Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Hàm số phân thức và đồ thị分数（ぶんすう）関数（かんすう）とそのグラフ

Công thức公式

y = \frac{k}{x}
y = \frac{k}{x - p} + q
y = \frac{ax + b}{cx + d}
x = p

Ví dụ例題

Cho hàm số phân thức y = (3x - 5) / (x - 2). Hãy biến đổi về dạng chuẩn, tìm các đường tiệm cận và giải bất phương trình (3x - 5) / (x - 2) > 0.

分数（ぶんすう）関数（かんすう） y = (3x - 5) / (x - 2) について、標準（ひょうじゅん）形（けい）に変形（へんけい）し、漸近（ぜんきん）線（せん）を求（もと）め、不（ふ）等式（とうしき） (3x - 5) / (x - 2) > 0 を解（と）きなさい。

  1. Phân tích tử thức: 3x - 5 = 3(x - 2) + 1. Do đó hàm số biến đổi thành y = 1/(x - 2) + 3.分子（ぶんし）を分解（ぶんかい）します：3x - 5 = 3(x - 2) + 1。したがって関数（かんすう）は y = 1/(x - 2) + 3 と変形（へんけい）されます。
  2. Từ dạng chuẩn, tiệm cận đứng là x = 2 và tiệm cận ngang là y = 3. Tâm đối xứng của đồ thị là I(2, 3).標準（ひょうじゅん）形（けい）より、垂直（すいちょく）漸近（ぜんきん）線（せん）は x = 2、水平（すいへい）漸近（ぜんきん）線（せん）は y = 3 です。グラフの対称（たいしょう）の中心（ちゅうしん）は I(2, 3) です。
  3. Để (3x - 5)/(x - 2) > 0, tử và mẫu phải cùng dấu. Tử thức bằng 0 tại x = 5/3, mẫu bằng 0 tại x = 2. Xét dấu thu được x < 5/3 hoặc x > 2.(3x - 5)/(x - 2) > 0 となるには、分子（ぶんし）と分母（ぶんぼ）が同（どう）符号（ふごう）である必要（ひつよう）があります。分子（ぶんし）は x = 5/3 で0、分母（ぶんぼ）は x = 2 で0です。符号（ふごう）を調（しら）べると x < 5/3 または x > 2 を得（え）ます。
Dạng chuẩn y = 1/(x - 2) + 3; tiệm cận đứng x = 2, tiệm cận ngang y = 3; tập nghiệm của bất phương trình là x < 5/3 hoặc x > 2.標準（ひょうじゅん）形（けい） y = 1/(x - 2) + 3、垂直（すいちょく）漸近（ぜんきん）線（せん） x = 2、水平（すいへい）漸近（ぜんきん）線（せん） y = 3、不（ふ）等式（とうしき）の解（かい）は x < 5/3 または x > 2 となります。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Đồ thị hàm số y = 2 / (x + 3) - 1 có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là gì?関数（かんすう） y = 2 / (x + 3) - 1 のグラフの垂直（すいちょく）漸近（ぜんきん）線（せん）と水平（すいへい）漸近（ぜんきん）線（せん）はそれぞれ何（なん）ですか？

2. Tìm tiệm cận ngang của hàm số y = (4x + 3) / (2x - 1).関数（かんすう） y = (4x + 3) / (2x - 1) の水平（すいへい）漸近（ぜんきん）線（せん）を求（もと）めなさい。

3. Giải bất phương trình 1 / (x - 1) > 0.不（ふ）等式（とうしき） 1 / (x - 1) > 0 を解（と）きなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.17.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.17.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Biến đổi hàm phân thức tổng quát về dạng chuẩn để tìm các đường tiệm cận.一般（いっぱん）形（けい）の分数（ぶんすう）関数（かんすう）を標準（ひょうじゅん）形（けい）に変形（へんけい）し、漸近（ぜんきん）線（せん）を求（もと）める。
  2. Hiểu phép tịnh tiến đồ thị hyperbol vuông y = k/x trong mặt phẳng tọa độ.座標（ざひょう）平面（へいめん）における直角（ちょっかく）双（そう）曲線（きょくせん） y = k/x のグラフの平行（へいこう）移動（いどう）を理解（りかい）する。
  3. Giải bất phương trình phân thức bằng cách lập bảng xét dấu hoặc quan sát đồ thị.符号（ふごう）表（ひょう）の作成（さくせい）またはグラフの観察（かんさつ）により分数（ぶんすう）不（ふ）等式（とうしき）を解（と）く。
Trực giác · イメージ

Trực giác về sự dịch chuyển đồ thị và tiệm cậnグラフの移動（いどう）と漸近（ぜんきん）線（せん）の直感（ちょっかん）

Đồ thị hyperbol vuông cơ bản y = k/x khi tịnh tiến sẽ dời giao điểm hai tiệm cận về gốc tọa độ mới (p, q). Nhờ hình dáng đồ thị, việc giải bất phương trình phân thức trở nên trực quan thông qua so sánh vị trí tương quan giữa đường tiệm cận và đồ thị.

基本（きほん）的（てき）な直角（ちょっかく）双（そう）曲線（きょくせん） y = k/x のグラフを平行（へいこう）移動（いどう）すると、2つの漸近（ぜんきん）線（せん）の交点（こうてん）が新（あたら）しい原点（げんてん） (p, q) に移動（いどう）します。グラフの形状（けいじょう）により、漸近（ぜんきん）線（せん）とグラフの相対（そうたい）位置（いち）の比較（ひかく）を通（つう）じて分数（ぶんすう）不（ふ）等式（とうしき）の解法（かいほう）が直感（ちょっかん）的（てき）になります。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 分数（ぶんすう）関数（かんすう）hàm số phân thức

    Hàm số phân thức có dạng tỉ số của hai biểu thức bậc nhất. Tập xác định của hàm số loại bỏ giá trị làm mẫu thức bằng 0.

    分数（ぶんすう）関数（かんすう）は2つの一（いち）次（じ）式（しき）の比（ひ）の形（かたち）を持（も）つ関数（かんすう）です。関数（かんすう）の定義（ていぎ）域（いき）は分母（ぶんぼ）を0にする値（あたい）を除外（じょがい）します。

  • 双（そう）曲線（きょくせん）đường hyperbol

    Đồ thị của hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất có dạng đường hyperbol gồm hai nhánh tách biệt. Hai nhánh này nằm ở hai phía đối diện của giao điểm hai đường tiệm cận.

    一（いち）次（じ）式（しき）/一（いち）次（じ）式（しき）の分数（ぶんすう）関数（かんすう）のグラフは2つの分離（ぶんり）した枝（えだ）からなる双曲（そうきょく）線（せん）となります。これら2つの枝（えだ）は2つの漸近（ぜんきん）線（せん）の交点（こうてん）の反対（はんたい）側（がわ）に位置（いち）します。

  • 漸近（ぜんきん）線（せん）đường tiệm cận

    Đường tiệm cận gồm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang chia mặt phẳng tọa độ thành các phần. Đồ thị tiến sát các đường này nhưng không bao giờ cắt tiệm cận đứng.

    漸近（ぜんきん）線（せん）は垂直（すいちょく）漸近（ぜんきん）線（せん）と水平（すいへい）漸近（ぜんきん）線（せん）からなり、座標（ざひょう）平面（へいめん）をいくつかの部分（ぶぶん）に分割（ぶんかつ）します。グラフはこれらの直線（ちょくせん）に限（かぎ）りなく近（ちか）づきますが、垂直（すいちょく）漸近（ぜんきん）線（せん）と交（まじ）わることはありません。

  • 直角（ちょっかく）双（そう）曲線（きょくせん）đường hyperbol vuông

    Đường hyperbol vuông là đường hyperbol có hai đường tiệm cận vuông góc với nhau. Đồ thị hàm y = k/x là một hyperbol vuông có tâm đối xứng tại gốc tọa độ.

    直角（ちょっかく）双曲（そうきょく）線（せん）とは2つの漸近（ぜんきん）線（せん）が互（たが）いに直交（ちょっこう）する双（そう）曲線（きょくせん）のことです。関数（かんすう） y = k/x のグラフは原点（げんてん）を対称（たいしょう）の中心（ちゅうしん）とする直角（ちょっかく）双曲（そうきょく）線（せん）です。

  • 平行（へいこう）移動（いどう）tịnh tiến

    Phép tịnh tiến dịch chuyển toàn bộ đồ thị theo trục hoành và trục tung mà không làm thay đổi hình dáng. Khi tịnh tiến, tâm đối xứng và hai tiệm cận cũng dời tương ứng.

    平行（へいこう）移動（いどう）はグラフの形状（けいじょう）を変（か）えずにx軸（じく）方向（ほうこう）およびy軸（じく）方向（ほうこう）に全体（ぜんたい）を移動（いどう）させます。平行（へいこう）移動（いどう）により、対称（たいしょう）の中心（ちゅうしん）と2つの漸近（ぜんきん）線（せん）も同様（どうよう）に移動（いどう）します。

  • 分数（ぶんすう）不（ふ）等式（とうしき）bất phương trình phân thức

    Bất phương trình phân thức chứa ẩn số ở mẫu thức. Khi giải cần chú ý điều kiện mẫu thức khác 0 và không nhân chéo hai vế khi chưa biết dấu của mẫu thức.

    分数（ぶんすう）不（ふ）等式（とうしき）は分母（ぶんぼ）に未知（みち）数（すう）を含（ふく）む不（ふ）等式（とうしき）です。解（と）く際（さい）には分母（ぶんぼ）が0でない条件（じょうけん）に注意（ちゅうい）し、分母（ぶんぼ）の符号（ふごう）が不明（ふめい）なまま両辺（りょうへん）に掛け算（かけざん）をしないようにします。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：分数（ぶんすう）関数（かんすう）の式（しき）を解析（かいせき）する

    Bước 1: Phân tích biểu thức hàm phân thức

    Cho hàm số y = (ax + b)/(cx + d), thực hiện phép chia đa thức để đưa về dạng y = k/(x - p) + q. Điều này giúp xác định ngay hệ số k và tọa độ tâm tịnh tiến.

    関数（かんすう） y = (ax + b)/(cx + d) について、多項（たこう）式（しき）の割り算（わりざん）を行（おこな）い y = k/(x - p) + q の形（かたち）に変形（へんけい）します。これにより係数（けいすう）kと平行（へいこう）移動（いどう）の中心（ちゅうしん）座標（ざひょう）が直（ただ）ちに特定（とくてい）できます。

  2. 02
    ステップ2：2つの漸近（ぜんきん）線（せん）を特定（とくてい）する

    Bước 2: Xác định hai đường tiệm cận

    Tiệm cận đứng thu được từ nghiệm mẫu thức x = p, tiệm cận ngang thu được từ giới hạn y = q. Hai đường này giao nhau tại điểm I(p, q).

    垂直（すいちょく）漸近（ぜんきん）線（せん）は分母（ぶんぼ）の根（ね） x = p から、水平（すいへい）漸近（ぜんきん）線（せん）は極限（きょくげん） y = q から得（え）られます。これら2つの直線（ちょくせん）は点（てん） I(p, q) で交（まじ）わります。

  3. 03
    ステップ3：双（そう）曲線（きょくせん）のグラフをスケッチする

    Bước 3: Phác thảo đồ thị hyperbol

    Dựa vào dấu của k để xác định vị trí hai nhánh hyperbol ở góc phần tư thứ 1, 3 (nếu k > 0) hoặc 2, 4 (nếu k < 0) so với hai tiệm cận.

    kの符号（ふごう）に基（もと）づき、漸近（ぜんきん）線（せん）に対（たい）して双（そう）曲線（きょくせん）の2つの枝（えだ）が第（だい）1・3象限（しょうげん）（k > 0の場合（ばあい））または第（だい）2・4象限（しょうげん）（k < 0の場合（ばあい））に位置（いち）するかを決定（けってい）します。

  4. 04
    ステップ4：分数（ぶんすう）不（ふ）等式（とうしき）を解（と）く

    Bước 4: Giải bất phương trình phân thức

    Chuyển tất cả các hạng tử về một vế, quy đồng mẫu thức rồi xét dấu của tử và mẫu. Kết hợp với đồ thị để tìm các khoảng nghiệm phù hợp.

    すべての項（こう）を片辺（かたほとり）に移行（いこう）して通分（つうぶん）し、分子（ぶんし）と分母（ぶんぼ）の符号（ふごう）を調（しら）べます。グラフと照らし合（てらしあ）わせて適切（てきせつ）な解（かい）の区間（くかん）を求（もと）めます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhân cả hai vế của bất phương trình phân thức với (x - p) khi chưa biết (x - p) âm hay dương.(x - p) の正負（せいふ）が不明（ふめい）なまま、分数（ぶんすう）不（ふ）等式（とうしき）の両辺（りょうへん）に (x - p) を掛け算（かけざん）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Không được nhân chéo biến số nếu chưa biết dấu; cần lập bảng xét dấu hoặc nhân hai vế với (x - p)^2 luôn dương.符号（ふごう）が不明（ふめい）な変数（へんすう）をたすき掛（が）けしてはいけません。符号（ふごう）表（ひょう）を作成（さくせい）するか、常（つね）に正（せい）である (x - p)^2 を両辺（りょうへん）に掛（か）けます。

Tính sai tiệm cận ngang của y = (ax + b)/(cx + d) thành y = b/d thay vì y = a/c.y = (ax + b)/(cx + d) の水平（すいへい）漸近（ぜんきん）線（せん）を y = a/c ではなく y = b/d と誤（あやま）って計算（けいさん）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Tiệm cận ngang xác định bởi tỉ số hệ số của x ở tử và mẫu khi x tiến ra vô cực, tức y = a/c.水平（すいへい）漸近（ぜんきん）線（せん）はxが無限（むげん）大（だい）に向（む）かうときの分子（ぶんし）と分母（ぶんぼ）のxの係数（けいすう）の比（ひ）、すなわち y = a/c によって決（き）まります。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Đồ thị y = (ax + b)/(cx + d) luôn có tiệm cận đứng x = -d/c và tiệm cận ngang y = a/c.y = (ax + b)/(cx + d) のグラフは常（つね）に垂直（すいちょく）漸近（ぜんきん）線（せん） x = -d/c と水平（すいへい）漸近（ぜんきん）線（せん） y = a/c を持（も）ちます。
  • Đồ thị y = k/(x - p) + q nhận được bằng cách tịnh tiến đồ thị y = k/x theo vectơ (p, q).y = k/(x - p) + q のグラフは y = k/x のグラフをベクトル (p, q) だけ平行（へいこう）移動（いどう）して得（え）られます。
  • Khi giải bất phương trình phân thức, không nhân chéo hai vế với biểu thức chứa ẩn nếu chưa xác định được dấu của nó.分数（ぶんすう）不（ふ）等式（とうしき）を解（と）く際（さい）、符号（ふごう）が確定（かくてい）していない未知（みち）数（すう）を含（ふく）む式（しき）で両辺（りょうへん）をたすき掛（が）けしてはいけません。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

y = \frac{k}{x}

Đồ thị hyperbol vuông cơ bản có hai đường tiệm cận là các trục tọa độ x = 0 và y = 0. Tâm đối xứng của đồ thị là gốc tọa độ O(0,0).

座標（ざひょう）軸（じく） x = 0 および y = 0 を2つの漸近（ぜんきん）線（せん）として持（も）つ基本（きほん）的（てき）な直角（ちょっかく）双（そう）曲線（きょくせん）のグラフです。グラフの対称（たいしょう）の中心（ちゅうしん）は原点（げんてん） O(0,0) です。

y = \frac{k}{x - p} + q

Đồ thị nhận được bằng cách tịnh tiến đồ thị y = k/x theo trục x đoạn p và theo trục y đoạn q. Hai đường tiệm cận là x = p và y = q.

y = k/x のグラフをx軸（じく）方向（ほうこう）にp、y軸（じく）方向（ほうこう）にqだけ平行（へいこう）移動（いどう）して得（え）られるグラフです。2つの漸近（ぜんきん）線（せん）は x = p および y = q です。

y = \frac{ax + b}{cx + d}

Dạng tổng quát của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất với c khác 0 và ad - bc khác 0. Tiệm cận đứng là x = -d/c và tiệm cận ngang là y = a/c.

c ≠ 0 かつ ad - bc ≠ 0 の一（いち）次（じ）式（しき）/一（いち）次（じ）式（しき）の分数（ぶんすう）関数（かんすう）の一般（いっぱん）形（けい）です。垂直（すいちょく）漸近（ぜんきん）線（せん）は x = -d/c、水平（すいへい）漸近（ぜんきん）線（せん）は y = a/c となります。

x = p

Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm phân thức, tương ứng với giá trị x làm cho mẫu thức bằng 0.

分数（ぶんすう）関数（かんすう）のグラフの垂直（すいちょく）漸近（ぜんきん）線（せん）の方程（ほうてい）式（しき）であり、分母（ぶんぼ）を0にするxの値（あたい）に対応（たいおう）します。

EJU 2026 · MATH.17.1

Bài học này tập trung vào dạng đồ thị của hàm số phân thức và các phép biến đổi tịnh tiến. Bạn sẽ học cách xác định đường tiệm cận, vẽ đồ thị và giải bất phương trình phân thức dựa trên đồ thị.

本課（ほんか）では、分数（ぶんすう）関数（かんすう）のグラフの形状（けいじょう）と平行（へいこう）移動（いどう）の変換（へんかん）に焦点（しょうてん）を当（あ）てます。漸近（ぜんきん）線（せん）の特定（とくてい）、グラフの描画（びょうが）、およびグラフに基（もと）づく分数（ぶんすう）不（ふ）等式（とうしき）の解法（かいほう）を学（まな）びます。

分数（ぶんすう）関数（かんすう）とそのグラフ
分数関数双曲線漸近線直角双曲線