Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Hàm số được biểu diễn bằng tích phân xác định定積（ていせき）分（ぶん）で表（あらわ）された関数（かんすう）

Công thức公式

\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)
\frac{d}{dx} \int_{g(x)}^{h(x)} f(t) dt = f(h(x))h'(x) - f(g(x))g'(x)
\frac{d}{dx} \int_{-x}^{x} f(t) dt = f(x) + f(-x)

Ví dụ例題

Cho hàm số S(x) = tích phân từ -x đến x của \((3 - t^{2})\) dt với x > 0. Hãy tính đạo hàm S'(x), lập bảng biến thiên trên (0, +infinity) và tìm giá trị lớn nhất của S(x).

x > 0において、関数（かんすう） S(x) = -xからxまでの\((3 - t^{2})\) dt が与（あた）えられています。導（どう）関数（かんすう） S'(x) を求（もと）め、(0, +infinity)における増減（ぞうげん）表（ひょう）を作成（さくせい）して S(x) の最大（さいだい）値（ち）を求（もと）めなさい。

  1. Áp dụng công thức đạo hàm tích phân từ -x đến x: S'\((x) = (3 - x^{2}) + (3 - (-x)^{2}) = 2 (3 - x^{2})\).-xからxまでの定（てい）積分（せきぶん）の微分（びぶん）公式（こうしき）を適用（てきよう）すると、S'\((x) = (3 - x^{2}) + (3 - (-x)^{2}) = 2 (3 - x^{2})\) となります。
  2. Cho S'(x) = 0 với x > 0, ta tìm được \(x = \sqrt{3}\). Vì S'(x) > 0 khi \(0 < x < \sqrt{3}\) và S'(x) < 0 khi \(x > \sqrt{3}\), hàm số đạt cực đại tại \(x = \sqrt{3}\).x > 0において S'(x) = 0 とすると \(x = \sqrt{3}\) となります。\(0 < x < \sqrt{3}\) で S'(x) > 0、\(x > \sqrt{3}\) で S'(x) < 0 となるため、\(x = \sqrt{3}\) で極大（きょくだい）となります。
  3. Tính tích phân S(sqrt(3)) = tích phân từ -sqrt(3) đến sqrt(3) của (3 - t^2) dt = [3t - t^3/3]_{-sqrt(3)}^{sqrt(3)} = 4 sqrt(3). Đây là giá trị lớn nhất.S(sqrt(3)) = -sqrt(3)からsqrt(3)までの(3 - t^2) dt = [3t - t^3/3]_{-sqrt(3)}^{sqrt(3)} = 4 sqrt(3) を計算（けいさん）します。これが最大（さいだい）値（ち）となります。
Đạo hàm là S'\((x) = 2 (3 - x^{2})\) và giá trị lớn nhất của S(x) là \(4 \sqrt{3}\) tại \(x = \sqrt{3}\).導（どう）関数（かんすう）は S'\((x) = 2 (3 - x^{2})\) であり、S(x) の最大（さいだい）値（ち）は \(x = \sqrt{3}\) のとき \(4 \sqrt{3}\) です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho hàm số F(x) = tích phân từ 1 đến x của \((t^{2} + 2)\) dt. Tính giá trị đạo hàm F'(3).関数（かんすう） F(x) = 1からxまでの\((t^{2} + 2)\) dt が与（あた）えられています。導（どう）関数（かんすう）の値（あたい） F'(3) を求（もと）めなさい。

2. Cho hàm số G(x) = tích phân từ -x đến x của \((5 - t^{2})\) dt với x > 0. Tính đạo hàm G'(2).x > 0において、関数（かんすう） G(x) = -xからxまでの\((5 - t^{2})\) dt が与（あた）えられています。導（どう）関数（かんすう）の値（あたい） G'(2) を求（もと）めなさい。

3. Cho hàm số H(x) = tích phân từ x đến \(x^{2}\) của t dt với x > 0. Tính đạo hàm H'(x).x > 0において、関数（かんすう） H(x) = xから\(x^{2}\)までのt dt が与（あた）えられています。導（どう）関数（かんすう） H'(x) を求（もと）めなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.20.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.20.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Sử dụng định lý cơ bản của giải tích để tính đạo hàm của hàm số cho bởi tích phân.微（び）積分（せきぶん）法（ほう）の基本（きほん）定理（ていり）を用（もち）いて、定積（ていせき）分（ぶん）で表（あらわ）された関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう）を計算（けいさん）する。
  2. Áp dụng công thức đạo hàm tích phân với cận biến g(x) và h(x) hoặc từ -x đến x.変数（へんすう）端点（たんてん）g(x), h(x)や-xからxまでの定（てい）積分（せきぶん）の微分（びぶん）公式（こうしき）を適用（てきよう）する。
  3. Lập bảng biến thiên và tìm giá trị lớn nhất của hàm số cho bởi tích phân xác định.定積（ていせき）分（ぶん）で表（あらわ）された関数（かんすう）の増減（ぞうげん）表（ひょう）を作成（さくせい）し、最大（さいだい）値（ち）を求（もと）める。
Trực giác · イメージ

Hiểu về đạo hàm của hàm tích phân theo cận biến変数（へんすう）端点（たんてん）を持（も）つ積分（せきぶん）関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう）の直感（ちょっかん）的（てき）理解（りかい）

Khi cận trên của tích phân thay đổi theo x, diện tích tích lũy dưới đồ thị cũng thay đổi. Đạo hàm theo x chính là tốc độ thay đổi của diện tích đó tại vị trí cận x.

積分（せきぶん）の上端（じょうたん）がxに応（おう）じて変化（へんか）するとき、グラフの下（した）の累積（るいせき）面積（めんせき）も変化（へんか）します。xによる微分（びぶん）は、端点（たんてん）xにおけるその面積（めんせき）の変化（へんか）率（りつ）を表（あらわ）します。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 定積（ていせき）分（ぶん）で表（あらわ）された関数（かんすう）hàm số được biểu diễn bằng tích phân xác định

    Đây là dạng hàm số mà cận của tích phân hoặc biểu thức dưới dấu tích phân chứa biến số x. Đạo hàm của hàm số này được tính dựa trên định lý cơ bản của giải tích.

    積分（せきぶん）の端点（たんてん）や被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）に変数（へんすう）xが含（ふく）まれる関数（かんすう）の形式（けいしき）です。この関数（かんすう）の導（どう）関数（かんすう）は微（び）積分（せきぶん）法（ほう）の基本（きほん）定理（ていり）に基（もと）づいて計算（けいさん）されます。

  • 微（び）積分（せきぶん）法（ほう）の基本（きほん）定理（ていり）định lý cơ bản của giải tích

    Định lý thiết lập mối quan hệ giữa phép tính vi phân và phép tính tích phân. Theo định lý này, đạo hàm theo x của tích phân xác định từ a đến x của f(t)dt chính bằng f(x).

    微分（びぶん）法（ほう）と積分（せきぶん）法（ほう）の関係（かんけい）を確立（かくりつ）する定理（ていり）です。この定理（ていり）によれば、aからxまでのf(t)dtの定（てい）積分（せきぶん）をxで微分（びぶん）するとf(x)に等（ひと）しくなります。

  • 逆（ぎゃく）関数（かんすう）hàm số ngược

    Hàm số ngược đảo ngược tác động của hàm số ban đầu. Khi nghiên cứu hàm số cho bởi tích phân, việc xét hàm số ngược giúp phân tích tính đơn điệu và tập giá trị.

    元（もと）の関数（かんすう）の作用（さよう）を逆（ぎゃく）にする関数（かんすう）です。定積（ていせき）分（ぶん）で表（あらわ）された関数（かんすう）を研究（けんきゅう）する際（さい）、逆（ぎゃく）関数（かんすう）を考（かんが）えることで単調（たんちょう）性（せい）や値域（ちいき）の解析（かいせき）に役立（やくだ）ちます。

  • アークタンジェントhàm arctan

    Đây là hàm ngược của hàm lượng giác tan. Hàm arctan xuất hiện khi tính nguyên hàm của các biểu thức có dạng \(1 / (1 + t^{2})\).

    三角（さんかく）関数（かんすう）tanの逆（ぎゃく）関数（かんすう）です。arctan関数（かんすう）は\(1 / (1 + t^{2})\)の形（かたち）の原（げん）関数（かんすう）を計算（けいさん）する際（さい）に現（あらわ）れます。

  • 増減（ぞうげん）表（ひょう）bảng biến thiên

    Bảng thể hiện dấu của đạo hàm và sự biến thiên tăng giảm của hàm số trên các khoảng. Lập bảng biến thiên giúp xác định các điểm cực trị và dáng điệu đồ thị.

    導（どう）関数（かんすう）の符号（ふごう）と関数（かんすう）の増減（ぞうげん）を各（かく）区間（くかん）で表（あらわ）した表（おもて）です。増減（ぞうげん）表（ひょう）を作成（さくせい）することで、極値（きょくち）やグラフの概形（がいけい）を特定（とくてい）できます。

  • 最大（さいだい）値（ち）giá trị lớn nhất

    Giá trị lớn nhất là giá trị đạt được cao nhất của hàm số trên một tập xác định cho trước. Ta tìm giá trị này bằng cách so sánh giá trị tại các điểm cực trị và các điểm biên.

    指定（してい）された定義（ていぎ）域（いき）において関数（かんすう）が取（と）る最（もっと）も大（おお）きい値（あたい）です。極値（きょくち）での値（あたい）と端点（たんてん）での値（あたい）を比較（ひかく）することで最大（さいだい）値（ち）を求（もと）めます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：端点（たんてん）の構造（こうぞう）と被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）の確認（かくにん）

    Bước 1: Nhận diện cấu trúc cận và biểu thức tích phân

    Xác định các cận của tích phân là hằng số a, biến x hay các hàm g(x), h(x). Kiểm tra biểu thức f(t) bên trong tích phân.

    積分（せきぶん）の端点（たんてん）が定数（ていすう）a、変数（へんすう）x、または関数（かんすう）g(x), h(x)であるかを確認（かくにん）します。被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）f(t)の形（かたち）をチェックします。

  2. 02
    ステップ2：xによる微分（びぶん）公式（こうしき）の適用（てきよう）

    Bước 2: Áp dụng công thức lấy đạo hàm theo x

    Dùng công thức đạo hàm phù hợp để tính f'(x). Nếu cận từ -x đến x, đạo hàm thu được là f(x) + f(-x).

    適切（てきせつ）な微分（びぶん）公式（こうしき）を使用（しよう）してf'(x)を計算（けいさん）します。端点（たんてん）が-xからxの場合（ばあい）、導（どう）関数（かんすう）はf(x) + f(-x)となります。

  3. 03
    ステップ3：導（どう）関数（かんすう）の符号（ふごう）判定（はんてい）と増減（ぞうげん）表（ひょう）の作成（さくせい）

    Bước 3: Xét dấu đạo hàm và lập bảng biến thiên

    Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm dừng. Lập bảng biến thiên để xác định chiều biến thiên và tìm giá trị lớn nhất.

    方程（ほうてい）式（しき）f'(x) = 0を解（と）いて停留（ていりゅう）点（てん）を求（もと）めます。増減（ぞうげん）表（ひょう）を作成（さくせい）して関数（かんすう）の増減（ぞうげん）を判定（はんてい）し、最大（さいだい）値（ち）を特定（とくてい）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Bỏ qua đạo hàm của các cận hằng số hoặc áp dụng nhầm công thức đạo hàm hàm hợp h'(x) và g'(x).定数（ていすう）端点（たんてん）の微分（びぶん）を誤解（ごかい）したり、合成（ごうせい）関数（かんすう）の微分（びぶん）h'(x)やg'(x)を掛（か）け忘（わす）れたりすること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Với f liên tục và g,h khả vi, áp dụng quy tắc hai cận: $\frac{d}{dx}\int_{g(x)}^{h(x)}f(t)\,dt=f(h(x))h^{\prime}(x)-f(g(x))g^{\prime}(x)$. Cận dưới mang dấu trừ; mỗi cận đều cần nhân đạo hàm của chính nó.f が連続（れんぞく）、g,h が微分（びぶん）可能（かのう）なら、$\frac{d}{dx}\int_{g(x)}^{h(x)}f(t)\,dt=f(h(x))h^{\prime}(x)-f(g(x))g^{\prime}(x)$。下端（かたん）にはマイナスを付（つ）け、それぞれの端点（たんてん）の導（どう）関数（かんすう）を掛（か）ける。

Cho rằng đạo hàm của tích phân từ -x đến x bằng 0 đối với mọi hàm số.-xからxまでの定（てい）積分（せきぶん）の導（どう）関数（かんすう）がすべての関数（かんすう）に対（たい）して0になると勘違（かんちが）いすること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Với f liên tục trên khoảng đối xứng, $\frac{d}{dx}\int_{-x}^{x}f(t)\,dt=f(x)+f(-x)$. Nếu f là hàm lẻ trên cả khoảng thì tổng này bằng 0 với mọi x; một giá trị x riêng lẻ cho tổng 0 chưa đủ kết luận f lẻ.f が対称（たいしょう）区間（くかん）で連続（れんぞく）なら、$\frac{d}{dx}\int_{-x}^{x}f(t)\,dt=f(x)+f(-x)$。区間（くかん）全体（ぜんたい）で f が奇（き）関数（かんすう）なら任意（にんい）の x で0となるが、ある1点（てん）で0になるだけでは奇（き）関数（かんすう）とは結論（けつろん）できない。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Đạo hàm của tích phân cận từ a đến x chính bằng f(x) theo định lý cơ bản của giải tích.微（び）積分（せきぶん）法（ほう）の基本（きほん）定理（ていり）によると、aからxまでの定（てい）積分（せきぶん）の導（どう）関数（かんすう）はf(x)に等（ひと）しくなります。
  • Đạo hàm tích phân với hai cận biến g(x) và h(x) được tính bằng f(h(x))h'(x) - f(g(x))g'(x).両（りょう）端点（たんてん）が変数（へんすう）g(x), h(x)の定（てい）積分（せきぶん）の導（どう）関数（かんすう）はf(h(x))h'(x) - f(g(x))g'(x)で計算（けいさん）されます。
  • Tích phân từ -x đến x có đạo hàm bằng f(x) + f(-x), dùng để lập bảng biến thiên và tìm giá trị lớn nhất.-xからxまでの定（てい）積分（せきぶん）の導（どう）関数（かんすう）はf(x) + f(-x)となり、増減（ぞうげん）表（ひょう）の作成（さくせい）や最大（さいだい）値（ち）の特定（とくてい）に使用（しよう）されます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)

Công thức lấy đạo hàm theo x của tích phân với cận trên x và cận dưới là hằng số a. Kết quả đạo hàm bằng đúng giá trị của hàm f(x).

上端（じょうたん）がxで下端（かたん）が定数（ていすう）aである定（てい）積分（せきぶん）をxで微分（びぶん）する公式（こうしき）です。微分（びぶん）結果（けっか）は関数（かんすう）f(x)の値（あたい）と一致（いっち）します。

\frac{d}{dx} \int_{g(x)}^{h(x)} f(t) dt = f(h(x))h'(x) - f(g(x))g'(x)

Công thức đạo hàm của tích phân xác định khi cả hai cận đều là hàm số theo x. Kết quả là f(h(x))h'(x) trừ đi f(g(x))g'(x).

上端（じょうたん）と下端（したば）の両方（りょうほう）がxの関数（かんすう）である場合（ばあい）の定（てい）積分（せきぶん）の微分（びぶん）公式（こうしき）です。結果（けっか）はf(h(x))h'(x)からf(g(x))g'(x)を引（ひ）いたものになります。

\frac{d}{dx} \int_{-x}^{x} f(t) dt = f(x) + f(-x)

Công thức đạo hàm của tích phân xác định từ -x đến x đối với hàm f(t). Đạo hàm bằng tổng f(x) + f(-x).

-xからxまでのf(t)の定（てい）積分（せきぶん）をxで微分（びぶん）する公式（こうしき）です。導（どう）関数（かんすう）はf(x) + f(-x)の和（わ）に等（ひと）しくなります。

EJU 2026 · MATH.20.1

Hàm số được biểu diễn bằng tích phân xác định chứa biến số ở cận tích phân. Bài học giúp bạn nắm vững cách tính đạo hàm của hàm số này bằng định lý cơ bản của giải tích và lập bảng biến thiên.

定積（ていせき）分（ぶん）で表（あらわ）された関数（かんすう）は、積分（せきぶん）の端点（たんてん）に変数（へんすう）を含（ふく）みます。本課（ほんか）では、微（び）積分（せきぶん）法（ほう）の基本（きほん）定理（ていり）を用（もち）いた導（どう）関数（かんすう）の計算（けいさん）と増減（ぞうげん）表（ひょう）の作成（さくせい）方法（ほうほう）を習得（しゅうとく）します。

定積（ていせき）分（ぶん）で表（あらわ）された関数（かんすう）
定積分で表された関数微積分法の基本定理逆関数アークタンジェント