Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm bên ngoài đến elip外部（がいぶ）の点（てん）から引（ひ）いた楕円（だえん）への2接線（せっせん）

Công thức公式

\frac{x_1x}{16}+\frac{y_1y}{4}=1
x+2\sqrt{3}y=8
y_1y=2p(x+x_1)
FQ=FP

Ví dụ例題

Cho elip \(x^{2} / 16 + y^{2} / 4 = 1\). Một tiếp tuyến đi qua điểm A(8, 0). Hãy xác định tiếp điểm có tung độ dương và viết phương trình tiếp tuyến.

楕円（だえん） \(x^{2} / 16 + y^{2} / 4 = 1\) を考（かんが）えます。外部（がいぶ）の点（てん） A(8, 0) を通（とお）る接線（せっせん）について、y座標（ざひょう）が正（せい）の接点（せってん）を求（もと）め、接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）を書（か）きなさい。

  1. Thay A(8, 0) vào phương trình tiếp tuyến (x1*x)/16 + (y1*y)/4 = 1, ta được x1 = 2.接線（せっせん）の式（しき） (x1*x)/16 + (y1*y)/4 = 1 に A(8, 0) を代入（だいにゅう）すると、x1 = 2 が得（え）られます。
  2. Vì tiếp điểm nằm trên elip, \(2^{2} / 16 + y 1^{2} / 4 = 1\) nên y1 = ±√3; chọn tung độ dương y1 = √3.接点（せってん）は楕円（だえん）上（じょう）にあるので、\(2^{2} / 16 + y 1^{2} / 4 = 1\) より y1 = ±√3 です。正（せい）の値（あたい） y1 = √3 を選（えら）びます。
  3. Thế (x1, y1) = (2, √3) vào công thức tiếp tuyến rồi nhân hai vế với 8, ta được x + 2√3y = 8.(x1, y1) = (2, √3) を接線（せっせん）の式（しき）に代入（だいにゅう）し、両辺（りょうへん）を8倍（ばい）すると x + 2√3y = 8 となります。
Tiếp điểm phía trên là (2, √3), và tiếp tuyến tương ứng là x + 2√3y = 8.上側（うえがわ）の接点（せってん）は (2, √3) で、対応（たいおう）する接線（せっせん）は x + 2√3y = 8 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Tiếp tuyến của elip tại (x1, y1) có dạng (x1*x)/16 + (y1*y)/4 = 1. Nếu tiếp tuyến này đi qua điểm bên ngoài (8, 0), hoành độ tiếp điểm x1 bằng bao nhiêu?楕円（だえん）上（じょう）の点（てん）(x1, y1)における接線（せっせん） (x1*x)/16 + (y1*y)/4 = 1 が外部（がいぶ）の点（てん）(8, 0)を通（とお）るとき、接点（せってん）のx座標（ざひょう） x1 はいくらですか。

2. Đường thẳng nào sau đây tương đương với x + 2√3y = 8?次（つぎ）の直線（ちょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）のうち、x + 2√3y = 8 と同値（どうち）なものはどれですか。

3. Thay p = 2, x1 = 1, y1 = 4 và giữ phương trình ở dạng chưa chia 4y = ax + b. Hệ số a bằng bao nhiêu?p = 2、x1 = 1、y1 = 4 を代入（だいにゅう）し、両辺（りょうへん）を割（わ）らずに 4y = ax + b の形（かたち）で表（あらわ）すとき、係数（けいすう） a はいくらですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.16.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.16.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Lập phương trình tiếp tuyến của elip khi biết tiếp tuyến đi qua một điểm bên ngoài.外部（がいぶ）の点（てん）を通（とお）る楕円（だえん）の接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）を導出（どうしゅつ）する。
  2. Xác định tọa độ tiếp điểm và phương trình tiếp tuyến của parabol.接点（せってん）の座標（ざひょう）および放物（ほうぶつ）線（せん）の接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）を決定（けってい）する。
  3. Nắm vững tính chất khoảng cách từ tiêu điểm FQ = FP trong sơ đồ phản xạ.反射（はんしゃ）モデルにおける焦点（しょうてん）からの距離（きょり）の性質（せいしつ） FQ = FP を理解（りかい）する。
Trực giác · イメージ

Trực giác về tiếp tuyến kẻ từ điểm bên ngoài外部（がいぶ）の点（てん）から引（ひ）く接線（せっせん）に関（かん）する直観（ちょっかん）

Từ một điểm nằm bên ngoài elip, ta luôn kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến elip. Việc giả sử tọa độ tiếp điểm giúp biến bài toán tìm tiếp tuyến thành việc giải hệ phương trình đường thẳng.

楕円（だえん）の外部（がいぶ）にある1点（てん）からは、常（つね）にちょうど2本（ほん）の接線（せっせん）を引（ひ）くことができます。接点（せってん）の座標（ざひょう）を仮定（かてい）することで、接線（せっせん）を求（もと）める問題（もんだい）を直線（ちょくせん）の連立（れんりつ）方程（ほうてい）式（しき）へ帰着（きちゃく）させます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 外部（がいぶ）の点（てん）điểm bên ngoài

    Điểm bên ngoài là điểm không nằm trên và không nằm bên trong đường cong. Từ một điểm bên ngoài elip, ta có thể kẻ được hai tiếp tuyến phân biệt đến elip.

    外部（がいぶ）の点（てん）とは、曲線（きょくせん）上（じょう）にも内部（ないぶ）にもない点（てん）のことです。楕円（だえん）の外部（がいぶ）の点（てん）からは、異（こと）なる2本（ほん）の接線（せっせん）を引（ひ）くことができます。

  • 接点（せってん）tiếp điểm

    Tiếp điểm là điểm chung duy nhất giữa tiếp tuyến và đường cong. Gọi tọa độ tiếp điểm là (x1, y1) giúp ta viết được phương trình tiếp tuyến dạng tổng quát.

    接点（せってん）とは、接線（せっせん）と曲線（きょくせん）が共有（きょうゆう）する唯一（ゆいいつ）の点（てん）です。接点（せってん）の座標（ざひょう）を (x1, y1) と置（お）くことで、一般（いっぱん）形（けい）の接線（せっせん）方程（ほうてい）式（しき）を記述（きじゅつ）できます。

  • 接線（せっせん）tiếp tuyến

    Tiếp tuyến là đường thẳng tiếp xúc với elip hoặc parabol tại tiếp điểm. Nó thể hiện hướng chuyển động hoặc hướng phản xạ tại điểm đó.

    接線（せっせん）とは、接点（せってん）において楕円（だえん）や放物（ほうぶつ）線（せん）に接（せっ）する直線（ちょくせん）です。その点（てん）における運動（うんどう）方向（ほうこう）や反射（はんしゃ）方向（ほうこう）を表（あらわ）します。

  • 直線（ちょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）phương trình đường thẳng

    Phương trình đường thẳng biểu diễn tiếp tuyến thông qua tọa độ tiếp điểm. Ví dụ như x + 2√3y = 8 là dạng phương trình tiếp tuyến sau khi thu gọn.

    直線（ちょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）は、接点（せってん）の座標（ざひょう）を用（もち）いて接線（せっせん）を表（あらわ）したものです。例（たと）えば x + 2√3y = 8 は整理（せいり）された接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）の形（かたち）です。

  • 放物（ほうぶつ）線（せん）parabol

    Parabol là tập hợp các điểm cách đều một tiêu điểm và một đường chuẩn. Phương trình tiếp tuyến của parabol tại tiếp điểm (x1, y1) có dạng y1*y = 2p(x + x1).

    放物（ほうぶつ）線（せん）とは、焦点（しょうてん）と準線（じゅんせん）からの距離（きょり）が等（ひと）しい点（てん）の集合（しゅうごう）です。接点（せってん） (x1, y1) における放物（ほうぶつ）線（せん）の接線（せっせん）方程（ほうてい）式（しき）は y1*y = 2p(x + x1) と表（あらわ）されます。

  • 焦点（しょうてん）tiêu điểm

    Tiêu điểm F là điểm cố định có tính chất quang học đặc biệt. Khoảng cách từ tiêu điểm đến các điểm trên tiếp tuyến và đường cong thỏa mãn các đẳng thức như FQ = FP.

    焦点（しょうてん）Fは光学（こうがく）的（てき）に特別（とくべつ）な性質（せいしつ）を持（も）つ定点（ていてん）です。焦点（しょうてん）から接線（せっせん）や曲線（きょくせん）上（じょう）へ向（む）かう距離（きょり）は FQ = FP などの等式（とうしき）を満（み）たします。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：楕円（だえん）上（じょう）の接点（せってん）座標（ざひょう）の仮定（かてい）

    Bước 1: Giả sử tọa độ tiếp điểm trên elip

    Gọi tiếp điểm là (x1, y1) thuộc elip. Khi đó phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm có dạng (x1*x)/16 + (y1*y)/4 = 1.

    楕円（だえん）上（じょう）の接点（せってん）を (x1, y1) と置（お）きます。このとき接点（せってん）における接線（せっせん）方程（ほうてい）式（しき）は (x1*x)/16 + (y1*y)/4 = 1 となります。

  2. 02
    ステップ2：接線（せっせん）が外部（がいぶ）の点（てん）を通（とお）る条件（じょうけん）の適用（てきよう）

    Bước 2: Cho tiếp tuyến đi qua điểm bên ngoài

    Thay tọa độ của điểm bên ngoài vào phương trình tiếp tuyến để tạo phương trình liên hệ giữa x1 và y1. Kết hợp với phương trình elip để tìm tọa độ tiếp điểm.

    外部（がいぶ）の点（てん）の座標（ざひょう）を接線（せっせん）方程（ほうてい）式（しき）に代入（だいにゅう）し、x1 と y1 の関係（かんけい）式（しき）を作成（さくせい）します。楕円（だえん）の方程（ほうてい）式（しき）と連立（れんりつ）させて接点（せってん）の座標（ざひょう）を求（もと）めます。

  3. 03
    ステップ3：具体（ぐたい）的（てき）な接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）の決定（けってい）

    Bước 3: Xác định phương trình đường thẳng tiếp tuyến cụ thể

    Thế các cặp tọa độ tiếp điểm vừa tìm được vào phương trình tiếp tuyến ban đầu. Rút gọn ta thu được các phương trình đường thẳng như x + 2√3y = 8.

    求（もと）めた接点（せってん）の座標（ざひょう）ペアを元（もと）の接線（せっせん）方程（ほうてい）式（しき）に代入（だいにゅう）します。整理（せいり）すると x + 2√3y = 8 などの具体（ぐたい）的（てき）な直線（ちょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）が得（え）られます。

  4. 04
    ステップ4：放物（ほうぶつ）線（せん）および焦点（しょうてん）への接線（せっせん）性質（せいしつ）の拡張（かくちょう）

    Bước 4: Mở rộng tính chất tiếp tuyến cho parabol và tiêu điểm

    Áp dụng công thức tiếp tuyến parabol y1*y = 2p(x + x1) và tính chất khoảng cách tiêu điểm FQ = FP trong các sơ đồ phản xạ.

    放物（ほうぶつ）線（せん）の接線（せっせん）公式（こうしき） y1*y = 2p(x + x1) や、反射（はんしゃ）モデルにおける焦点（しょうてん）距離（きょり）の性質（せいしつ） FQ = FP を適用（てきよう）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Ngộ nhận rằng điểm cho trước nằm trên elip mà không kiểm tra xem đó là điểm bên ngoài.与（あた）えられた点（てん）が外部（がいぶ）の点（てん）であるか確認（かくにん）せず、楕円（だえん）上（じょう）の点（てん）だと勘違（かんちが）いすること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn thay tọa độ điểm vào phương trình elip để xác định xem điểm đó nằm bên trong, bên ngoài hay trên elip.点（てん）の座標（ざひょう）を楕円（だえん）の方程（ほうてい）式（しき）に代入（だいにゅう）し、内部（ないぶ）・外部（がいぶ）・曲線（きょくせん）上（じょう）のどこにあるかを必（かなら）ず確認（かくにん）してください。

Sử dụng nhầm công thức tiếp tuyến parabol y1*y = 2p(x + x1) cho elip.放物（ほうぶつ）線（せん）の接線（せっせん）公式（こうしき） y1*y = 2p(x + x1) を楕円（だえん）に誤（あやま）って適用（てきよう）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Elip dùng công thức \((x 1\cdot x) / a^{2} + (y 1\cdot y) / b^{2} = 1\), còn parabol dùng y1*y = 2p(x + x1).楕円（だえん）には \((x 1\cdot x) / a^{2} + (y 1\cdot y) / b^{2} = 1\) を使（つか）い、放物（ほうぶつ）線（せん）には y1*y = 2p(x + x1) を使用（しよう）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Từ một điểm bên ngoài elip kẻ được hai tiếp tuyến, giải bằng cách gọi tọa độ tiếp điểm (x1, y1).楕円（だえん）外部（がいぶ）の点（てん）からは2本（ほん）の接線（せっせん）が引（ひ）け、接点（せってん）(x1, y1)の座標（ざひょう）を仮定（かてい）して解（と）きます。
  • Phương trình tiếp tuyến dạng (x1*x)/16 + (y1*y)/4 = 1 và x + 2√3y = 8 là các dạng quan trọng cần làm chủ.(x1*x)/16 + (y1*y)/4 = 1 や x + 2√3y = 8 のような接線（せっせん）方程（ほうてい）式（しき）の形（かたち）をマスターすることが重要（じゅうよう）です。
  • Parabol có công thức tiếp tuyến y1*y = 2p(x + x1) và tính chất tiêu điểm FQ = FP thường xuất hiện trong sơ đồ phản xạ.放物（ほうぶつ）線（せん）の接線（せっせん）公式（こうしき） y1*y = 2p(x + x1) や焦点（しょうてん）の性質（せいしつ） FQ = FP は反射（はんしゃ）モデルで頻出（ひんしゅつ）です。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\frac{x_1x}{16}+\frac{y_1y}{4}=1

Phương trình tiếp tuyến của elip \(x^{2} / 16 + y^{2} / 4 = 1\) tại tiếp điểm (x1, y1).

楕円（だえん） \(x^{2} / 16 + y^{2} / 4 = 1\) 上（うえ）の接点（せってん） (x1, y1) における接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）です。

x+2\sqrt{3}y=8

Phương trình đường thẳng tiếp tuyến kẻ từ một điểm bên ngoài sau khi đã giải và thu gọn.

外部（がいぶ）の点（てん）から引（ひ）いた接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）を整理（せいり）して得（え）られる直線（ちょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）です。

y_1y=2p(x+x_1)

Phương trình tiếp tuyến của parabol \(y^{2} = 4 px\) tại tiếp điểm (x1, y1).

放物（ほうぶつ）線（せん） \(y^{2} = 4 px\) 上（うえ）の接点（せってん） (x1, y1) における接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）です。

FQ=FP

Đẳng thức thể hiện khoảng cách từ tiêu điểm F đến tiếp điểm P và điểm Q trên tiếp tuyến là bằng nhau.

焦点（しょうてん）Fから接点（せってん）Pおよび接線（せっせん）上（じょう）の点（てん）Qまでの距離（きょり）が等（ひと）しいことを示（しめ）す等式（とうしき）です。

EJU 2026 · MATH.16.1

Bài học này hướng dẫn phương pháp lập phương trình hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm bên ngoài đến elip và các tính chất liên quan của parabol. Bạn sẽ nắm vững cách tìm tiếp điểm và ứng dụng phương trình đường thẳng tiếp tuyến trong bài thi EJU.

本課（ほんか）では、外部（がいぶ）の点（てん）から楕円（だえん）へ引（ひ）いた2つの接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）の求（もと）め方（かた）と、放物（ほうぶつ）線（せん）の関連（かんれん）性質（せいしつ）を解説（かいせつ）します。接点（せってん）の求（もと）め方（かた）や接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）の応用（おうよう）を判定（はんてい）できるようになります。

外部（がいぶ）の点（てん）から引（ひ）いた楕円（だえん）への2接線（せっせん）
外部の点接点接線直線の方程式