Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Tính chất tiếp tuyến của elip và hyperbol楕円（だえん）・双（そう）曲線（きょくせん）の接線（せっせん）の性質（せいしつ）

Công thức公式

OQ\cdot OR=a^2
\frac{PF}{PF'}=\frac{QF}{QF'}
m_1m_2=-1
x^2+y^2=\frac{5}{4}

Ví dụ例題

Xét elip và hai tiếp tuyến vuông góc với nhau cắt nhau tại điểm M(x, y). Cho biết tích hai hệ số góc tiếp tuyến thỏa mãn m1*m2 = -1 và phương trình quỹ tích giao điểm thu được có dạng \(x^{2} + y^{2} = 5 / 4\). Xác định bán kính R của đường tròn quỹ tích đó.

楕円（だえん）と、点（てん）M(x, y)で交（まじ）わる互（たが）いに直交（ちょっこう）する2つの接線（せっせん）を考（かんが）えます。接線（せっせん）の傾（かたむ）きの積（せき）が m1*m2 = -1 を満（み）たし、交点（こうてん）の軌跡（きせき）方程（ほうてい）式（しき）が \(x^{2} + y^{2} = 5 / 4\) となることが分（わ）かっているとき、この軌跡（きせき）の円（えん）の半径（はんけい） R を求（もと）めなさい。

  1. Viết phương trình quỹ tích thu được từ điều kiện hai tiếp tuyến vuông góc m1*m2 = -1 là \(x^{2} + y^{2} = 5 / 4\).直交（ちょっこう）条件（じょうけん） m1*m2 = -1 より得（え）られる交点（こうてん）の軌跡（きせき）方程（ほうてい）式（しき） \(x^{2} + y^{2} = 5 / 4\) を確認（かくにん）します。
  2. So sánh với phương trình tổng quát của đường tròn tâm O bán kính R là \(x^{2} + y^{2} = R^{2}\), ta có \(R^{2} = 5 / 4\).原点（げんてん）中心（ちゅうしん）、半径（はんけい） R の円（えん）の標準（ひょうじゅん）形（けい） \(x^{2} + y^{2} = R^{2}\) と比較（ひかく）すると、\(R^{2} = 5 / 4\) となります。
  3. Suy ra bán kính \(R = \sqrt{5} / 2\).したがって、半径（はんけい）は \(R = \sqrt{5} / 2\) と求（もと）まります。
Bán kính đường tròn quỹ tích giao điểm của hai tiếp tuyến vuông góc là \(R = \sqrt{5} / 2\).直交（ちょっこう）する2接線（せっせん）の交点（こうてん）の軌跡（きせき）である円（えん）の半径（はんけい）は \(R = \sqrt{5} / 2\) です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho hai tiếp tuyến của elip vuông góc với nhau. Hệ số góc của tiếp tuyến thứ nhất là m1 = 2. Tìm hệ số góc m2 của tiếp tuyến thứ hai dựa vào công thức m1*m2 = -1.楕円（だえん）への2つの接線（せっせん）が互（たが）いに直交（ちょっこう）しています。1つ目（め）の接線（せっせん）の傾（かたむ）きが m1 = 2 のとき、公式（こうしき） m1*m2 = -1 を用（もち）いて2つ目（め）の接線（せっせん）の傾（かたむ）き m2 を求（もと）めなさい。

2. Quỹ tích giao điểm của hai tiếp tuyến vuông góc với elip có phương trình \(x^{2} + y^{2} = 5 / 4\). Điểm nào sau đây nằm trên đường tròn quỹ tích này?直交（ちょっこう）する2接線（せっせん）の交点（こうてん）の軌跡（きせき）方程（ほうてい）式（しき）が \(x^{2} + y^{2} = 5 / 4\) であるとき、次（つぎ）の点（てん）のうちこの円（えん）軌跡（きせき）上（じょう）にあるものはどれですか。

3. Một tiếp tuyến cắt các trục tọa độ tại Q và R thỏa mãn \(OQ\cdot OR = a^{2}\). Nếu a = 3, tính giá trị của tích OQ*OR.接線（せっせん）が座標（ざひょう）軸（じく）と交（まじ）わる点（てん）をQ, Rとし、\(OQ\cdot OR = a^{2}\) を満（み）たすとします。a = 3 のとき、積（せき） OQ*OR の値（あたい）を求（もと）めなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.16.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 2 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.16.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）2区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu rõ tính chất hình học của tiếp tuyến đối với elip và hyperbol.楕円（だえん）および双（そう）曲線（きょくせん）の接線（せっせん）が持（も）つ幾何（きか）学（がく）的（てき）性質（せいしつ）を理解（りかい）する。
  2. Đẳng thức tích khoảng cách và điều kiện hai tiếp tuyến vuông góc.距離（きょり）の積（せき）の等式（とうしき）や直交（ちょっこう）する2接線（せっせん）の条件（じょうけん）を把握（はあく）する。
  3. Xác định quỹ tích giao điểm của hai tiếp tuyến vuông góc.直交（ちょっこう）する2接線（せっせん）の交点（こうてん）が描（えが）く軌跡（きせき）の方程（ほうてい）式（しき）を求（もと）める。
Trực giác · イメージ

Trực giác về tính chất hình học của tiếp tuyến接線（せっせん）の幾何（きか）学（がく）的（てき）性質（せいしつ）に関（かん）する直観（ちょっかん）

Tiếp tuyến của đường cong bậc hai mang nhiều tính chất đối xứng độc đáo. Khi hai tiếp tuyến vuông góc với nhau, giao điểm của chúng sẽ di chuyển trên một đường tròn quỹ tích cố định.

二（に）次（じ）曲線（きょくせん）の接線（せっせん）は固有（こゆう）の対称（たいしょう）性（せい）を持（も）っています。互（たが）いに直交（ちょっこう）する2つの接線（せっせん）が存在（そんざい）するとき、その交点（こうてん）は一定（いってい）の円（えん）軌跡（きせき）上（じょう）に位置（いち）します。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 接線（せっせん）tiếp tuyến

    Tiếp tuyến là đường thẳng chỉ chạm đường cong tại một điểm duy nhất. Nó có vai trò quan trọng trong việc xác định góc phản xạ và phương của tia sáng.

    接線（せっせん）とは曲線（きょくせん）と1点（てん）のみを共有（きょうゆう）する直線（ちょくせん）です。反射（はんしゃ）角（かく）や光線（こうせん）の進行（しんこう）方向（ほうこう）を決定（けってい）する上（うえ）で重要（じゅうよう）な役割（やくわり）を果（は）たします。

  • 垂線（すいせん）の足（あし）chân đường vuông góc

    Chân đường vuông góc là giao điểm của đường vuông góc kẻ từ một điểm xuống tiếp tuyến. Quỹ tích của chân đường vuông góc từ tiêu điểm đến tiếp tuyến có dạng đặc biệt.

    垂線（すいせん）の足（あし）とは、ある点（てん）から接線（せっせん）へ下（お）ろした垂線（すいせん）と接線（せっせん）との交点（こうてん）です。焦点（しょうてん）から接線（せっせん）に下（お）ろした垂線（すいせん）の足（あし）の軌跡（きせき）は特別（とくべつ）な図形（ずけい）となります。

  • 交点（こうてん）giao điểm

    Giao điểm là điểm chung của hai tiếp tuyến hoặc của tiếp tuyến với trục tọa độ. Tọa độ giao điểm giúp ta tính toán tích khoảng cách và góc giữa các đường thẳng.

    交点（こうてん）とは2つの接線（せっせん）同士（どうし）、または接線（せっせん）と座標（ざひょう）軸（じく）との共通（きょうつう）点（てん）です。交点（こうてん）の座標（ざひょう）を用（もち）いて、距離（きょり）の積（せき）や直線（ちょくせん）のなす角（かく）を計算（けいさん）します。

  • 凹（おう）レンズthấu kính phân kỳ

    Thấu kính phân kỳ làm chùm tia sáng song song bị phân kỳ sau khi qua kính. Hình dạng bề mặt của nó liên quan trực tiếp đến đường hyperbol.

    凹（おう）レンズは、入射（にゅうしゃ）した平行（へいこう）光線（こうせん）を広（ひろ）げる光学（こうがく）素子（そし）です。その曲面（きょくめん）形状（けいじょう）は双（そう）曲線（きょくせん）と密接（みっせつ）に関連（かんれん）しています。

  • 凸（とつ）レンズthấu kính hội tụ

    Thấu kính hội tụ gom các tia sáng hội tụ tại một điểm tiêu điểm. Các tính chất tiếp tuyến elip giải thích đường đi của ánh sáng qua thấu kính này.

    凸（とつ）レンズは光線（こうせん）を焦点（しょうてん）に集（あつ）める光学（こうがく）素子（そし）です。楕円（だえん）の接線（せっせん）性質（せいしつ）により、レンズ内（ない）での光（ひかり）の進（すす）み方（かた）が説明（せつめい）されます。

  • 凹面（おうめん）鏡（きょう）gương cầu lõm

    Gương cầu lõm phản xạ các tia sáng phát ra từ một tiêu điểm về tiêu điểm còn lại. Đây là ứng dụng thực tế của tính chất tiếp tuyến elip và hyperbol.

    凹面（おうめん）鏡（きょう）は一方（いっぽう）の焦点（しょうてん）から出（で）た光（ひかり）を他方（たほう）の焦点（しょうてん）へ反射（はんしゃ）します。これは楕円（だえん）や双（そう）曲線（きょくせん）の接線（せっせん）性状（せいじょう）の具体（ぐたい）的（てき）な応用（おうよう）例（れい）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）と接（せっ）する条件（じょうけん）の設定（せってい）

    Bước 1: Thiết lập phương trình tiếp tuyến và điều kiện tiếp xúc

    Giả sử phương trình đường thẳng tiếp tuyến với đường cong elip hoặc hyperbol. Dùng hệ số góc để biểu diễn điều kiện tiếp xúc với đường cong.

    楕円（だえん）または双（そう）曲線（きょくせん）に対（たい）する接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）を仮定（かてい）します。傾（かたむ）きを用（もち）いて曲線（きょくせん）と接（せっ）する条件（じょうけん）を表（あらわ）します。

  2. 02
    ステップ2：直交（ちょっこう）する接線（せっせん）条件（じょうけん）の適用（てきよう）

    Bước 2: Áp dụng điều kiện tiếp tuyến vuông góc

    Khi hai tiếp tuyến vuông góc với nhau, tích hai hệ số góc thỏa mãn m1*m2 = -1. Điều này giúp triệt tiêu các tham số phụ trong phương trình.

    2つの接線（せっせん）が直交（ちょっこう）するとき、傾（かたむ）きの積（せき）は m1*m2 = -1 を満（み）たします。これにより方（かた）程（ほど）式中（しきちゅう）のパラメータを消去（しょうきょ）できます。

  3. 03
    ステップ3：交点（こうてん）の軌跡（きせき）方程（ほうてい）式（しき）の導出（どうしゅつ）

    Bước 3: Tìm phương trình quỹ tích giao điểm

    Biến đổi hệ phương trình tiếp tuyến để tìm quan hệ trực tiếp giữa hoành độ x và tung độ y của giao điểm. Ta thu được phương trình quỹ tích đường tròn có dạng \(x^{2} + y^{2} = 5 / 4\).

    接線（せっせん）の方程（ほうてい）式（しき）系（けい）を整理（せいり）し、交点（こうてん）のx座標（ざひょう）とy座標（ざひょう）の直接（ちょくせつ）の関係（かんけい）を導（みちび）きます。結果（けっか）として \(x^{2} + y^{2} = 5 / 4\) という円（えん）の軌跡（きせき）方程（ほうてい）式（しき）が得（え）られます。

  4. 04
    ステップ4：接線（せっせん）からの距離（きょり）の積（せき）の検証（けんしょう）

    Bước 4: Kiểm tra các tích khoảng cách từ tiếp tuyến

    Tính khoảng cách từ gốc tọa độ hoặc giao điểm đến các đường thẳng tiếp tuyến. Áp dụng công thức \(OQ\cdot OR = a^{2}\) để xác định tính không đổi của giá trị tích.

    原点（げんてん）または交点（こうてん）から接線（せっせん）までの距離（きょり）を計算（けいさん）します。公式（こうしき） \(OQ\cdot OR = a^{2}\) を適用（てきよう）して、距離（きょり）の積（せき）が一定（いってい）であることを確認（かくにん）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên điều kiện tích hệ số góc m1*m2 = -1 khi xử lý hai đường thẳng vuông góc.2直線（ちょくせん）の直交（ちょっこう）条件（じょうけん）である傾（かたむ）きの積（せき） m1*m2 = -1 を考慮（こうりょ）し忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn áp dụng m1*m2 = -1 ngay khi bài toán đề cập đến hai tiếp tuyến vuông góc.2つの接線（せっせん）が直交（ちょっこう）するという記述（きじゅつ）を見（み）たら、直（ただ）ちに m1*m2 = -1 を適用（てきよう）してください。

Nhầm lẫn giữa bán kính R và bình phương bán kính \(R^{2}\) trong phương trình \(x^{2} + y^{2} = 5 / 4\).軌跡（きせき）方程（ほうてい）式（しき） \(x^{2} + y^{2} = 5 / 4\) において、半径（はんけい） R とその2乗（のり） \(R^{2}\) を混同（こんどう）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Phương trình \(x^{2} + y^{2} = 5 / 4\) có \(R^{2} = 5 / 4\) nên bán kính R là \(\sqrt{5} / 2\) chứ không phải 5/4.方程（ほうてい）式（しき） \(x^{2} + y^{2} = 5 / 4\) では \(R^{2} = 5 / 4\) であるため、半径（はんけい） R は 5/4 ではなく \(\sqrt{5} / 2\) です。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Tiếp tuyến của elip/hyperbol mang tính chất hình học đặc trưng liên quan đến khoảng cách và góc.楕円（だえん）・双（そう）曲線（きょくせん）の接線（せっせん）は、距離（きょり）や角（かど）に関（かん）する特徴（とくちょう）的（てき）な幾何（きか）学（がく）的（てき）性質（せいしつ）を持（も）っています。
  • Giao điểm của hai tiếp tuyến vuông góc (m1*m2 = -1) tạo thành một đường tròn quỹ tích dạng \(x^{2} + y^{2} = 5 / 4\).直交（ちょっこう）する2接線（せっせん）（m1*m2 = -1）の交点（こうてん）は、\(x^{2} + y^{2} = 5 / 4\) の形（かたち）をした円（えん）軌跡（きせき）を描（えが）きます。
  • Các công thức như \(OQ\cdot OR = a^{2}\) là công cụ quan trọng để giải bài toán quỹ tích và ứng dụng sơ đồ quang học.\(OQ\cdot OR = a^{2}\) などの公式（こうしき）は、軌跡（きせき）問題（もんだい）の解決（かいけつ）や光学（こうがく）モデルへの応用（おうよう）において重要（じゅうよう）です。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

OQ\cdot OR=a^2

Tích khoảng cách từ gốc tọa độ O đến hai giao điểm Q và R của tiếp tuyến với các trục tọa độ bằng bình phương bán trục a.

原点（げんてん）Oから接線（せっせん）と座標（ざひょう）軸（じく）との交点（こうてん）Q, Rまでの距離（きょり）の積（せき）は、半（はん）軸（じく）aの2乗（のり）に等（ひと）しくなります。

\frac{PF}{PF'}=\frac{QF}{QF'}

Tỷ số khoảng cách từ điểm P và Q đến các tiêu điểm F và F' thỏa mãn tính chất đồng dạng và đối xứng của tiếp tuyến.

点（てん）PおよびQから焦点（しょうてん）F, F'までの距離（きょり）の比（ひ）は、接線（せっせん）の持（も）つ相似（そうじ）性（せい）と対称（たいしょう）性（せい）を満（み）たします。

m_1m_2=-1

Điều kiện để hai tiếp tuyến có hệ số góc m1 và m2 vuông góc với nhau là tích của chúng bằng -1.

傾（かたむ）きm1とm2を持（も）つ2つの接線（せっせん）が互（たが）いに直交（ちょっこう）するための条件（じょうけん）は、それらの積（せき）が -1 になることです。

x^2+y^2=\frac{5}{4}

Phương trình đường tròn quỹ tích của giao điểm hai tiếp tuyến vuông góc với elip cụ thể trong bài toán.

本問（ほんもん）における楕円（だえん）への直交（ちょっこう）する2接線（せっせん）の交点（こうてん）が描（えが）く円（えん）の軌跡（きせき）方程（ほうてい）式（しき）です。

EJU 2026 · MATH.16.1

Bài học này giúp bạn nắm vững các tính chất hình học quan trọng của tiếp tuyến đối với đường elip và hyperbol. Qua đó, bạn sẽ hiểu rõ hình học quỹ tích và ứng dụng trong các sơ đồ quang học.

本課（ほんか）では、楕円（だえん）と双（そう）曲線（きょくせん）の接線（せっせん）に関（かん）する重要（じゅうよう）な幾何（きか）学（がく）的（てき）性質（せいしつ）を学（まな）びます。これにより、軌跡（きせき）の性質（せいしつ）や光学（こうがく）モデルへの応用（おうよう）を理解（りかい）できます。

楕円（だえん）・双（そう）曲線（きょくせん）の接線（せっせん）の性質（せいしつ）
接線垂線の足交点凹レンズ