Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Hàm số và giới hạn関数（かんすう）と極限（きょくげん）

Công thức公式

y=\frac{k}{x-p}+q
y=\sqrt{ax}
(g \circ f)(x)=g(f(x))
\lim_{n \to \infty} r^n = \infty

Ví dụ例題

Cho hàm số phân thức y = (2x + 1) / (x - 1). Hãy tìm tập xác định, các đường tiệm cận và biểu thức hàm số ngược của nó.

分数（ぶんすう）関数（かんすう） y = (2x + 1) / (x - 1) について、定義（ていぎ）域（いき）、漸近（ぜんきん）線（せん）、およびその逆（ぎゃく）関数（かんすう）の式（しき）を求（もと）めなさい。

  1. Tập xác định là tập hợp các số thực x khác 1 do mẫu thức x - 1 phải khác 0. Tiệm cận đứng là x = 1.定義（ていぎ）域（いき）は分母（ぶんぼ）x - 1が0でないためx ≠ 1の実数（じっすう）全体（ぜんたい）です。垂直（すいちょく）漸近（ぜんきん）線（せん）はx = 1です。
  2. Biến đổi y = 2 + 3 / (x - 1). Khi x tiến ra vô cùng, 3 / (x - 1) tiến về 0 nên tiệm cận ngang là y = 2.y = 2 + 3 / (x - 1) と変形（へんけい）します。xが無限（むげん）大（だい）に向（む）かうとき3 / (x - 1)は0に近（ちか）づくため、水平（すいへい）漸近（ぜんきん）線（せん）はy = 2です。
  3. Từ y(x - 1) = 2x + 1, ta có yx - y = 2x + 1 nên x(y - 2) = y + 1, do đó x = (y + 1) / (y - 2). Đổi vai trò x và y ta được hàm ngược y = (x + 1) / (x - 2).y(x - 1) = 2x + 1よりyx - y = 2x + 1となり、x(y - 2) = y + 1からx = (y + 1) / (y - 2)を得（え）ます。xとyを入れ替（いれか）えて逆（ぎゃく）関数（かんすう）y = (x + 1) / (x - 2)を得（え）ます。
Tập xác định x ≠ 1, tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận ngang y = 2 và hàm số ngược là y = (x + 1) / (x - 2).定義（ていぎ）域（いき）x ≠ 1、垂直（すいちょく）漸近（ぜんきん）線（せん）x = 1、水平（すいへい）漸近（ぜんきん）線（せん）y = 2、逆（ぎゃく）関数（かんすう）はy = (x + 1) / (x - 2)となります。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho hàm số y = 3 / (x - 2) + 4. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số này.関数（かんすう） y = 3 / (x - 2) + 4 のグラフの漸近（ぜんきん）線（せん）を求（もと）めなさい。

2. Cho f(x) = 2x + 1 và g(x) = x - 3. Tính giá trị của (g o f)(2).f(x) = 2x + 1 および g(x) = x - 3 とします。(g o f)(2) の値（あたい）を求（もと）めなさい。

3. Tìm tập xác định của hàm vô tỉ \(y = \sqrt{2 x - 6}\).無理（むり）関数（かんすう） \(y = \sqrt{2 x - 6}\) の定義（ていぎ）域（いき）を求（もと）めなさい。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.17.1 · MATH.17.2 · MATH.18.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.17.1 · MATH.17.2 · MATH.18.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Xác định tập xác định và tiệm cận của hàm phân thức và hàm vô tỉ.分数（ぶんすう）関数（かんすう）および無理（むり）関数（かんすう）の定義（ていぎ）域（いき）と漸近（ぜんきん）線（せん）を特定（とくてい）する。
  2. Tìm hàm số ngược và tính hợp của các hàm số.逆（ぎゃく）関数（かんすう）を求（もと）め、合成（ごうせい）関数（かんすう）の計算（けいさん）を行（おこな）う。
  3. Khảo sát sự hội tụ và phát tán của giới hạn dãy số mũ.等比（とうひ）数列（すうれつ）の極限（きょくげん）の収束（しゅうそく）・発散（はっさん）を判定（はんてい）する。
Trực giác · イメージ

Trực giác về biến đổi hàm số và giới hạn関数（かんすう）の変形（へんけい）と極限（きょくげん）の直感（ちょっかん）

Việc thay đổi các hệ số làm đồ thị tịnh tiến hoặc co giãn trên mặt phẳng tọa độ. Khi biến số tiến ra vô cùng, giá trị của hàm số dần tiến tới đường tiệm cận hoặc tăng tới vô cực.

係数（けいすう）を変化（へんか）させると、座標（ざひょう）平面（へいめん）上（じょう）でグラフが平行（へいこう）移動（いどう）または拡大（かくだい）縮小（しゅくしょう）します。変数（へんすう）が無限（むげん）大（だい）に向（む）かうとき、関数（かんすう）の値（あたい）は漸近（ぜんきん）線（せん）に近（ちか）づくか無限（むげん）大（だい）に発散（はっさん）します。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 分数（ぶんすう）関数（かんすう）Hàm phân thức

    Hàm phân thức có dạng tỉ thức của hai đa thức. Tập xác định là tập các giá trị của biến làm cho mẫu thức khác 0.

    分数（ぶんすう）関数（かんすう）は2つの多項（たこう）式（しき）の比（ひ）の形（かたち）で表（あらわ）される関数（かんすう）です。定義（ていぎ）域（いき）は分母（ぶんぼ）が0にならない変数（へんすう）の値（あたい）の集合（しゅうごう）です。

  • 直角（ちょっかく）双（そう）曲線（きょくせん）Hypebol vuông

    Đồ thị hàm phân thức đơn giản tạo thành đường hypebol vuông với hai đường tiệm cận vuông góc với nhau. Hai đường tiệm cận này giao nhau tại tâm đối xứng của đồ thị.

    基本（きほん）的（てき）な分数（ぶんすう）関数（かんすう）のグラフは直交（ちょっこう）する2つの漸近（ぜんきん）線（せん）を持（も）つ直角（ちょっかく）双曲（そうきょく）線（せん）となります。これら2つの漸近（ぜんきん）線（せん）の交点（こうてん）がグラフの対称（たいしょう）の中心（ちゅうしん）です。

  • 漸近（ぜんきん）線（せん）Đường tiệm cận

    Đường tiệm cận là đường thẳng mà đồ thị tiến lại rất gần khi biến số tiến ra vô cùng hoặc tiệm cận điểm gián đoạn. Đồ thị không bao giờ cắt tiệm cận đứng tại điểm làm mẫu thức bằng 0.

    漸近（ぜんきん）線（せん）とは、変数（へんすう）が無限（むげん）大（だい）に近（ちか）づくか不（ふ）連続（れんぞく）点（てん）に近（ちか）づくときにグラフが限（かぎ）りなく近（ちか）づく直線（ちょくせん）です。グラフが分母（ぶんぼ）を0にする定義（ていぎ）域外（いきがい）の点（てん）で垂直（すいちょく）な漸近（ぜんきん）線（せん）と交（まじ）わることはありません。

  • 無理（むり）関数（かんすう）Hàm vô tỉ

    Hàm vô tỉ chứa biến số dưới dấu căn thức. Tập xác định yêu cầu biểu thức trong căn bậc hai phải lớn hơn hoặc bằng 0.

    無理（むり）関数（かんすう）は根号（こんごう）の中（なか）に変数（へんすう）を含（ふく）む関数（かんすう）です。定義（ていぎ）域（いき）は平方（へいほう）根（ね）の中（なか）の式（しき）が0以上（いじょう）であることを要求（ようきゅう）します。

  • 逆（ぎゃく）関数（かんすう）Hàm số ngược

    Hàm số ngược được tạo ra bằng cách hoán đổi vai trò của x và y trong hàm số ban đầu. Đồ thị của hàm số ngược đối xứng với đồ thị ban đầu qua đường thẳng y = x.

    逆（ぎゃく）関数（かんすう）は元（もと）の関数（かんすう）のxとyの役割（やくわり）を入れ替（いれか）えることで得（え）られます。逆（ぎゃく）関数（かんすう）のグラフは元（もと）の関数（かんすう）のグラフと直線（ちょくせん）y = xに関（かん）して線（せん）対称（たいしょう）です。

  • 定義（ていぎ）域（いき）Tập xác định

    Tập xác định là tập hợp tất cả các giá trị thực của biến x để hàm số có giá trị thực xác định. Việc tìm tập xác định là bước đầu tiên quan trọng khi khảo sát hàm số.

    定義（ていぎ）域（いき）は関数（かんすう）が実（じつ）数値（すうち）として定義（ていぎ）される変数（へんすう）xのすべての実（じつ）数値（すうち）の集合（しゅうごう）です。定義（ていぎ）域（いき）を求（もと）めることは関数（かんすう）を調査（ちょうさ）する際（さい）の最初（さいしょ）の重要（じゅうよう）なステップです。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：定義（ていぎ）域（いき）と漸近（ぜんきん）線（せん）を求（もと）める

    Bước 1: Tìm tập xác định và đường tiệm cận

    Cho mẫu thức bằng 0 để tìm tiệm cận đứng và giới hạn khi x tiến ra vô cùng để tìm tiệm cận ngang. Tập xác định loại trừ các giá trị làm mẫu thức bằng 0.

    分母（ぶんぼ）を0とおいて垂直（すいちょく）漸近（ぜんきん）線（せん）を求（もと）め、xが無限（むげん）大（だい）に向（む）かう極限（きょくげん）から水平（すいへい）漸近（ぜんきん）線（せん）を求（もと）めます。定義（ていぎ）域（いき）からは分母（ぶんぼ）を0にする値（あたい）を除外（じょがい）します。

  2. 02
    ステップ2：標準（ひょうじゅん）形（けい）に変形（へんけい）する

    Bước 2: Biến đổi về dạng chuẩn

    Biến đổi hàm phân thức về dạng y = k / (x - p) + q để xác định tâm đối xứng (p, q). Dạng này giúp nhận biết rõ phép tịnh tiến từ đồ thị chuẩn.

    分数（ぶんすう）関数（かんすう）をy = k / (x - p) + qの形（かたち）に変形（へんけい）して対称（たいしょう）の中心（ちゅうしん）(p, q)を特定（とくてい）します。この形（かたち）により標準（ひょうじゅん）グラフからの平行（へいこう）移動（いどう）が明確（めいかく）になります。

  3. 03
    ステップ3：逆（ぎゃく）関数（かんすう）と合成（ごうせい）関数（かんすう）を求（もと）める

    Bước 3: Xác định hàm ngược và hàm hợp

    Giải phương trình theo x rồi đổi vai trò của x và y để tìm hàm ngược. Với hàm hợp, thay biểu thức f(x) vào vị trí của x trong g(x).

    xについて方程（ほうてい）式（しき）を解（と）き、xとyを入れ替（いれか）えて逆（ぎゃく）関数（かんすう）を求（もと）めます。合成（ごうせい）関数（かんすう）ではg(x)のxの位置（いち）にf(x)の式（しき）を代入（だいにゅう）します。

  4. 04
    ステップ4：極限（きょくげん）を調査（ちょうさ）する

    Bước 4: Khảo sát giới hạn

    Xét cơ số r trong biểu thức giới hạn \(r^{n}\) khi n tiến ra vô cùng. Khi r > 1, dãy số phát tán đến dương vô cực.

    nが無限（むげん）大（だい）に向（む）かうときの\(r^{n}\)の極限（きょくげん）で公比（こうひ）rを検討（けんとう）します。r > 1のとき、数列（すうれつ）は正（せい）の無限（むげん）大（だい）に発散（はっさん）します。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn giữa tiệm cận đứng x = p và tiệm cận ngang y = q khi viết kết quả.結果（けっか）を記述（きじゅつ）する際（さい）に垂直（すいちょく）漸近（ぜんきん）線（せん）x = pと水平（すいへい）漸近（ぜんきん）線（せん）y = qを混同（こんどう）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Tiệm cận đứng luôn có dạng x = p (xác định bởi mẫu thức bằng 0), còn tiệm cận ngang luôn có dạng y = q (xác định bởi giới hạn tại vô cực).垂直（すいちょく）漸近（ぜんきん）線（せん）は常（つね）にx = p（分母（ぶんぼ）が0になる点（てん））、水平（すいへい）漸近（ぜんきん）線（せん）は常（つね）にy = q（無限（むげん）大（だい）での極限（きょくげん））の形（かたち）になります。

Quên kiểm tra tập xác định của hàm số gốc khi hoán đổi x và y để tìm hàm số ngược.逆（ぎゃく）関数（かんすう）を求（もと）めるためにxとyを入れ替（いれか）える際（さい）、元（もと）の関数（かんすう）の定義（ていぎ）域（いき）を確認（かくにん）し忘（わす）れること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Tập xác định của hàm ngược chính là tập giá trị của hàm gốc, cần ghi rõ điều kiện x khác 2 cho hàm ngược.逆（ぎゃく）関数（かんすう）の定義（ていぎ）域（いき）は元（もと）の関数（かんすう）の値域（ちいき）と一致（いっち）するため、逆（ぎゃく）関数（かんすう）の条件（じょうけん）x ≠ 2を明記（めいき）する必要（ひつよう）があります。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Hàm phân thức y = k / (x - p) + q có tiệm cận đứng x = p và tiệm cận ngang y = q.分数（ぶんすう）関数（かんすう） y = k / (x - p) + q は垂直（すいちょく）漸近（ぜんきん）線（せん） x = p と水平（すいへい）漸近（ぜんきん）線（せん） y = q を持（も）ちます。
  • Hàm số ngược hoán đổi vị trí của x và y, có đồ thị đối xứng qua đường thẳng y = x.逆（ぎゃく）関数（かんすう）はxとyの位置（いち）を入れ替（いれか）えたもので、グラフは直線（ちょくせん） y = x に関（かん）して線（せん）対称（たいしょう）です。
  • Giới hạn của dãy số \(r^{n}\) tiến tới dương vô cực khi r > 1.数列（すうれつ） \(r^{n}\) の極限（きょくげん）は r > 1 のとき正（せい）の無限（むげん）大（だい）に発散（はっさん）します。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

y=\frac{k}{x-p}+q

Dạng chuẩn của hàm phân thức thu được bằng cách tịnh tiến đồ thị y = k/x sang phải p đơn vị và lên trên q đơn vị. Hai đường tiệm cận là x = p và y = q.

y = k/xのグラフを右（みぎ）にp、上（うえ）にqだけ平行（へいこう）移動（いどう）した分数（ぶんすう）関数（かんすう）の標準（ひょうじゅん）形（けい）です。2つの漸近（ぜんきん）線（せん）はx = pとy = qです。

y=\sqrt{ax}

Dạng cơ bản của hàm vô tỉ với tập xác định phụ thuộc vào dấu của a. Khi a > 0, tập xác định là x >= 0 và hàm số đồng biến.

aの符号（ふごう）に定義（ていぎ）域（いき）が依存（いぞん）する無理（むり）関数（かんすう）の基本（きほん）形（けい）です。a > 0のとき、定義（ていぎ）域（いき）はx >= 0であり関数（かんすう）は単調（たんちょう）増加（ぞうか）します。

(g \circ f)(x)=g(f(x))

Công thức tính hàm hợp bằng cách áp dụng hàm f trước rồi áp dụng hàm g lên kết quả f(x). Tập xác định đòi hỏi f(x) phải nằm trong tập xác định của g.

関数（かんすう）fを適用（てきよう）した後（あと）にその結果（けっか）f(x)に関数（かんすう）gを適用（てきよう）する合成（ごうせい）関数（かんすう）の定義（ていぎ）式（しき）です。定義（ていぎ）域（いき）はf(x)がgの定義（ていぎ）域（いき）に含（ふく）まれることを要求（ようきゅう）します。

\lim_{n \to \infty} r^n = \infty

Giới hạn của dãy số mũ khi cơ số r lớn hơn 1 và n tiến ra vô cùng. Giá trị của \(r^{n}\) tăng nhanh vượt mọi số dương cho trước.

公比（こうひ）rが1より大（おお）きくnが無限（むげん）大（だい）に向（む）かうときの等比（とうひ）数列（すうれつ）の極限（きょくげん）です。\(r^{n}\)の値（あたい）は与（あた）えられた任意（にんい）の正（せい）の数（かず）を超（こ）えて急速（きゅうそく）に増大（ぞうだい）します。

EJU 2026 · MATH.17.1 · MATH.17.2 · MATH.18.1

Bài học này giúp bạn nắm vững các dạng hàm số nâng cao như hàm phân thức, hàm vô tỉ và hàm số ngược cùng với khái niệm giới hạn. Bạn sẽ hiểu rõ tập xác định và sự biến thiên của đồ thị hàm số khi thay đổi tham số.

本課（ほんか）では、分数（ぶんすう）関数（かんすう）、無理（むり）関数（かんすう）、逆（ぎゃく）関数（かんすう）などの発展（はってん）的（てき）な関数（かんすう）とその極限（きょくげん）の概念（がいねん）を習得（しゅうとく）します。定義（ていぎ）域（いき）とパラメータ変化（へんか）に伴（ともな）うグラフの挙動（きょどう）を明確（めいかく）に理解（りかい）できます。

関数（かんすう）と極限（きょくげん）
分数関数直角双曲線漸近線無理関数