Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Hàm số ngược và tính chất逆（ぎゃく）関数（かんすう）とその性質（せいしつ）

Công thức公式

y = f(x)
f: X \to Y
x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)
f^{-1}(x) = \frac{x + 2}{2}

Ví dụ例題

Cho hàm số y = 2x - 2 định nghĩa trên tập số thực. Tìm công thức hàm số ngược \(f^{-1} (x)\).

実数（じっすう）全体（ぜんたい）で定義（ていぎ）された関数（かんすう） y = 2x - 2 の逆（ぎゃく）関数（かんすう） \(f^{-1} (x)\) を求（もと）めなさい。

  1. Phương trình y = 2x - 2 là hàm số đơn ánh trên tập số thực nên tồn tại hàm số ngược.方程（ほうてい）式（しき） y = 2x - 2 は実数（じっすう）全体（ぜんたい）で1対（たい）1の関数（かんすう）であるため、逆（ぎゃく）関数（かんすう）が存在（そんざい）します。
  2. Giải x theo y từ phương trình y = 2x - 2, ta được 2x = y + 2, suy ra x = (y + 2) / 2.方程（ほうてい）式（しき） y = 2x - 2 からxについて解（と）くと、2x = y + 2 より x = (y + 2) / 2 となります。
  3. Hoán đổi vai trò hai biến x và y, ta thu được \(f^{-1} (x) = (x + 2) / 2\).変数（へんすう）xとyを入れ替（いれか）えることで、\(f^{-1} (x) = (x + 2) / 2\) を得（え）ます。
Vậy hàm số ngược cần tìm là f^{-1}(x) = \(\frac{x + 2}{2}\) với tập xác định là tập số thực.したがって、求（もと）める逆（ぎゃく）関数（かんすう）は f^{-1}(x) = \(\frac{x + 2}{2}\) であり、定義（ていぎ）域（いき）は実数（じっすう）全体（ぜんたい）です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho hàm số f: X \(\to\) Y là một hàm số đơn ánh thỏa mãn f(3) = 8. Tính f^{-1}(8).1対（たい）1の関数（かんすう） f: X \(\to\) Y について、f(3) = 8 が成り立（なりた）つとき、f^{-1}(8) の値（あたい）を求（もと）めなさい。

2. Tìm công thức hàm số ngược \(f^{-1} (x)\) của hàm số y = 2x - 2.関数（かんすう） y = 2x - 2 の逆（ぎゃく）関数（かんすう） \(f^{-1} (x)\) を求（もと）めなさい。

3. Mối quan hệ hình học giữa đồ thị hàm số y = f(x) và đồ thị hàm số ngược \(y = f^{-1} (x)\) là gì?関数（かんすう） y = f(x) のグラフと逆（ぎゃく）関数（かんすう） \(y = f^{-1} (x)\) のグラフの図形（ずけい）的（てき）な関係（かんけい）は何（なん）ですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.17.2. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.17.2。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nắm vững điều kiện tồn tại hàm số ngược thông qua tính chất hàm số đơn ánh.1対（たい）1の関数（かんすう）の性質（せいしつ）を通（つう）じて逆（ぎゃく）関数（かんすう）の存在（そんざい）条件（じょうけん）を理解（りかい）する。
  2. Biến đổi thành thạo biểu thức y = f(x) để tìm công thức hàm số ngược \(f^{-1} (x)\).式（しき） y = f(x) を変形（へんけい）して逆（ぎゃく）関数（かんすう） \(f^{-1} (x)\) の数式（すうしき）を導出（どうしゅつ）できる。
  3. Hiểu rõ sự đổi vai trò giữa tập xác định và tập giá trị của hàm số và hàm số ngược.元（もと）の関数（かんすう）と逆（ぎゃく）関数（かんすう）の間（あいだ）での定義（ていぎ）域（いき）と値域（ちいき）の入れ替（いれか）わりを正（ただ）しく理解（りかい）する。
Trực giác · イメージ

Phép ánh xạ đảo ngược và sự đối xứng hình học逆（ぎゃく）写像（しゃぞう）と図形（ずけい）的（てき）な対称（たいしょう）性（せい）

Hàm số ngược đảo ngược quá trình ánh xạ của hàm số ban đầu, biến đầu ra trở lại thành đầu vào. Về mặt hình học, đồ thị của hàm số ngược và hàm số ban đầu luôn đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.

逆（ぎゃく）関数（かんすう）は元（もと）の関数（かんすう）の写像（しゃぞう）プロセスを逆転（ぎゃくてん）させ、出力（しゅつりょく）を入力（にゅうりょく）に戻（もど）す働（はたら）きをします。図形（ずけい）的（てき）には、逆（ぎゃく）関数（かんすう）のグラフと元（もと）の関数（かんすう）のグラフは直線（ちょくせん） y = x に関（かん）して常（つね）に対称（たいしょう）となります。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 定義（ていぎ）域（いき）tập xác định

    Tập xác định của hàm số ban đầu chính là tập giá trị của hàm số ngược. Nó định nghĩa các giá trị đầu vào hợp lệ.

    元（もと）の関数（かんすう）の定義（ていぎ）域（いき）は、逆（ぎゃく）関数（かんすう）の値域（ちいき）と一致（いっち）します。これは有効（ゆうこう）な入力（にゅうりょく）値（ち）を規定（きてい）します。

  • 値域（ちいき）tập giá trị

    Tập giá trị của hàm số ban đầu chính là tập xác định của hàm số ngược. Nó chứa tất cả các giá trị đầu ra của hàm số.

    元（もと）の関数（かんすう）の値域（ちいき）は、逆（ぎゃく）関数（かんすう）の定義（ていぎ）域（いき）となります。関数（かんすう）のすべての出力（しゅつりょく）値（ち）を含（ふく）みます。

  • 1対（たい）1の関数（かんすう）hàm số đơn ánh

    Hàm số đơn ánh là hàm số mà mỗi giá trị đầu ra y chỉ ứng với duy nhất một giá trị đầu vào x. Đây là điều kiện bắt buộc để hàm số có hàm số ngược.

    1対（たい）1の関数（かんすう）とは、各（かく）出力（しゅつりょく）値（ち）yに対（たい）して入力（にゅうりょく）値（ち）xがただ1つに対応（たいおう）する関数（かんすう）です。これは逆（ぎゃく）関数（かんすう）が存在（そんざい）するための必須（ひっす）条件（じょうけん）です。

  • 逆（ぎゃく）関数（かんすう）hàm số ngược

    Hàm số ngược \(f^{-1}\) đảo ngược quan hệ ứng f, thỏa mãn \(f^{-1} (y) = x\) khi f(x) = y. Công thức được viết lại theo biến x sau khi đổi vai trò x và y.

    逆（ぎゃく）関数（かんすう） \(f^{-1}\) は f(x) = y のとき \(f^{-1} (y) = x\) を満（み）たす逆（ぎゃく）の対応（たいおう）です。xとyを入れ替（いれか）えて変数（へんすう）xの関数（かんすう）として表（あらわ）します。

  • 指数（しすう）関数（かんすう）hàm số mũ

    Hàm số mũ là một ví dụ tiêu biểu về hàm số đơn ánh trên tập số thực. Nó có hàm số ngược là hàm số logarit.

    指数（しすう）関数（かんすう）は実数（じっすう）全体（ぜんたい）で1対（たい）1の関数（かんすう）の代表（だいひょう）例（れい）です。その逆（ぎゃく）関数（かんすう）は対数（たいすう）関数（かんすう）となります。

  • 対数（たいすう）関数（かんすう）hàm số logarit

    Hàm số logarit là hàm số ngược của hàm số mũ với cùng cơ số. Tập xác định của nó là tập số thực dương.

    対数（たいすう）関数（かんすう）は同（おな）じ底（そこ）を持（も）つ指数（しすう）関数（かんすう）の逆（ぎゃく）関数（かんすう）です。その定義（ていぎ）域（いき）は正（せい）の実数（じっすう）全体（ぜんたい）となります。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    1対（たい）1の関数（かんすう）の条件（じょうけん）を確認（かくにん）する

    Kiểm tra điều kiện hàm số đơn ánh

    Xác định hàm số y = f(x) có tính chất đơn ánh trên tập xác định hay không. Nếu ứng với mỗi y chỉ có một x thì hàm số có hàm số ngược.

    関数（かんすう） y = f(x) が定義（ていぎ）域（いき）で1対（たい）1の性質（せいしつ）を持（も）つか確認（かくにん）します。各（かく）yに対（たい）してxがただ1つ対応（たいおう）すれば逆（ぎゃく）関数（かんすう）が存在（そんざい）します。

  2. 02
    変数（へんすう）xをyを用（もち）いて表（あらわ）す

    Biểu diễn biến x theo y

    Từ phương trình y = f(x), thực hiện phép biến đổi đại số để giải x theo y. Điều này thiết lập quan hệ ngược \(x = f^{-1} (y)\).

    方程（ほうてい）式（しき） y = f(x) から、代数（だいすう）変形（へんけい）を行（おこな）ってxをyの式（しき）として解（と）きます。これにより逆（ぎゃく）の対応（たいおう） \(x = f^{-1} (y)\) が確立（かくりつ）されます。

  3. 03
    変数（へんすう）xとyを入れ替（いれか）える

    Đổi vai trò của biến x và y

    Tráo đổi x và y trong biểu thức để thu được công thức hàm số ngược \(f^{-1} (x)\). Tập xác định của \(f^{-1} (x)\) chính là tập giá trị của f(x).

    式（しき）の中（なか）のxとyを入れ替（いれか）えることで、逆（ぎゃく）関数（かんすう）の公式（こうしき） \(f^{-1} (x)\) を得（え）ます。\(f^{-1} (x)\) の定義（ていぎ）域（いき）は f(x) の値域（ちいき）となります。

  4. 04
    範囲（はんい）と対称（たいしょう）性（せい）を確認（かくにん）する

    Xác định miền giá trị và tính đối xứng

    Kiểm tra tập xác định mới và vẽ đồ thị đối xứng qua đường thẳng y = x. Việc này giúp xác nhận tính chính xác của kết quả.

    新（あたら）しい定義（ていぎ）域（いき）を確認（かくにん）し、直線（ちょくせん） y = x に関（かん）して対称（たいしょう）なグラフを描（えが）きます。これにより結果（けっか）の正確（せいかく）性（せい）を検証（けんしょう）できます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn hàm số ngược \(f^{-1} (x)\) với phân số nghịch đảo 1/f(x).逆（ぎゃく）関数（かんすう） \(f^{-1} (x)\) を逆数（ぎゃくすう） 1/f(x) と混同（こんどう）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Ký hiệu \(f^{-1} (x)\) chỉ hàm số ngược thực hiện phép ánh xạ đảo, không phải là phép chia lấy nghịch đảo số học.記号（きごう） \(f^{-1} (x)\) は逆（ぎゃく）の対応（たいおう）を行（おこな）う逆（ぎゃく）関数（かんすう）を表（あらわ）し、数値（すうち）の逆数（ぎゃくすう）（割算（わりざん））ではない点（てん）に注意（ちゅうい）してください。

Quên đảo vai trò của tập xác định và tập giá trị khi tìm hàm số ngược trên miền hạn chế.制限（せいげん）された範囲（はんい）で逆（ぎゃく）関数（かんすう）を求（もと）める際（さい）、定義（ていぎ）域（いき）と値域（ちいき）の入れ替（いれか）えを忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Tập xác định của hàm số ngược bắt buộc phải trùng với tập giá trị của hàm số ban đầu.逆（ぎゃく）関数（かんすう）の定義（ていぎ）域（いき）は、必（かなら）ず元（もと）の関数（かんすう）の値域（ちいき）と一致（いっち）させなければなりません。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Hàm số chỉ có hàm số ngược khi nó là hàm số đơn ánh trên tập xác định.関数（かんすう）が定義（ていぎ）域（いき）で1対（たい）1の関数（かんすう）であるときに限（かぎ）り、逆（ぎゃく）関数（かんすう）が存在（そんざい）します。
  • Tập xác định và tập giá trị của hàm số ngược lần lượt là tập giá trị và tập xác định của hàm số ban đầu.逆（ぎゃく）関数（かんすう）の定義（ていぎ）域（いき）と値域（ちいき）は、それぞれ元（もと）の関数（かんすう）の値域（ちいき）と定義（ていぎ）域（いき）になります。
  • Đồ thị của hàm số y = f(x) và hàm số ngược \(y = f^{-1} (x)\) đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.関数（かんすう） y = f(x) と逆（ぎゃく）関数（かんすう） \(y = f^{-1} (x)\) のグラフは、直線（ちょくせん） y = x に関（かん）して互（たが）いに対称（たいしょう）です。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

y = f(x)

Biểu thức tổng quát của hàm số biểu diễn quan hệ phụ thuộc của y vào biến x.

変数（へんすう）xに対（たい）するyの依存（いぞん）関係（かんけい）を表（あらわ）す関数（かんすう）の一般（いっぱん）式（しき）です。

f: X \to Y

Ký hiệu ánh xạ hàm số f đi từ tập xác định X đến tập giá trị Y.

定義（ていぎ）域（いき）Xから集合（しゅうごう）Yへの関数（かんすう）の写像（しゃぞう）を表（あらわ）す記号（きごう）です。

x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)

Định nghĩa toán học của hàm số đơn ánh, đảm bảo hai giá trị x khác nhau luôn cho hai giá trị y khác nhau.

異（こと）なる2つのxの値（あたい）が常（つね）に異（こと）なるyの値（あたい）を与（あた）えるという、1対（たい）1の関数（かんすう）の数学（すうがく）的（てき）定義（ていぎ）です。

f^{-1}(x) = \frac{x + 2}{2}

Ví dụ công thức hàm số ngược thu được từ hàm số bậc nhất y = 2x - 2.

1次（じ）関数（かんすう） y = 2x - 2 から導出（どうしゅつ）される逆（ぎゃく）関数（かんすう）の公式（こうしき）の例（れい）です。

EJU 2026 · MATH.17.2

Bài học này hướng dẫn khái niệm hàm số ngược, điều kiện tồn tại hàm số đơn ánh và tính chất đối xứng qua đường thẳng y = x. Bạn sẽ nắm vững cách đổi vai trò giữa tập xác định và tập giá trị khi tìm hàm số ngược.

この課（か）では、逆（ぎゃく）関数（かんすう）の概念（がいねん）、1対（たい）1の関数（かんすう）の存在（そんざい）条件（じょうけん）、直線（ちょくせん） y = x に関（かん）する対称（たいしょう）性（せい）を学（まな）びます。逆（ぎゃく）関数（かんすう）を求（もと）める際（さい）の定義（ていぎ）域（いき）と値域（ちいき）の入れ替（いれか）えを正（ただ）しく理解（りかい）できます。

逆（ぎゃく）関数（かんすう）とその性質（せいしつ）
定義域値域1対1の関数逆関数