Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Hàm số vô tỷ và đồ thị無理（むり）関数（かんすう）とそのグラフ

Công thức公式

y = \sqrt{ax}
y = \sqrt{a(x - p)} + q
\sqrt{2x + 5} = x + 1
\sqrt{2x + 5} > x + 1

Ví dụ例題

Giải phương trình vô tỷ \(\sqrt{2 x + 5} = x + 1\).

無理（むり）方程（ほうてい）式（しき） \(\sqrt{2 x + 5} = x + 1\) を解（と）きなさい。

  1. Đặt điều kiện vế phải không âm: x + 1 >= 0, suy ra x >= -1.右辺（うへん）が非（ひ）負（ふ）となる条件（じょうけん）を設定（せってい）します：x + 1 >= 0 より x >= -1 です。
  2. Bình phương hai vế ta được \(2 x + 5 = (x + 1)^{2}\), tương đương \(2 x + 5 = x^{2} + 2 x + 1\).両辺（りょうへん）を2乗（のり）すると \(2 x + 5 = (x + 1)^{2}\) となり、\(2 x + 5 = x^{2} + 2 x + 1\) と同値（どうち）になります。
  3. Thu gọn phương trình thành \(x^{2} = 4\), tìm được x = 2 hoặc x = -2.方程（ほうてい）式（しき）を整理（せいり）すると \(x^{2} = 4\) となり、x = 2 または x = -2 が得（え）られます。
  4. So sánh với điều kiện x >= -1, ta loại x = -2 và nhận nghiệm x = 2.条件（じょうけん） x >= -1 と照らし合（てらしあ）わせると、x = -2 は不適（ふてき）となり、解（かい）は x = 2 となります。
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 2. Phép thử lại khẳng định \(\sqrt{2 (2) + 5} = \sqrt{9} = 3\) và 2+1 = 3.したがって、方程（ほうてい）式（しき）の唯一（ゆいいつ）の解（かい）は x = 2 です。再（さい）確認（かくにん）すると \(\sqrt{2 (2) + 5} = \sqrt{9} = 3\) かつ 2+1 = 3 と一致（いっち）します。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Tìm tập xác định của hàm số vô tỷ \(y = \sqrt{2 x + 5}\).無理（むり）関数（かんすう） \(y = \sqrt{2 x + 5}\) の定義（ていぎ）域（いき）を求（もと）めなさい。

2. Giải phương trình vô tỷ \(\sqrt{2 x + 5} = x + 1\).無理（むり）方程（ほうてい）式（しき） \(\sqrt{2 x + 5} = x + 1\) を解（と）きなさい。

3. Giải bất phương trình vô tỷ \(\sqrt{2 x + 5} > x + 1\) khi x + 1 >= 0.x + 1 >= 0 のとき、無理（むり）不（ふ）等式（とうしき） \(\sqrt{2 x + 5} > x + 1\) を解（と）きなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.17.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.17.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Hiểu định nghĩa hàm số vô tỷ và xác định đúng tập xác định dưới dấu căn.無理（むり）関数（かんすう）の定義（ていぎ）を理解（りかい）し、根号（こんごう）内（ない）の定義（ていぎ）域（いき）を正（ただ）しく求（もと）める。
  2. Nhận biết dạng đồ thị của hàm số vô tỷ qua các phép dịch chuyển.平行（へいこう）移動（いどう）を通（つう）じた無理（むり）関数（かんすう）のグラフの形（かたち）を把握（はあく）する。
  3. Giải chính xác phương trình vô tỷ và bất phương trình vô tỷ đảm bảo tính tương đương.同値（どうち）性（せい）を保（たも）ちながら無理（むり）方程（ほうてい）式（しき）および無理（むり）不（ふ）等式（とうしき）を正確（せいかく）に解（と）く。
Trực giác · イメージ

Biểu thức dưới dấu căn và miền giá trị hợp lệ根号（こんごう）内（ない）の式（しき）と有効（ゆうこう）な範囲（はんい）

Biểu thức dưới dấu căn đòi hỏi giá trị không âm để hàm số có nghĩa trên tập số thực. Đồ thị của hàm số vô tỷ thể hiện sự thay đổi này và giúp ta giải các biểu thức vô tỷ bằng hình học hoặc biến đổi tương đương.

根号（こんごう）内（ない）の式（しき）は実数（じっすう）の範囲（はんい）で意味（いみ）を持（も）つために非（ひ）負（ふ）である必要（ひつよう）があります。無理（むり）関数（かんすう）のグラフはこの変化（へんか）を表（あらわ）し、同値（どうち）変形（へんけい）や図形（ずけい）的（てき）な視点（してん）から無理（むり）式（しき）を解（と）く鍵（かぎ）となります。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 無理（むり）関数（かんすう）hàm số vô tỷ

    Hàm số vô tỷ là hàm số chứa biến số dưới dấu căn. Biến số x xuất hiện bên trong dấu căn bậc hai.

    無理（むり）関数（かんすう）とは、根号（こんごう）の中（なか）に変数（へんすう）を含（ふく）む関数（かんすう）です。変数（へんすう）xが平方（へいほう）根（ね）の内部（ないぶ）に現（あらわ）れます。

  • 根号（こんごう）dấu căn

    Dấu căn biểu diễn căn bậc hai của một biểu thức. Biểu thức nằm trong dấu căn phải lớn hơn hoặc bằng 0.

    根号（こんごう）は式（しき）の平方（へいほう）根（ね）を表（あらわ）す記号（きごう）です。根号（こんごう）の中（なか）にある式（しき）は0以上（いじょう）でなければなりません。

  • 定義（ていぎ）域（いき）tập xác định

    Tập xác định là tập hợp tất cả các giá trị của biến số làm cho biểu thức dưới dấu căn không âm. Việc tìm tập xác định là bước bắt buộc đầu tiên.

    定義（ていぎ）域（いき）とは、根号（こんごう）内（ない）の式（しき）が非（ひ）負（ふ）となるすべての変数（へんすう）の値（あたい）の集合（しゅうごう）です。定義（ていぎ）域（いき）を求（もと）めることが最初（さいしょ）の必須（ひっす）手順（てじゅん）です。

  • 無理（むり）方程（ほうてい）式（しき）phương trình vô tỷ

    Phương trình vô tỷ là phương trình chứa ẩn số nằm trong dấu căn. Để giải ta bình phương hai vế kèm điều kiện không âm.

    無理（むり）方程（ほうてい）式（しき）とは、根号（こんごう）内（ない）に未知（みち）数（すう）を含（ふく）む方程（ほうてい）式（しき）です。解（と）く際（さい）には両辺（りょうへん）を非（ひ）負（ふ）条件（じょうけん）のもとで2乗（の）します。

  • 無理（むり）不（ふ）等式（とうしき）bất phương trình vô tỷ

    Bất phương trình vô tỷ là bất phương trình có chứa ẩn số dưới dấu căn. Cần chú ý điều kiện vế còn lại và tập xác định để xét trường hợp.

    無理（むり）不（ふ）等式（とうしき）とは、根号（こんごう）内（ない）に未知（みち）数（すう）を含（ふく）む不（ふ）等式（とうしき）です。定義（ていぎ）域（いき）と他方（たほう）の辺（へん）の符号（ふごう）に応（おう）じた場合（ばあい）分（わ）けが必要（ひつよう）です。

  • 同値（どうち）性（せい）tính tương đương

    Tính tương đương đảm bảo phép biến đổi không làm xuất hiện nghiệm ngoại lai hay làm mất nghiệm. Bình phương hai vế chỉ tương đương khi cả hai vế đều không âm.

    同値（どうち）性（せい）とは、変形（へんけい）によって無縁（むえん）根（ね）が生（しょう）じたり解（かい）が失（うしな）われたりしないことを保証（ほしょう）する性質（せいしつ）です。両辺（りょうへん）の2乗（のり）は双方（そうほう）が非（ひ）負（ふ）のときに限（かぎ）り同値（どうち）です。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    式（しき）の定義（ていぎ）域（いき）を特定（とくてい）する

    Xác định tập xác định của biểu thức

    Đặt biểu thức dưới dấu căn lớn hơn hoặc bằng 0 để tìm điều kiện xác định. Điều này đảm bảo giá trị căn bậc hai luôn là số thực.

    根号（こんごう）内（ない）の式（しき）が0以上（いじょう）となる条件（じょうけん）を立（た）てて定義（ていぎ）域（いき）を求（もと）めます。これにより平方（へいほう）根（ね）の値（あたい）が常（つね）に実数（じっすう）となることが保証（ほしょう）されます。

  2. 02
    グラフの形（かたち）と平行（へいこう）移動（いどう）を分析（ぶんせき）する

    Phân tích dạng đồ thị và phép dịch chuyển

    Dạng cơ bản \(y = \sqrt{ax}\) được dịch chuyển thành \(y = \sqrt{a (x - p)} + q\). Đỉnh của đồ thị dịch chuyển tới điểm (p, q).

    基本（きほん）形（けい） \(y = \sqrt{ax}\) を平行（へいこう）移動（いどう）すると \(y = \sqrt{a (x - p)} + q\) になります。グラフの頂点（ちょうてん）は点（てん） (p, q) に移動（いどう）します。

  3. 03
    無理（むり）方程（ほうてい）式（しき）を同値（どうち）変形（へんけい）する

    Biến đổi phương trình vô tỷ tương đương

    Đặt điều kiện vế không chứa căn không âm trước khi bình phương hai vế. Phép biến đổi này giữ nguyên tập nghiệm mà không tạo nghiệm ngoại lai.

    根号（こんごう）を持（も）たない辺（へん）が非（ひ）負（ふ）である条件（じょうけん）を設定（せってい）してから両辺（りょうへん）を2乗（の）します。この変形（へんけい）により無縁（むえん）根（ね）を出（だ）さずに解（かい）の集合（しゅうごう）を維持（いじ）できます。

  4. 04
    辺（へん）の条件（じょうけん）に応（おう）じて無理（むり）不（ふ）等式（とうしき）を処理（しょり）する

    Xử lý bất phương trình vô tỷ theo điều kiện vế

    Với \(\sqrt{A} > B\), ta xét điều kiện A >= 0 và so sánh khi B < 0 hoặc B >= 0. Khi B >= 0, bình phương hai vế thu được \(A > B^{2}\).

    \(\sqrt{A} > B\) の場合（ばあい）、A >= 0 を前提（ぜんてい）として B < 0 と B >= 0 で場合（ばあい）分（わ）けします。B >= 0 のときは両辺（りょうへん）を2乗（の）して \(A > B^{2}\) とします。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Quên đặt điều kiện vế không chứa căn không âm trước khi bình phương hai vế.両辺（りょうへん）を2乗（のり）する前（まえ）に、根号（こんごう）を持（も）たない辺（へん）が非（ひ）負（ふ）である条件（じょうけん）を設定（せってい）し忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Luôn đặt điều kiện vế phải không âm để tránh lấy phải nghiệm ngoại lai không thỏa mãn phương trình ban đầu.元（もと）の方程（ほうてい）式（しき）を満（み）たさない無縁（むえん）根（ね）を選（えら）ばないよう、常（つね）に右辺（うへん）が非（ひ）負（ふ）である条件（じょうけん）を明記（めいき）してください。

Cho rằng biểu thức dưới dấu căn có thể nhận giá trị âm trong tập số thực.実数（じっすう）の範囲（はんい）において、根号（こんごう）内（ない）の式（しき）が負（ふ）の値（あたい）を取（と）り得（う）ると誤解（ごかい）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Tập xác định của hàm số vô tỷ yêu cầu biểu thức trong dấu căn phải luôn lớn hơn hoặc bằng 0.無理（むり）関数（かんすう）の定義（ていぎ）域（いき）では、根号（こんごう）内（ない）の式（しき）が常（つね）に0以上（いじょう）でなければならないことに注意（ちゅうい）してください。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Biểu thức dưới dấu căn của hàm số vô tỷ luôn phải lớn hơn hoặc bằng 0 để xác định.無理（むり）関数（かんすう）の根号（こんごう）内（ない）の式（しき）は、定義（ていぎ）されるために常（つね）に0以上（いじょう）でなければなりません。
  • Đồ thị hàm số vô tỷ \(y = \sqrt{a (x - p)} + q\) nhận điểm (p, q) làm gốc xuất phát.無理（むり）関数（かんすう） \(y = \sqrt{a (x - p)} + q\) のグラフは点（てん） (p, q) を出発（しゅっぱつ）点（てん）とします。
  • Biến đổi phương trình và bất phương trình vô tỷ phải tuân thủ điều kiện không âm để đảm bảo tính tương đương.無理（むり）方程（ほうてい）式（しき）や無理（むり）不（ふ）等式（とうしき）の変形（へんけい）では、同値（どうち）性（せい）を保（たも）つために非（ひ）負（ふ）条件（じょうけん）を厳格（げんかく）に守（まも）る必要（ひつよう）があります。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

y = \sqrt{ax}

Dạng căn bản của hàm số vô tỷ với a khác 0. Đồ thị là một nhánh parabol nằm ngang xuất phát từ gốc tọa độ.

a \(\neq\) 0 における無理（むり）関数（かんすう）の基本（きほん）形（けい）です。グラフは原点（げんてん）から始（はじ）まる横向（よこむ）きの放物（ほうぶつ）線（せん）の一（いち）部分（ぶぶん）です。

y = \sqrt{a(x - p)} + q

Hàm số vô tỷ thu được bằng cách dịch chuyển đồ thị \(y = \sqrt{ax}\) song song theo trục Ox một đoạn p và trục Oy một đoạn q.

関数（かんすう） \(y = \sqrt{ax}\) のグラフをx軸（じく）方向（ほうこう）にp、y軸（じく）方向（ほうこう）にqだけ平行（へいこう）移動（いどう）した無理（むり）関数（かんすう）です。

\sqrt{2x + 5} = x + 1

Phương trình vô tỷ mẫu. Biến đổi tương đương yêu cầu x + 1 >= 0 và \(2 x + 5 = (x + 1)^{2}\).

典型（てんけい）的（てき）な無理（むり）方程（ほうてい）式（しき）です。同値（どうち）変形（へんけい）には x + 1 >= 0 かつ \(2 x + 5 = (x + 1)^{2}\) が必要（ひつよう）です。

\sqrt{2x + 5} > x + 1

Bất phương trình vô tỷ mẫu. Giải bằng cách xét tập xác định 2x + 5 >= 0 kết hợp điều kiện của vế phải.

典型（てんけい）的（てき）な無理（むり）不（ふ）等式（とうしき）です。定義（ていぎ）域（いき） 2x + 5 >= 0 と右辺（うへん）の符号（ふごう）の条件（じょうけん）を組み合（くみあ）わせて解（と）きます。

EJU 2026 · MATH.17.1

Bài học này giúp bạn nắm vững hàm số vô tỷ, đồ thị và cách giải phương trình, bất phương trình vô tỷ. Bạn sẽ hiểu rõ điều kiện tập xác định và tính tương đương khi biến đổi.

この課（か）では、無理（むり）関数（かんすう）とそのグラフ、無理（むり）方程（ほうてい）式（しき）や無理（むり）不（ふ）等式（とうしき）の解法（かいほう）を習得（しゅうとく）します。定義（ていぎ）域（いき）の条件（じょうけん）と同値（どうち）性（せい）を保（たも）つ変形（へんけい）を正（ただ）しく理解（りかい）できます。

無理（むり）関数（かんすう）とそのグラフ
無理関数根号定義域無理方程式