Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Phương pháp tích phân từng phần của tích phân xác định定（てい）積分（せきぶん）の部分（ぶぶん）積分（せきぶん）法（ほう）

Công thức公式

\int_{a}^{b} f(x) g'(x) dx = [f(x) g(x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f'(x) g(x) dx

Ví dụ例題

Cho hai hàm số f(x) và g(x) thỏa mãn f(0) = 1, f(1) = 3, g(0) = 2, g(1) = 4. Biết rằng tích phân từ 0 đến 1 của f'(x)g(x) dx bằng 5. Hãy tính tích phân I = tích phân từ 0 đến 1 của f(x)g'(x) dx.

関数（かんすう）f(x)とg(x)において、f(0) = 1, f(1) = 3, g(0) = 2, g(1) = 4が成り立（なりた）っています。また、0から1までのf'(x)g(x) dxの定（てい）積分（せきぶん）が5であるとき、定（てい）積分（せきぶん） I = 0から1までのf(x)g'(x) dx の値（あたい）を求（もと）めなさい。

  1. Áp dụng công thức tích phân từng phần: I = [f(x)g(x)]_0^1 - tích phân từ 0 đến 1 của f'(x)g(x) dx.部分（ぶぶん）積分（せきぶん）公式（こうしき）を適用（てきよう）すると、I = [f(x)g(x)]_0^1 - 0から1までのf'(x)g(x) dx となります。
  2. Tính giá trị của phần thế cận: [f(x)g(x)]_0^1 = f(1)g(1) - f(0)g(0) = 3 * 4 - 1 * 2 = 12 - 2 = 10.代入（だいにゅう）項（こう）の値（あたい）を計算（けいさん）すると、[f(x)g(x)]_0^1 = f(1)g(1) - f(0)g(0) = 3 * 4 - 1 * 2 = 12 - 2 = 10 となります。
  3. Thay các giá trị vào công thức ta được I = 10 - 5 = 5.各値（かくち）を公式（こうしき）に代入（だいにゅう）すると、I = 10 - 5 = 5 と求（もと）まります。
Vậy giá trị tích phân I là 5.したがって、定（てい）積分（せきぶん） I の値（あたい）は 5 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho f(0) = 2, f(2) = 5, g(0) = 1, g(2) = 3. Biết tích phân từ 0 đến 2 của f'(x)g(x) dx bằng 4. Tính tích phân I = tích phân từ 0 đến 2 của f(x)g'(x) dx.f(0) = 2, f(2) = 5, g(0) = 1, g(2) = 3 であり、0から2までのf'(x)g(x) dxの定（てい）積分（せきぶん）が4であるとき、定（てい）積分（せきぶん） I = 0から2までのf(x)g'(x) dx の値（あたい）を求（もと）めなさい。

2. Cho f(1) = 4, f(3) = 6, g(1) = 2, g(3) = 5. Biết tích phân từ 1 đến 3 của f(x)g'(x) dx bằng 18. Tính tích phân J = tích phân từ 1 đến 3 của f'(x)g(x) dx.f(1) = 4, f(3) = 6, g(1) = 2, g(3) = 5 であり、1から3までのf(x)g'(x) dxの定（てい）積分（せきぶん）が18であるとき、定（てい）積分（せきぶん） J = 1から3までのf'(x)g(x) dx の値（あたい）を求（もと）めなさい。

3. Cho f(0) = 1, f(4) = 2, g(0) = 3, g(4) = 7. Biết tích phân từ 0 đến 4 của f'(x)g(x) dx bằng 6. Tính tích phân I = tích phân từ 0 đến 4 của f(x)g'(x) dx.f(0) = 1, f(4) = 2, g(0) = 3, g(4) = 7 であり、0から4までのf'(x)g(x) dxの定（てい）積分（せきぶん）が6であるとき、定（てい）積分（せきぶん） I = 0から4までのf(x)g'(x) dx の値（あたい）を求（もと）めなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.20.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.20.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nắm vững công thức tích phân từng phần cho tích phân xác định từ cận a đến b.区間（くかん）aからbにおける定積（ていせき）分（ぶん）の部分（ぶぶん）積分（せきぶん）公式（こうしき）を正確（せいかく）に理解（りかい）する。
  2. Biết cách lựa chọn hàm f(x) và g'(x) phù hợp để đơn giản hóa biểu thức tích phân.積分（せきぶん）式（しき）を簡素（かんそ）化（か）するために適切（てきせつ）なf(x)とg'(x)を選択（せんたく）できる。
  3. Tính toán chính xác giá trị của thế cận [f(x)g(x)]_a^b và tích phân còn lại.代入（だいにゅう）項（こう）[f(x)g(x)]_a^bの値（あたい）と残（のこ）りの定（てい）積分（せきぶん）の値（あたい）を正確（せいかく）に計算（けいさん）できる。
Trực giác · イメージ

Hiểu trực giác về biến đổi tích phân từng phần部分（ぶぶん）積分（せきぶん）による式（しき）変形（へんけい）の直感（ちょっかん）的（てき）理解（りかい）

Khi lấy tích phân của một tích hai hàm số, việc tách trực tiếp từng hàm là không thể. Tích phân từng phần chuyển đổi bài toán thành việc tính giá trị thế cận tại hai điểm đầu cuối trừ đi một tích phân mới dễ hơn.

2つの関数（かんすう）の積（せき）を積分（せきぶん）する際（さい）、単純（たんじゅん）に分（わ）けて積分（せきぶん）することはできません。部分（ぶぶん）積分（せきぶん）法（ほう）は、両（りょう）端点（たんてん）での代入（だいにゅう）値（ち）の差（さ）からより計算（けいさん）しやすい新（あたら）しい定（てい）積分（せきぶん）を引（ひ）く形（かたち）に変換（へんかん）します。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 部分（ぶぶん）積分（せきぶん）法（ほう）phương pháp tích phân từng phần

    Đây là phương pháp tính tích phân xác định của tích hai hàm bằng cách sử dụng công thức biến đổi giữa tích phân của f(x)g'(x) và f'(x)g(x). Phương pháp này giúp đưa tích phân ban đầu về dạng dễ tính hơn.

    2つの関数（かんすう）の積（せき）の定（てい）積分（せきぶん）を、f(x)g'(x)の積分（せきぶん）からf'(x)g(x)の積分（せきぶん）へと変換（へんかん）して計算（けいさん）する手法（しゅほう）です。この手法（しゅほう）により、元（もと）の積分（せきぶん）をより計算（けいさん）しやすい形（かたち）に変形（へんけい）できます。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：f(x)とg'(x)の設定（せってい）

    Bước 1: Xác định f(x) và g'(x)

    Phân tích biểu thức dưới dấu tích phân thành tích của f(x) và g'(x). Sau đó tính đạo hàm f'(x) và tìm nguyên hàm g(x).

    被（ひ）積分（せきぶん）関数（かんすう）をf(x)とg'(x)の積（せき）の形（かたち）に分解（ぶんかい）します。続（つづ）いてf'(x)を導（どう）関数（かんすう）として求（もと）め、g(x)の原（げん）関数（かんすう）を求（もと）めます。

  2. 02
    ステップ2：公式（こうしき）への代入（だいにゅう）と新（あたら）しい定（てい）積分（せきぶん）の構成（こうせい）

    Bước 2: Áp dụng công thức thế cận và tích phân mới

    Thay các hàm số vào công thức tích phân từng phần cho cận từ a đến b. Viết rõ phần thế cận [f(x)g(x)]_a^b và tích phân mới của f'(x)g(x).

    区間（くかん）aからbに対（たい）する部分（ぶぶん）積分（せきぶん）公式（こうしき）に各（かく）関数（かんすう）を代入（だいにゅう）します。代入（だいにゅう）項（こう）[f(x)g(x)]_a^bとf'(x)g(x)の新（あたら）しい定（てい）積分（せきぶん）を明記（めいき）します。

  3. 03
    ステップ3：数値（すうち）の計算（けいさん）と最終（さいしゅう）結果（けっか）の算出（さんしゅつ）

    Bước 3: Tính toán giá trị số cuối cùng

    Tính giá trị f(b)g(b) - f(a)g(a) rồi trừ đi kết quả của tích phân còn lại. Kiểm tra cẩn thận dấu âm và phép tính số học.

    f(b)g(b) - f(a)g(a)の値（あたい）を計算（けいさん）し、残（のこ）りの定（てい）積分（せきぶん）の結果（けっか）を引（ひ）きます。符号（ふごう）のミスや数値（すうち）計算（けいさん）に注意（ちゅうい）して最終（さいしゅう）結果（けっか）を求（もと）めます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên đổi dấu âm khi trừ tích phân thứ hai trong công thức.公式（こうしき）における第（だい）2項（こう）の定（てい）積分（せきぶん）を引（ひ）く際（さい）の符号（ふごう）処理（しょり）を忘（わす）れてしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn chú ý dấu trừ trước tích phân từ a đến b của f'(x)g(x) dx.aからbまでのf'(x)g(x) dxの定（てい）積分（せきぶん）の前（まえ）にあるマイナス符号（ふごう）を常（つね）に意識（いしき）します。

Quên thế cận vào biểu thức [f(x)g(x)]_a^b mà giữ nguyên dạng hàm số.代入（だいにゅう）項（こう）[f(x)g(x)]_a^bに端点（たんてん）を代入（だいにゅう）せず、関数（かんすう）の形（かたち）のまま放置（ほうち）してしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Tính chính xác f(b)g(b) - f(a)g(a) trước khi thực hiện phép trừ với tích phân còn lại.残（のこ）りの定（てい）積分（せきぶん）を引（ひ）く前（まえ）に、f(b)g(b) - f(a)g(a)の値（あたい）を正確（せいかく）に計算（けいさん）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Công thức tích phân từng phần chuyển tích phân của f(x)g'(x) thành hiệu của thế cận [f(x)g(x)]_a^b và tích phân của f'(x)g(x).部分（ぶぶん）積分（せきぶん）公式（こうしき）は、f(x)g'(x)の定（てい）積分（せきぶん）を代入（だいにゅう）項（こう）[f(x)g(x)]_a^bとf'(x)g(x)の定（てい）積分（せきぶん）の差（さ）に変換（へんかん）します。
  • Việc thế cận [f(x)g(x)]_a^b bằng f(b)g(b) - f(a)g(a) cần được tính cẩn thận trước khi thực hiện phép trừ.代入（だいにゅう）項（こう）[f(x)g(x)]_a^bの計算（けいさん）f(b)g(b) - f(a)g(a)は、引き算（ひきざん）を行（おこな）う前（まえ）に正確（せいかく）に計算（けいさん）する必要（ひつよう）があります。
  • Luôn chú ý dấu âm trước tích phân thứ hai để tránh sai sót trong quá trình biến đổi.式（しき）変形（へんけい）の過程（かてい）でミスを防（ふせ）ぐため、第（だい）2項（こう）の定（てい）積分（せきぶん）の前（まえ）にあるマイナス符号（ふごう）に常（つね）に注意（ちゅうい）してください。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\int_{a}^{b} f(x) g'(x) dx = [f(x) g(x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f'(x) g(x) dx

Công thức tính tích phân từng phần trên đoạn [a, b]. Giá trị tích phân bằng hiệu số f(b)g(b) - f(a)g(a) trừ đi tích phân của f'(x)g(x) từ a đến b.

区間（くかん）[a, b]における部分（ぶぶん）積分（せきぶん）の基本（きほん）公式（こうしき）です。定（てい）積分（せきぶん）の値（あたい）は代入（だいにゅう）項（こう）の差（さ）f(b)g(b) - f(a)g(a)からf'(x)g(x)の定（てい）積分（せきぶん）を差し引（さしひ）いたものになります。

EJU 2026 · MATH.20.1

Phương pháp tích phân từng phần giúp tính tích phân xác định của tích hai hàm số bằng cách biến đổi về tích phân đơn giản hơn. Bài học này hướng dẫn áp dụng công thức tích phân từng phần chính xác với các cận xác định.

定（てい）積分（せきぶん）の部分（ぶぶん）積分（せきぶん）法（ほう）は、2つの関数（かんすう）の積（せき）の定（てい）積分（せきぶん）をより簡単（かんたん）な積分（せきぶん）に変換（へんかん）して計算（けいさん）する手法（しゅほう）です。本課（ほんか）では、積分（せきぶん）区間（くかん）を伴（ともな）う部分（ぶぶん）積分（せきぶん）公式（こうしき）の正（ただ）しい適用（てきよう）方法（ほうほう）を学（まな）びます。

定（てい）積分（せきぶん）の部分（ぶぶん）積分（せきぶん）法（ほう）
部分積分法