Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Tích phân xác định và phương pháp tổng Riemann定（てい）積分（せきぶん）と区分（くぶん）求積（きゅうせき）法（ほう）

Công thức公式

\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k) \Delta x = \int_{a}^{b} f(x) dx
\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_{0}^{1} f(x) dx
f(x) \geqq g(x) \implies \int_{a}^{b} f(x) dx > \int_{a}^{b} g(x) dx
\left\{\int_{a}^{b} f(x)g(x)dx\right\}^2 \leqq \int_{a}^{b} \{f(x)\}^2 dx \int_{a}^{b} \{g(x)\}^2 dx

Ví dụ例題

Tính giới hạn L = lim (n -> inf) sum (k=1..n) k^2 / n^3 bằng phương pháp tổng Riemann.

区分（くぶん）求積（きゅうせき）法（ほう）を用（もち）いて極限（きょくげん） L = lim (n -> inf) sum (k=1..n) k^2 / n^3 を計算（けいさん）しなさい。

  1. Biến đổi biểu thức trong tổng thành dạng \((1 / n)\cdot (k / n)^{2}\).和（わ）の項（こう）を \((1 / n)\cdot (k / n)^{2}\) の形（かたち）に変形（へんけい）します。
  2. Nhận thấy hàm số \(f(x) = x^{2}\) và chuyển giới hạn thành tích phân từ 0 đến 1 của \(x^{2}\) dx.関数（かんすう） \(f(x) = x^{2}\) と同定（どうてい）し、極限（きょくげん）を0から1までの \(x^{2}\) dx の定積（ていせき）分（ぶん）に変換（へんかん）します。
  3. Tính nguyên hàm thu được [\(x^{3} / 3\)] từ 0 đến 1 và thay số ta được 1/3.原子（げんし）関数（かんすう） [\(x^{3} / 3\)] を求（もと）め、0から1まで代入（だいにゅう）すると1/3が得（え）られます。
Vậy giá trị giới hạn cần tìm là L = 1/3.したがって、求（もと）める極限（きょくげん）値（ち）は L = 1/3 です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Giá trị của giới hạn L = lim (n -> inf) sum (k=1..n) k / n^2 bằng bao nhiêu?極限（きょくげん） L = lim (n -> inf) sum (k=1..n) k / n^2 の値（あたい）はいくらですか。

2. Giá trị của giới hạn L = lim (n -> inf) sum (k=1..n) (n + k) / n^2 bằng bao nhiêu?極限（きょくげん） L = lim (n -> inf) sum (k=1..n) (n + k) / n^2 の値（あたい）はいくらですか。

3. Nếu f(x) >= x trên đoạn [0, 1] và f(x) không đồng nhất với x, khẳng định nào đúng về tích phân I = int_{0}^{1} f(x) dx?区間（くかん）[0, 1]で f(x) >= x でありf(x)がxと一致（いっち）しないとき、定（てい）積分（せきぶん） I = int_{0}^{1} f(x) dx について正（ただ）しいものはどれですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.20.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 4 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.20.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）4区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Biết cách biến đổi tổng Riemann dạng lim 1/n sum f(k/n) sang tích phân từ 0 đến 1.lim 1/n sum f(k/n) の形（かたち）のリーマン和（わ）を0から1までの定積（ていせき）分（ぶん）に変換（へんかん）できる。
  2. Vận dụng tính chất f(x) >= g(x) để so sánh giá trị các tích phân xác định.f(x) >= g(x) の性質（せいしつ）を利用（りよう）して定（てい）積分（せきぶん）の値（あたい）を比較（ひかく）できる。
  3. Áp dụng bất đẳng thức Schwarz cho tích phân xác định trong các bài toán đánh giá.評価（ひょうか）問題（もんだい）において定（てい）積分（せきぶん）に関（かん）するシュヴァルツの不（ふ）等式（とうしき）を適用（てきよう）できる。
Trực giác · イメージ

Ý tưởng chia nhỏ hình phẳng thành vô số hình chữ nhật平面（へいめん）図形（ずけい）を無限（むげん）の長（ちょう）方形（ほうけい）に細分（さいぶん）化（か）する考（かんが）え方（かた）

Khi chia đoạn cần tính diện tích thành n phần bằng nhau và cho n tiến tới vô cùng, tổng diện tích của các hình chữ nhật nhỏ sẽ hội tụ về tích phân xác định. Đây là cầu nối giữa phép cộng rời rạc và phép tính tích phân liên tục.

面積（めんせき）を求（もと）める区間（くかん）をn等分（とうぶん）してnを無限（むげん）大（だい）に飛（と）ばすと、小（ちい）さな長（ちょう）方形（ほうけい）の面積（めんせき）の和（わ）は定（てい）積分（せきぶん）に収束（しゅうそく）します。これは離散（りさん）的（てき）な加算（かさん）と連続（れんぞく）的（てき）な積分（せきぶん）計算（けいさん）をつなぐ架け橋（かけはし）です。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 区分（くぶん）求積（きゅうせき）法（ほう）phương pháp tổng Riemann

    Phương pháp tính diện tích bằng cách chia miền thành n hình chữ nhật hẹp rồi lấy giới hạn khi n tiến ra vô cùng.

    領域（りょういき）をn個（こ）の細長（ほそなが）い長（ちょう）方形（ほうけい）に分割（ぶんかつ）し、nを無限（むげん）大（だい）にした極限（きょくげん）値（ち）として面積（めんせき）を求（もと）める方法（ほうほう）です。

  • 和（わ）の極限（きょくげん）値（ち）giới hạn của tổng

    Giá trị giới hạn của một dãy tổng khi số lượng phần tử chia n tiến tới vô cùng.

    分割（ぶんかつ）数（すう）nを無限（むげん）大（だい）にしたときの和（わ）の数列（すうれつ）の極限（きょくげん）値（ち）のことです。

  • リーマン和（わ）tổng Riemann

    Tổng diện tích các hình chữ nhật đại diện cho hàm số trên từng khoảng chia nhỏ.

    各（かく）小（しょう）区間（くかん）における関数（かんすう）値（ち）と区間（くかん）の幅（はば）の積（せき）の総和（そうわ）のことです。

  • 定（てい）積分（せきぶん）と不等（ふとう）式（しき）tích phân xác định và bất đẳng thức

    Mối quan hệ thứ tự giữa hai hàm số f(x) >= g(x) dẫn đến bất đẳng thức tương ứng của tích phân xác định.

    2つの関数（かんすう）の大小（だいしょう）関係（かんけい） f(x) >= g(x) から導（みちび）かれる定（てい）積分（せきぶん）の不（ふ）等式（とうしき）関係（かんけい）です。

  • シュヴァルツの不（ふ）等式（とうしき）bất đẳng thức Schwarz

    Bất đẳng thức liên hệ giữa tích phân của tích hai hàm số và tích phân của bình phương từng hàm.

    2つの関数（かんすう）の積（せき）の積分（せきぶん）の2乗（のり）が、それぞれの関数（かんすう）の2乗（のり）の積分（せきぶん）の積（せき）以下（いか）となる不等（ふとう）式（しき）です。

  • 判別（はんべつ）式（しき）định thức biệt số

    Biểu thức dùng để xác định dấu của tam thức bậc hai thu được khi chứng minh bất đẳng thức Schwarz.

    シュヴァルツの不（ふ）等式（とうしき）を証明（しょうめい）する際（さい）に現（あらわ）れる2次式（じしき）の符号（ふごう）を判定（はんてい）するための式（しき）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1: リーマン和（わ）の式（しき）を識別（しきべつ）する

    Bước 1: Nhận diện biểu thức tổng Riemann

    Dưa biểu thức tổng về dạng 1/n nhân với tổng của f(k/n) khi k chạy từ 1 đến n. Xác định rõ dạng của hàm số f(x).

    和（わ）の式（しき）を1/nとf(k/n)の総和（そうわ）の積（せき）の形（かたち）に変形（へんけい）します。関数（かんすう）f(x)の具体（ぐたい）的（てき）な形（かたち）を正確（せいかく）に特定（とくてい）します。

  2. 02
    ステップ2: 定積（ていせき）分（ぶん）へ変換（へんかん）する

    Bước 2: Chuyển sang tích phân xác định

    Thay lim sum 1/n f(k/n) bằng tích phân từ 0 đến 1 của f(x) dx. Tiến hành tính tích phân xác định thu được.

    lim sum 1/n f(k/n) を0から1までのf(x)dxの定積（ていせき）分（ぶん）に置き換（おきか）えます。得（え）られた定（てい）積分（せきぶん）を計算（けいさん）します。

  3. 03
    ステップ3: 関数（かんすう）の比較（ひかく）と不等（ふとう）式（しき）の樹立（じゅりつ）

    Bước 3: So sánh hàm số và thiết lập bất đẳng thức

    Nếu f(x) >= g(x) trên đoạn [a, b] thì tích phân của f(x) lớn hơn tích phân của g(x). Áp dụng tính chất này để đánh giá giá trị tích phân.

    区間（くかん）[a, b]でf(x) >= g(x)ならば、f(x)の積分（せきぶん）はg(x)の積分（せきぶん）より大（おお）きくなります。この性質（せいしつ）を用（もち）いて定（てい）積分（せきぶん）の値（あたい）を評価（ひょうか）します。

  4. 04
    ステップ4: 必要（ひつよう）に応（おう）じてシュヴァルツの不（ふ）等式（とうしき）を使用（しよう）する

    Bước 4: Sử dụng bất đẳng thức Schwarz khi cần

    Áp dụng công thức Schwarz cho tích phân tích f(x)g(x) để tìm bình phương giới hạn trên. Kiểm tra điều kiện xảy ra dấu bằng nếu có.

    積（せき）の積分（せきぶん）f(x)g(x)に対（たい）してシュヴァルツの不（ふ）等式（とうしき）を適用（てきよう）し、上界（じょうかい）を求（もと）めます。必要（ひつよう）に応（おう）じて等号（とうごう）成立（せいりつ）条件（じょうけん）を確認（かくにん）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên tách hệ số 1/n ra ngoài tổng dẫn đến xác định sai hàm f(x).総和（そうわ）の外（そと）に係数（けいすう）1/nをくくり出（だ）し忘（わす）れ、関数（かんすう）f(x)を誤（あやま）って特定（とくてい）してしまうこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn rút 1/n làm nhân tử chung để phần còn lại hoàn toàn phụ thuộc vào tỉ số k/n.常（つね）に1/nを共通（きょうつう）因数（いんすう）としてくくり出（だ）し、残（のこ）りの部分（ぶぶん）をk/nの関数（かんすう）として整理（せいり）します。

Nhầm lẫn cận tích phân khi k chạy từ 1 đến n trong phương pháp tổng Riemann cơ bản.基本（きほん）の区分（くぶん）求積（きゅうせき）法（ほう）において、kが1からnまで変化（へんか）するときの積分（せきぶん）の端点（たんてん）を誤（あやま）ること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Khi k/n chạy từ 1/n đến 1 thì khi n tiến tới vô cùng, cận lấy tích phân chuẩn là từ 0 đến 1.k/nが1/nから1まで変化（へんか）するとき、nを無限（むげん）大（だい）に飛（と）ばせば標準（ひょうじゅん）的（てき）な積分（せきぶん）区間（くかん）は0から1になります。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Phương pháp tổng Riemann chuyển đổi giới hạn dạng lim 1/n sum f(k/n) thành tích phân từ 0 đến 1 của f(x) dx.区分（くぶん）求積（きゅうせき）法（ほう）は lim 1/n sum f(k/n) の形（かたち）の極限（きょくげん）を0から1までのf(x)dxの定積（ていせき）分（ぶん）に変換（へんかん）します。
  • Tính chất so sánh f(x) >= g(x) giúp đánh giá miền giá trị của tích phân xác định trên cùng một khoảng.f(x) >= g(x) の比較（ひかく）性質（せいしつ）により、同一（どういつ）区間（くかん）における定積（ていせき）分（ぶん）の値（あたい）の範囲（はんい）を評価（ひょうか）できます。
  • Bất đẳng thức Schwarz liên hệ giữa tích phân của tích hai hàm số với tích phân bình phương của từng hàm.シュヴァルツの不（ふ）等式（とうしき）は2つの関数（かんすう）の積（せき）の積分（せきぶん）とそれぞれの2乗（のり）の積分（せきぶん）を結（むす）びつけます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k) \Delta x = \int_{a}^{b} f(x) dx

Định nghĩa tổng quát của phương pháp tổng Riemann trên đoạn [a, b].

区間（くかん）[a, b]における区分（くぶん）求積（きゅうせき）法（ほう）の一般（いっぱん）定義（ていぎ）式（しき）です。

\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_{0}^{1} f(x) dx

Công thức tổng Riemann đặc biệt trên đoạn từ 0 đến 1 thường gặp nhất trong các bài toán EJU.

EJUで最（もっと）もよく出題（しゅつだい）される、0から1の区間（くかん）における区分（くぶん）求積（きゅうせき）法（ほう）の標準（ひょうじゅん）公式（こうしき）です。

f(x) \geqq g(x) \implies \int_{a}^{b} f(x) dx > \int_{a}^{b} g(x) dx

Tính chất bảo toàn thứ tự của tích phân xác định khi f(x) lớn hơn hoặc bằng g(x) và không đồng nhất.

f(x)がg(x)以上（いじょう）で一致（いっち）しない場合（ばあい）の定（てい）積分（せきぶん）の順序（じゅんじょ）保存（ほぞん）の性質（せいしつ）です。

\left\{\int_{a}^{b} f(x)g(x)dx\right\}^2 \leqq \int_{a}^{b} \{f(x)\}^2 dx \int_{a}^{b} \{g(x)\}^2 dx

Bất đẳng thức Schwarz cho tích phân xác định của hai hàm liên tục f(x) và g(x).

連続（れんぞく）関数（かんすう）f(x)とg(x)の定積（ていせき）分（ぶん）に対（たい）するシュヴァルツの不（ふ）等式（とうしき）です。

EJU 2026 · MATH.20.1

Bài học này hướng dẫn cách chuyển đổi giới hạn của tổng Riemann thành tích phân xác định và áp dụng bất đẳng thức tích phân. Người học sẽ nắm vững phương pháp tính diện tích và đánh giá giá trị tích phân thông qua các công thức chuẩn.

本課（ほんか）では、リーマン和（わ）の極限（きょくげん）を定（てい）積分（せきぶん）に変換（へんかん）する方法（ほうほう）と定（てい）積分（せきぶん）の不（ふ）等式（とうしき）への応用（おうよう）を解説（かいせつ）します。標準（ひょうじゅん）的（てき）な公式（こうしき）を用（もち）いて、面積（めんせき）の計算（けいさん）や定（てい）積分（せきぶん）の値（あたい）の評価（ひょうか）方法（ほうほう）を習得（しゅうとく）します。

定（てい）積分（せきぶん）と区分（くぶん）求積（きゅうせき）法（ほう）
区分求積法和の極限値リーマン和定積分と不等式