điểm ảnh w của điểm z = 2 + 3i qua phép tịnh tiến theo công thức w = z + (1 - 2i).点（てん）z = 2 + 3iを平行（へいこう）移動（いどう）公式（こうしき）w = z + (1 - 2i)によって移動（いどう）させた像（ぞう）wを求（もと）めなさい。

2. Cho điểm z = 2. Thực hiện phép đồng dạng tâm gốc tọa độ tỉ số k = 3 theo công thức w = kz. Tìm w.点（てん）z = 2に対（たい）し、公式（こうしき）w = kzに従（したが）って原点（げんてん）中心（ちゅうしん）・倍率（ばいりつ）k = 3の相似（そうじ）変換（へんかん）を行（おこな）います。wを求（もと）めなさい。

3. Cho điểm z = 2 + i và tâm quay \(\alpha = 1\). Sử dụng công thức \(w = (\cos (\pi) + i\cdot \sin (\pi))\cdot (z - \alpha) + \alpha\) để tìm điểm ảnh w sau phép quay góc \(\pi\).点（てん）z = 2 + iおよび回転（かいてん）の中心（ちゅうしん）α = 1に対（たい）し、公式（こうしき）w = (cos(π) + i*sin(π))*(z - α) + αを用（もち）いて角（かく）πだけ回転（かいてん）させた像（ぞう）wを求（もと）めなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.15.3. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.15.3。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu bản chất của phép biến hình và ánh xạ trên mặt phẳng số phức.複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）における変換（へんかん）と写像（しゃぞう）の概念（がいねん）を理解（りかい）する。
  2. Nắm vững công thức số phức biểu diễn phép tịnh tiến, phép quay và phép đồng dạng.平行（へいこう）移動（いどう）、回転（かいてん）、相似（そうじ）変換（へんかん）を表（あらわ）す複素（ふくそ）数（すう）公式（こうしき）を習得（しゅうとく）する。
  3. Xác định được tọa độ điểm ảnh qua các phép biến hình hàm số đơn giản.簡単（かんたん）な関数（かんすう）による変換（へんかん）を通（とお）して像（ぞう）となる点（てん）の座標（ざひょう）を決定（けってい）できる。
Trực giác · イメージ

Phép biến hình là các phép toán số phức tác động lên điểm変換（へんかん）は点（てん）に作用（さよう）する複素（ふくそ）数（すう）演算（えんざん）である

Cộng một số phức tương ứng với phép tịnh tiến, nhân với số phức có môđun bằng 1 tương ứng với phép quay. Phép biến hình biến mỗi điểm z thành điểm ảnh w qua hàm số f(z).

複素（ふくそ）数（すう）の加算（かさん）は平行（へいこう）移動（いどう）を表（あらわ）し、絶対（ぜったい）値（ち）1の複素（ふくそ）数（すう）の乗算（じょうざん）は回転（かいてん）を表（あらわ）します。変換（へんかん）は関数（かんすう）f(z)を介（かい）して各点（かくてん）zを像（ぞう）wに映し出（うつしだ）します。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）の変換（へんかん）phép biến hình trên mặt phẳng số phức

    Phép biến hình trên mặt phẳng số phức là quy tắc biến mỗi điểm z thành điểm w thông qua một hàm số w = f(z). Qui tắc này giúp mô phỏng chuyển động hình học bằng số phức.

    複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）の変換（へんかん）とは、関数（かんすう）w = f(z)によって各点（かくてん）zを点（てん）wに移（うつ）す規則（きそく）のことです。この規則（きそく）により図形（ずけい）の幾何（きか）学（がく）的（てき）移動（いどう）を複素（ふくそ）数（すう）で表現（ひょうげん）できます。

  • 写像（しゃぞう）ánh xạ

    Ánh xạ là quan hệ tương ứng ứng với mỗi điểm z trên mặt phẳng phức một điểm w duy nhất. Đây là nền tảng lý thuyết cho các phép biến hình hàm số.

    写像（しゃぞう）とは、複素（ふくそ）平面（へいめん）上（じょう）の各点（かくてん）zに対（たい）して唯一（ゆいいつ）の点（てん）wを対応（たいおう）させる関係（かんけい）のことです。関数（かんすう）による変換（へんかん）理論（りろん）の基礎（きそ）となります。

  • 逆（ぎゃく）変換（へんかん）phép biến hình ngược

    Phép biến hình ngược là phép biến hình đưa điểm ảnh w trở lại điểm ban đầu z. Phép này được xác định bằng hàm ngược \(z = f^{-1} (w)\).

    逆（ぎゃく）変換（へんかん）とは、像（ぞう）である点（てん）wを元（もと）の点（てん）zへと戻（もど）す変換（へんかん）のことです。逆（ぎゃく）関数（かんすう）\(z = f^{-1} (w)\)によって定義（ていぎ）されます。

  • 平行（へいこう）移動（いどう）phép tịnh tiến

    Phép tịnh tiến dịch chuyển mọi điểm z theo một vectơ số phức cố định p + qi. Công thức biểu diễn của phép tịnh tiến là w = z + (p + qi).

    平行（へいこう）移動（いどう）は、すべての点（てん）zを一定（いってい）の複素（ふくそ）数（すう）ベクトルp + qiだけ移動（いどう）させる変換（へんかん）です。数式（すうしき）はw = z + (p + qi)と表（あらわ）されます。

  • 回転（かいてん）phép quay

    Phép quay quanh tâm một góc \(\theta\) làm quay điểm z quanh tâm chọn trước. Khi quay quanh gốc tọa độ, công thức là \(w = (\cos \theta + i \sin \theta) z\).

    回転（かいてん）は、指定（してい）された中心（ちゅうしん）のまわりに点（てん）zを角度（かくど）θだけ回転（かいてん）させる変換（へんかん）です。原点（げんてん）中心（ちゅうしん）の場合（ばあい）の公式（こうしき）はw = (cosθ + i sinθ)zとなります。

  • 相似（そうじ）変換（へんかん）phép đồng dạng

    Phép đồng dạng làm thay đổi khoảng cách theo một tỉ lệ k dương mà giữ nguyên hình dạng. Công thức cơ bản tâm tại gốc tọa độ là w = kz.

    相似（そうじ）変換（へんかん）は、図形（ずけい）の形状（けいじょう）を保（たも）ったまま距離（きょり）を正（せい）の比率（ひりつ）k倍（ばい）に拡大（かくだい）縮小（しゅくしょう）する変換（へんかん）です。原点（げんてん）中心（ちゅうしん）の基本（きほん）公式（こうしき）はw = kzです。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    変換（へんかん）の種類（しゅるい）を特定（とくてい）する

    Xác định dạng phép biến hình

    Nhận diện phép biến hình là phép tịnh tiến, phép quay hay phép đồng dạng dựa vào dạng hàm số f(z). Việc này giúp chọn đúng công thức tính toán.

    関数（かんすう）f(z)の形（かたち）から、変換（へんかん）が平行（へいこう）移動（いどう）、回転（かいてん）、相似（そうじ）変換（へんかん）のいずれであるかを識別（しきべつ）します。これにより正（ただ）しい計算（けいさん）公式（こうしき）を選択（せんたく）できます。

  2. 02
    複素（ふくそ）数（すう）表示（ひょうじ）の公式（こうしき）を適用（てきよう）する

    Áp dụng công thức biểu diễn số phức

    Thay tọa độ điểm gốc z và các tham số góc quay hoặc số phức tịnh tiến vào công thức w = f(z). Cần chú ý tâm quay nếu phép quay không quanh gốc tọa độ.

    元（もと）の点（てん）zと回転（かいてん）角（かく）や移動（いどう）ベクトルなどのパラメータを公式（こうしき）w = f(z)に代入（だいにゅう）します。原点（げんてん）以外（いがい）の回転（かいてん）では回転（かいてん）の中心（ちゅうしん）に注意（ちゅうい）が必要（ひつよう）です。

  3. 03
    計算（けいさん）を実行（じっこう）し像（ぞう）の点（てん）を決定（けってい）する

    Thực hiện phép tính và kết luận điểm ảnh

    Thực hiện phép nhân và cộng số phức để tìm tọa độ thực và ảo của w. Kết quả thu được là tọa độ của điểm ảnh sau phép biến hình.

    複素（ふくそ）数（すう）の乗算（じょうざん）および加算（かさん）を実行（じっこう）してwの実部（じつぶ）と虚部（きょぶ）を求（もと）めます。得（え）られた結果（けっか）が変換（へんかん）後（ご）の像（ぞう）の座標（ざひょう）となります。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên trừ tâm quay \(\alpha\) khi áp dụng công thức quay quanh một điểm khác gốc tọa độ.原点（げんてん）以外（いがい）の点（てん）を中心（ちゅうしん）とする回転（かいてん）で、回転（かいてん）中心（ちゅうしん）αを引（ひ）くのを忘（わす）れてしまう。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn dịch chuyển tâm quay về gốc tọa độ bằng cách lấy \(z - \alpha\) trước khi nhân với số phức quay.回転（かいてん）の複素（ふくそ）数（すう）を掛（か）ける前（まえ）に、必（かなら）ずz - αの計算（けいさん）により回転（かいてん）中心（ちゅうしん）を原点（げんてん）に移動（いどう）させます。

Nhầm lẫn giữa phép tịnh tiến và phép quay trong biểu thức phức.複素（ふくそ）数（すう）表示（ひょうじ）において平行（へいこう）移動（いどう）と回転（かいてん）の演算（えんざん）を混同（こんどう）してしまう。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Nhớ rằng phép tịnh tiến là phép cộng số phức w = z + c, còn phép quay là phép nhân với số phức dạng lượng giác.平行（へいこう）移動（いどう）は加算（かさん）w = z + cであり、回転（かいてん）は極（ごく）形式（けいしき）の複素（ふくそ）数（すう）の乗算（じょうざん）であることを明確（めいかく）に区別（くべつ）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Phép tịnh tiến biểu diễn bằng phép cộng số phức w = z + (p + qi).平行（へいこう）移動（いどう）は複素（ふくそ）数（すう）の加算（かさん）w = z + (p + qi)で表（あらわ）されます。
  • Phép quay quanh tâm \(\alpha\) góc \(\theta\) biểu diễn bằng nhân số phức dạng lượng giác sau khi tịnh tiến tâm về gốc.中心（ちゅうしん）αのまわりの回転（かいてん）θは、中心（ちゅうしん）を原点（げんてん）に移動（いどう）させたのち極（ごく）形式（けいしき）の複素（ふくそ）数（すう）を乗算（じょうざん）することで表（あらわ）されます。
  • Phép đồng dạng tâm gốc tọa độ tỉ số k biểu diễn bằng phép nhân môđun w = kz.原点（げんてん）中心（ちゅうしん）・倍率（ばいりつ）kの相似（そうじ）変換（へんかん）は絶対（ぜったい）値（ち）の乗算（じょうざん）w = kzで表（あらわ）されます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

w = f(z) = z + (p + qi)

Công thức phép tịnh tiến điểm z theo vectơ số phức p + qi. Phép biến hình này giữ nguyên hướng và kích thước của mọi hình.

点（てん）zを複素（ふくそ）数（すう）ベクトルp + qiだけ平行（へいこう）移動（いどう）させる公式（こうしき）です。この変換（へんかん）はすべての図形（ずけい）の向（む）きと大（おお）きさを保（たも）ちます。

w = f(z) = (\cos\theta + i\sin\theta)z

Công thức phép quay điểm z quanh gốc tọa độ O một góc \(\theta\). Phép biến hình này bảo toàn khoảng cách đến gốc tọa độ.

点（てん）zを原点（げんてん）Oを中心（ちゅうしん）に角度（かくど）θだけ回転（かいてん）させる公式（こうしき）です。この変換（へんかん）は原点（げんてん）からの距離（きょり）を保存（ほぞん）します。

w = f(z) = (\cos\theta + i\sin\theta)(z - \alpha) + \alpha

Công thức phép quay điểm z quanh tâm \(\alpha\) một góc \(\theta\). Phép toán thực hiện tịnh tiến về gốc, quay rồi tịnh tiến ngược lại.

点（てん）zを中心（ちゅうしん）αのまわりに角度（かくど）θだけ回転（かいてん）させる公式（こうしき）です。原点（げんてん）への移動（いどう）、回転（かいてん）、および元（もと）への移動（いどう）を合成（ごうせい）した演算（えんざん）です。

w = f(z) = kz

Công thức phép vị tự (phép phóng to thu nhỏ) tâm gốc tọa độ tỉ số k. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm ảnh gấp k lần khoảng cách ban đầu.

原点（げんてん）を中心（ちゅうしん）とする倍率（ばいりつ）kの相似（そうじ）拡大（かくだい）・縮小（しゅくしょう）を表（あらわ）す公式（こうしき）です。原点（げんてん）から像（ぞう）までの距離（きょり）は元（もと）の距離（きょり）のk倍（ばい）になります。

EJU 2026 · MATH.15.3

Bài học này trình bày các phép biến hình cơ bản trên mặt phẳng số phức bằng hàm số. Bạn sẽ học cách biểu diễn phép tịnh tiến, phép quay và phép đồng dạng qua công thức số phức.

本課（ほんか）では関数（かんすう）を用（もち）いた複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）の基本（きほん）的（てき）な変換（へんかん）を解説（かいせつ）します。平行（へいこう）移動（いどう）、回転（かいてん）、相似（そうじ）変換（へんかん）を複素（ふくそ）数（すう）数式（すうしき）で表現（ひょうげん）する方法（ほうほう）を学（まな）びます。

関数（かんすう）による複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）の変換（へんかん）
複素数平面上の変換写像逆変換平行移動