Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Tính chất của elip và hyperbol楕円（だえん）・双（そう）曲線（きょくせん）の性質（せいしつ）

Công thức公式

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
y=\frac{b}{a}x
y=-\frac{b}{a}x
\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

Ví dụ例題

Cho hyperbol có phương trình \(\frac{x^2}{4}\)-\(\frac{y^2}{9}\)=1. Hãy tìm phương trình các đường tiệm cận và tính khoảng cách từ điểm (2, 0) đến đường tiệm cận y=\(\frac{3}{2}\)x.

双（そう）曲線（きょくせん）の方程（ほうてい）式（しき） \(\frac{x^2}{4}\)-\(\frac{y^2}{9}\)=1 が与（あた）えられています。漸近（ぜんきん）線（せん）の方程（ほうてい）式（しき）を求（もと）め、点（てん） (2, 0) から漸近（ぜんきん）線（せん） y=\(\frac{3}{2}\)x までの距離（きょり）を計算（けいさん）しなさい。

  1. Từ phương trình \(\frac{x^2}{4}\)-\(\frac{y^2}{9}\)=1, ta xác định được a^2=4 nên a=2, và b^2=9 nên b=3.方程（ほうてい）式（しき） \(\frac{x^2}{4}\)-\(\frac{y^2}{9}\)=1 より、a^2=4 つまり a=2、b^2=9 つまり b=3 と定（さだ）まります。
  2. Áp dụng công thức tiệm cận y=\(\frac{b}{a}\)x và y=-\(\frac{b}{a}\)x, ta được hai đường tiệm cận là y=\(\frac{3}{2}\)x và y=-\(\frac{3}{2}\)x.漸近（ぜんきん）線（せん）の公式（こうしき） y=\(\frac{b}{a}\)x および y=-\(\frac{b}{a}\)x を適用（てきよう）すると、2つの漸近（ぜんきん）線（せん）は y=\(\frac{3}{2}\)x と y=-\(\frac{3}{2}\)x になります。
  3. Viết lại y=\(\frac{3}{2}\)x dưới dạng 3x-2y=0. Áp dụng công thức khoảng cách cho điểm (2, 0): \(\frac{|3(2)-2(0)|}{\sqrt{3^2+(-2)^2}}\) = \(\frac{6}{\sqrt{13}}\).y=\(\frac{3}{2}\)x を 3x-2y=0 と変形（へんけい）します。点（てん） (2, 0) に対（たい）する距離（きょり）の公式（こうしき）を適用（てきよう）すると \(\frac{|3(2)-2(0)|}{\sqrt{3^2+(-2)^2}}\) = \(\frac{6}{\sqrt{13}}\) となります。
Vậy hai đường tiệm cận là y=\(\frac{3}{2}\)x và y=-\(\frac{3}{2}\)x, và khoảng cách từ (2, 0) đến tiệm cận y=\(\frac{3}{2}\)x là \(\frac{6}{\sqrt{13}}\).したがって、2つの漸近（ぜんきん）線（せん）は y=\(\frac{3}{2}\)x と y=-\(\frac{3}{2}\)x であり、(2, 0) から漸近（ぜんきん）線（せん） y=\(\frac{3}{2}\)x までの距離（きょり）は \(\frac{6}{\sqrt{13}}\) です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho hyperbol có phương trình \(\frac{x^2}{9}\)-\(\frac{y^2}{16}\)=1. Đường tiệm cận có hệ số góc dương là đường thẳng nào?双（そう）曲線（きょくせん）の方程（ほうてい）式（しき） \(\frac{x^2}{9}\)-\(\frac{y^2}{16}\)=1 が与（あた）えられています。傾（かたむ）きが正（せい）である漸近（ぜんきん）線（せん）はどの直線（ちょくせん）ですか。

2. Khoảng cách từ điểm (3, 0) đến đường thẳng 4x - 3y = 0 bằng bao nhiêu?点（てん） (3, 0) から直線（ちょくせん） 4x - 3y = 0 までの距離（きょり）はいくらですか。

3. Cho hyperbol \(\frac{x^2}{1}\)-\(\frac{y^2}{4}\)=1. Phương trình hai đường tiệm cận của hyperbol này là gì?双（そう）曲線（きょくせん） \(\frac{x^2}{1}\)-\(\frac{y^2}{4}\)=1 が与（あた）えられています。この双（そう）曲線（きょくせん）の2つの漸近（ぜんきん）線（せん）の方程（ほうてい）式（しき）は何（なん）ですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.16.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.16.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nhận biết phương trình chính tắc của hyperbol và xác định hai đường tiệm cận.双（そう）曲線（きょくせん）の標準（ひょうじゅん）形（けい）を理解（りかい）し、2つの漸近（ぜんきん）線（せん）を特定（とくてい）できる。
  2. Áp dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng trong các bài toán hình học.点（てん）と直線（ちょくせん）の距離（きょり）の公式（こうしき）を幾何（きか）問題（もんだい）に適用（てきよう）できる。
  3. Phân biệt tính chất hình học giữa elip và hyperbol dựa trên tâm sai và quỹ tích.離心（りしん）率（りつ）と軌跡（きせき）に基（もと）づき、楕円（だえん）と双（そう）曲線（きょくせん）の幾何（きか）学（がく）的（てき）性質（せいしつ）を区別（くべつ）できる。
Trực giác · イメージ

Hiểu trực giác về đường tiệm cận của hyperbol双（そう）曲線（きょくせん）の漸近（ぜんきん）線（せん）に関（かん）する直感（ちょっかん）的（てき）理解（りかい）

Khi các điểm trên đường hyperbol tiến ra rất xa tâm, đồ thị của hyperbol ngày càng tiến gần đến hai đường thẳng đi qua gốc tọa độ nhưng không bao giờ cắt chúng. Hai đường thẳng này được gọi là đường tiệm cận, đóng vai trò khung định hướng cho hình dạng của hyperbol.

双（そう）曲線（きょくせん）上（じょう）の点（てん）が中心（ちゅうしん）から非常（ひじょう）に遠（とお）くに離（はな）れるにつれて、グラフは原点（げんてん）を通（とお）る2つの直線（ちょくせん）に限（かぎ）りなく近（ちか）づきますが交（まじ）わることはありません。これらの2直線（ちょくせん）は漸近（ぜんきん）線（せん）と呼（よ）ばれ、双（そう）曲線（きょくせん）の形状（けいじょう）を案内（あんない）する骨組（ほねぐ）みの役割（やくわり）を果（は）たします。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 漸近（ぜんきん）線（せん）tiệm cận

    Đường thẳng mà đồ thị của hyperbol tiến lại rất gần khi điểm trên hyperbol tiến ra vô cực. Hai đường tiệm cận giúp xác định hướng mở của đường hyperbol.

    双（そう）曲線（きょくせん）上（じょう）の点（てん）が無限（むげん）遠（えん）に向（む）かうとき、グラフが限（かぎ）りなく近（ちか）づく直線（ちょくせん）のことです。2つの漸近（ぜんきん）線（せん）は双（そう）曲線（きょくせん）の開（ひら）く方向（ほうこう）を決定（けってい）づけます。

  • 楕円（だえん）elip

    Đường cong khép kín thu được từ quỹ tích các điểm có tổng khoảng cách tới hai tiêu điểm là hằng số. Đồ thị elip nằm hoàn toàn trong một vùng hữu hạn của mặt phẳng.

    2つの焦点（しょうてん）からの距離（きょり）の和（わ）が一定（いってい）である点（てん）の軌跡（きせき）として得（え）られる閉（へい）曲線（きょくせん）です。楕円（だえん）のグラフは平面（へいめん）上（じょう）の有限（ゆうげん）な領域（りょういき）内（ない）に完全（かんぜん）に収（おさ）まります。

  • 双（そう）曲線（きょくせん）hyperbol

    Đường cong gồm hai nhánh đối xứng, thu được từ quỹ tích các điểm có hiệu khoảng cách tới hai tiêu điểm là hằng số. Khác với elip, hyperbol có hai đường tiệm cận.

    2つの焦点（しょうてん）からの距離（きょり）の差（さ）が一定（いってい）である点（てん）の軌跡（きせき）として得（え）られる2つの対称（たいしょう）な分枝（ぶんし）からなる曲線（きょくせん）です。楕円（だえん）と異（こと）なり、双（そう）曲線（きょくせん）は2つの漸近（ぜんきん）線（せん）を持（も）ちます。

  • 軌跡（きせき）quỹ tích

    Tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn một điều kiện hình học cho trước. Elip, hyperbol và parabol đều là các quỹ tích đường bậc hai đặc trưng.

    与（あた）えられた幾何（きか）学（がく）的（てき）条件（じょうけん）を満（み）たすすべての点（てん）の集合（しゅうごう）のことです。楕円（だえん）、双（そう）曲線（きょくせん）、放物（ほうぶつ）線（せん）はいずれも特徴（とくちょう）的（てき）な2次（じ）曲線（きょくせん）の軌跡（きせき）です。

  • 離心（りしん）率（りつ）tâm sai

    Đại lượng đặc trưng cho độ dẹt hoặc độ mở của đường bậc hai. Giá trị tâm sai quyết định đường bậc hai là elip, parabol hay hyperbol.

    2次（じ）曲線（きょくせん）のつぶれ具合（ぐあい）や開（ひら）き具合（ぐあい）を特徴（とくちょう）づける値（あたい）のことです。離心（りしん）率（りつ）の値（あたい）によって2次（じ）曲線（きょくせん）が楕円（だえん）、放物（ほうぶつ）線（せん）、双（そう）曲線（きょくせん）のいずれになるかが決（き）まります。

  • 焦点（しょうてん）tiêu điểm

    Các điểm cố định được dùng để định nghĩa đường bậc hai thông qua khoảng cách. Đối với elip và hyperbol, hai tiêu điểm nằm đối xứng qua tâm của đường cong.

    距離（きょり）を通（つう）じて2次（じ）曲線（きょくせん）を定義（ていぎ）するために用（もち）いられる定点（ていてん）のことです。楕円（だえん）や双（そう）曲線（きょくせん）では、2つの焦点（しょうてん）は曲線（きょくせん）の中心（ちゅうしん）に関（かん）して対称（たいしょう）に位置（いち）します。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：双（そう）曲線（きょくせん）の標準（ひょうじゅん）形（けい）の確認（かくにん）

    Bước 1: Nhận dạng phương trình chính tắc của hyperbol

    Xác định các hệ số a và b trong phương trình hyperbol dạng \(\frac{x^2}{a^2}\)-\(\frac{y^2}{b^2}\)=1. Điều này giúp xác định các kích thước cơ bản của hyperbol.

    方程（ほうてい）式（しき） \(\frac{x^2}{a^2}\)-\(\frac{y^2}{b^2}\)=1 における係数（けいすう） a と b を特定（とくてい）します。これにより双（そう）曲線（きょくせん）の基本（きほん）的（てき）なサイズが定（さだ）まります。

  2. 02
    ステップ2：2つの漸近（ぜんきん）線（せん）の方程（ほうてい）式（しき）の導出（どうしゅつ）

    Bước 2: Lập phương trình hai đường tiệm cận

    Sử dụng hai công thức y=\(\frac{b}{a}\)x và y=-\(\frac{b}{a}\)x để tìm phương trình các đường tiệm cận. Hai đường thẳng này giao nhau tại gốc tọa độ.

    2つの公式（こうしき） y=\(\frac{b}{a}\)x および y=-\(\frac{b}{a}\)x を用（もち）いて漸近（ぜんきん）線（せん）の方程（ほうてい）式（しき）を求（もと）めます。これら2直線（ちょくせん）は原点（げんてん）で交（まじ）わります。

  3. 03
    ステップ3：点（てん）から漸近（ぜんきん）線（せん）までの距離（きょり）の計算（けいさん）

    Bước 3: Tính khoảng cách từ một điểm đến đường tiệm cận

    Chuyển phương trình đường tiệm cận về dạng tổng quát ax+by+c=0 và áp dụng công thức \(\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\). Kết quả cho khoảng cách ngắn nhất từ điểm (x_0, y_0) tới tiệm cận.

    漸近（ぜんきん）線（せん）の方程（ほうてい）式（しき）を一般（いっぱん）形（けい） ax+by+c=0 に変形（へんけい）し、公式（こうしき） \(\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) を適用（てきよう）します。これにより点（てん） (x_0, y_0) から漸近（ぜんきん）線（せん）までの最短（さいたん）距離（きょり）が得（え）られます。

  4. 04
    ステップ4：幾何（きか）学（がく）的（てき）表示（ひょうじ）と性質（せいしつ）の照合（しょうごう）

    Bước 4: Biểu diễn hình học và đối chiếu tính chất

    Vẽ hai đường tiệm cận và hai nhánh hyperbol đối xứng qua gốc tọa độ. Kiểm tra tính thỏa mãn của quỹ tích và khoảng cách đến các tiêu điểm.

    原点（げんてん）に関（かん）して対称（たいしょう）な2つの漸近（ぜんきん）線（せん）と双（そう）曲線（きょくせん）の2つの分枝（ぶんし）を描（えが）きます。軌跡（きせき）の条件（じょうけん）や焦点（しょうてん）への距離（きょり）の性質（せいしつ）を満（み）たしているか確認（かくにん）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn giữa phương trình tiệm cận y=\(\frac{b}{a}\)x với y=\(\frac{a}{b}\)x.漸近（ぜんきん）線（せん）の方程（ほうてい）式（しき）において y=\(\frac{b}{a}\)x と y=\(\frac{a}{b}\)x を混同（こんどう）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn nhớ tỉ số là b chia cho a tương ứng với y chia cho x trong phương trình hyperbol \(\frac{x^2}{a^2}\)-\(\frac{y^2}{b^2}\)=1.双（そう）曲線（きょくせん）の方程（ほうてい）式（しき） \(\frac{x^2}{a^2}\)-\(\frac{y^2}{b^2}\)=1 において、比率（ひりつ）は常（つね）に x に対応（たいおう）する a に対（たい）する y に対応（たいおう）する b（つまり b/a）であることを覚（おぼ）えておきましょう。

Quên biến đổi phương trình đường thẳng về dạng tổng quát ax+by+c=0 khi tính khoảng cách.距離（きょり）を計算（けいさん）する際（さい）、直線（ちょくせん）の方程（ほうてい）式（しき）を一般（いっぱん）形（けい） ax+by+c=0 に変形（へんけい）し忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Cần chuyển y=\(\frac{b}{a}\)x thành bx-ay=0 trước khi áp dụng công thức khoảng cách \(\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\).距離（きょり）の公式（こうしき） \(\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) を適用（てきよう）する前（まえ）に、y=\(\frac{b}{a}\)x を bx-ay=0 に変形（へんけい）する必要（ひつよう）があります。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Phương trình chính tắc của hyperbol \(\frac{x^2}{a^2}\)-\(\frac{y^2}{b^2}\)=1 có hai đường tiệm cận là y=\(\frac{b}{a}\)x và y=-\(\frac{b}{a}\)x.双（そう）曲線（きょくせん）の標準（ひょうじゅん）形（けい） \(\frac{x^2}{a^2}\)-\(\frac{y^2}{b^2}\)=1 は、y=\(\frac{b}{a}\)x および y=-\(\frac{b}{a}\)x の2つの漸近（ぜんきん）線（せん）を持（も）ちます。
  • Khoảng cách từ điểm (x_0, y_0) đến đường thẳng ax+by+c=0 được tính bằng công thức \(\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\).点（てん） (x_0, y_0) から直線（ちょくせん） ax+by+c=0 までの距離（きょり）は公式（こうしき） \(\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) で計算（けいさん）されます。
  • Các đường bậc hai như elip và hyperbol được xác định bởi tính chất quỹ tích, tâm sai và hệ tiêu điểm tương ứng.楕円（だえん）や双（そう）曲線（きょくせん）などの2次（じ）曲線（きょくせん）は、対応（たいおう）する軌跡（きせき）の性質（せいしつ）、離心（りしん）率（りつ）、焦点（しょうてん）系（けい）によって定義（ていぎ）されます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1

Phương trình chính tắc của hyperbol nhận trục hoành làm trục thực với các tham số độ dài a và b.

長軸（ちょうじく）をx軸（じく）とする双（そう）曲線（きょくせん）の標準（ひょうじゅん）方程（ほうてい）式（しき）で、aとbは長（なが）さのパラメータです。

y=\frac{b}{a}x

Phương trình đường tiệm cận thứ nhất của hyperbol đi qua gốc tọa độ với hệ số góc dương.

原点（げんてん）を通（とお）る、傾（かたむ）きが正（せい）である双（そう）曲線（きょくせん）の第（だい）1漸近（ぜんきん）線（せん）の方程（ほうてい）式（しき）です。

y=-\frac{b}{a}x

Phương trình đường tiệm cận thứ hai của hyperbol đi qua gốc tọa độ với hệ số góc âm.

原点（げんてん）を通（とお）る、傾（かたむ）きが負（ふ）である双（そう）曲線（きょくせん）の第（だい）2漸近（ぜんきん）線（せん）の方程（ほうてい）式（しき）です。

\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

Công thức tính khoảng cách từ điểm (\(x_{0}\), \(y_{0}\)) đến đường thẳng ax+by+c=0.

点（てん） (\(x_{0}\), \(y_{0}\)) から直線（ちょくせん） ax+by+c=0 までの距離（きょり）を計算（けいさん）する公式（こうしき）です。

EJU 2026 · MATH.16.1

Bài học này giúp bạn nắm vững hình dạng và các đường tiệm cận của hyperbol cùng tính chất của đường bậc hai. Bạn sẽ áp dụng các công thức chính xác để xác định tiệm cận và khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng.

本課（ほんか）では双（そう）曲線（きょくせん）の形状（けいじょう）と漸近（ぜんきん）線（せん）、および2次（じ）曲線（きょくせん）の性質（せいしつ）をマスターします。正確（せいかく）な公式（こうしき）を用（もち）いて漸近（ぜんきん）線（せん）を求（もと）め、点（てん）と直線（ちょくせん）の距離（きょり）を計算（けいさん）します。

楕円（だえん）・双（そう）曲線（きょくせん）の性質（せいしつ）
漸近線楕円双曲線軌跡