Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Phương trình cực của các đường cong đa dạngいろいろな曲線（きょくせん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）

Công thức公式

r = a \theta
r = a \sin n\theta
r = a(1 + \cos \theta)
r = \frac{2p}{1 - \cos \theta}

Ví dụ例題

Cho đường cong cardioid có phương trình r = 2(1 + cos theta). Hãy tính bán kính r tại góc theta = 0 và theta = pi/2.

方程（ほうてい）式（しき）r = 2(1 + cos theta)で表（あらわ）されるカージオイドについて、theta = 0およびtheta = pi/2における距離（きょり）rの値（あたい）を求（もと）めなさい。

  1. Khi theta = 0, ta có cos(0) = 1. Thay vào phương trình cardioid: r = 2 * (1 + 1) = 4.theta = 0のとき、cos(0) = 1です。カージオイドの方程（ほうてい）式（しき）に代入（だいにゅう）すると、r = 2 * (1 + 1) = 4となります。
  2. Khi theta = pi/2, ta có cos(pi/2) = 0. Thay vào phương trình cardioid: r = 2 * (1 + 0) = 2.theta = pi/2のとき、cos(pi/2) = 0です。カージオイドの方程（ほうてい）式（しき）に代入（だいにゅう）すると、r = 2 * (1 + 0) = 2となります。
Tại góc theta = 0, bán kính r = 4; tại góc theta = pi/2, bán kính r = 2.角（かく）theta = 0のとき距離（きょり）r = 4であり、角（かく）theta = pi/2のとき距離（きょり）r = 2となります。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho đường xoắn ốc Archimedes có phương trình r = 3 theta. Giá trị của r khi theta = pi/3 là bao nhiêu?方程（ほうてい）式（しき）r = 3 thetaで表（あらわ）されるアルキメデスの渦巻（うずまき）線（せん）において、theta = pi/3のときのrの値（あたい）はいくらか。

2. Cho đường hoa r = 2 sin(2 theta). Giá trị của r tại góc theta = pi/4 bằng bao nhiêu?方程（ほうてい）式（しき）r = 2 sin(2 theta)で表（あらわ）される正葉（せいよう）線（せん）において、theta = pi/4のときのrの値（あたい）はいくらか。

3. Cho đường cong có phương trình r = 4 / (1 - cos theta). Tại góc theta = pi/2, giá trị của r là bao nhiêu?方程（ほうてい）式（しき）r = 4 / (1 - cos theta)で表（あらわ）される曲線（きょくせん）について、theta = pi/2のときのrの値（あたい）はいくらか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.16.3. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.16.3。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nhận biết và phân biệt phương trình cực của các đường cong đặc biệt như đường xoắn ốc Archimedes, đường hoa nhiều cánh và cardioid.アルキメデスの渦巻（うずまき）線（せん）、正葉（せいよう）線（せん）、カージオイドなどの特殊（とくしゅ）な曲線（きょくせん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）を識別（しきべつ）・区別（くべつ）する。
  2. Vận dụng các công thức r = a theta, r = a sin n theta, r = a(1 + cos theta) và r = 2p/(1 - cos theta) để tính bán kính r tại các góc theta cho trước.公式（こうしき）r = a theta、r = a sin n theta、r = a(1 + cos theta)、r = 2p/(1 - cos theta)を用（もち）いて特定（とくてい）の角（かく）thetaにおける距離（きょり）rを計算（けいさん）する。
Trực giác · イメージ

Trực giác về sự biến thiên bán kính r theo góc quay theta回転（かいてん）角（かく）thetaに応（おう）じた距離（きょり）rの変化（へんか）による図形（ずけい）の形成（けいせい）

Trong tọa độ cực, khi góc theta tăng lên, giá trị r biến đổi theo quy luật toán học đặc trưng tạo nên các hình dạng đồ thị độc đáo. Ví dụ r tỉ lệ thuận với theta tạo ra đường xoắn ốc mở rộng dần, còn các hàm lượng giác tạo ra tính đối xứng và chu kỳ như đường hoa hay hình tim.

極（ごく）座標（ざひょう）において、角度（かくど）thetaの増加（ぞうか）に伴（ともな）い距離（きょり）rが特定（とくてい）の規則（きそく）で変化（へんか）することで固有（こゆう）の曲線（きょくせん）が形成（けいせい）されます。例（たと）えばrがthetaに比例（ひれい）すると一定（いってい）に広（ひろ）がる渦巻（うずまき）線（せん）になり、三角（さんかく）関数（かんすう）を含（ふく）む場合（ばあい）は花弁（かべん）や心臓（しんぞう）形（けい）のような周期（しゅうき）性（せい）と対称（たいしょう）性（せい）が現（あらわ）れます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • アルキメデスの渦巻（うずまき）線（せん）đường xoắn ốc Archimedes

    Đường cong có bán kính r tỉ lệ thuận với góc quay theta theo phương trình r = a theta.

    方程（ほうてい）式（しき）r = a thetaに従（したが）い、距離（きょり）rが回転（かいてん）角（かく）thetaに直接（ちょくせつ）比例（ひれい）する曲線（きょくせん）。

  • 正葉（せいよう）線（せん）đường hoa nhiều cánh

    Đường cong có dạng các cánh hoa đối xứng, biểu diễn bởi phương trình lượng giác như r = a sin n theta.

    r = a sin n thetaのような三角（さんかく）関数（かんすう）で表（あらわ）される、対称（たいしょう）的（てき）な花弁（はなびら）の形（かたち）を持（も）つ曲線（きょくせん）。

  • 心臓（しんぞう）形（けい）đường hình tim

    Đường cong dạng hình trái tim có góc lõm tại gốc cực, còn được gọi là cardioid.

    極（きょく）に窪（くぼ）みを持（も）つ心臓（しんぞう）の形（かたち）をした曲線（きょくせん）。カージオイドとも呼（よ）ばれる。

  • カージオイドcardioid

    Đường cong hình tim biểu diễn bởi phương trình cực r = a(1 + cos theta).

    極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）r = a(1 + cos theta)で表（あらわ）される心臓（しんぞう）形（けい）の曲線（きょくせん）。

  • レムニスケートlemniscate

    Đường cong đặc biệt có hình dạng số 8 nằm ngang trong hệ tọa độ cực.

    極（ごく）座標（ざひょう）系（けい）において数字（すうじ）の8の形（かたち）をした特殊（とくしゅ）な曲線（きょくせん）。

  • 連珠（れんじゅ）形（けい）hình chuỗi hạt

    Tên gọi khác chỉ hình dạng đường cong dạng chuỗi nối tiếp nhau trong hệ tọa độ cực.

    極（ごく）座標（ざひょう）系（けい）において数珠（じゅず）が連（つら）なったような形状（けいじょう）を表（あらわ）す称呼（しょうこ）。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    アルキメデスの渦巻（うずまき）線（せん）の認識（にんしき）

    Nhận dạng đường xoắn ốc Archimedes

    Đường xoắn ốc Archimedes có dạng r = a theta, thể hiện khoảng cách r tăng tuyến tính theo góc theta. Khi theta tăng từ 0, điểm di chuyển ra xa gốc cực tạo thành đường xoắn.

    アルキメデスの渦巻（うずまき）線（せん）はr = a thetaの形（かたち）を取（と）り、距離（きょり）rが角度（かくど）thetaに比例（ひれい）して線形（せんけい）に増加（ぞうか）することを示（しめ）します。thetaの増加（ぞうか）に伴（ともな）い点（てん）は極（きょく）から離（はな）れていきます。

  2. 02
    正葉（せいよう）線（せん）の構造（こうぞう）の解析（かいせき）

    Phân tích đường hoa nhiều cánh

    Phương trình r = a sin n theta biểu diễn đường hoa nhiều cánh. Số lượng cánh hoa và tính đối xứng phụ thuộc trực tiếp vào hệ số n trong góc n theta.

    方程（ほうてい）式（しき）r = a sin n thetaは正葉（せいよう）線（せん）を表（あらわ）します。花弁（かべん）の数（かず）や対称（たいしょう）性（せい）は角（かく）n thetaの係数（けいすう）nに直接（ちょくせつ）依存（いぞん）します。

  3. 03
    カージオイド（心臓（しんぞう）形（けい））の特性（とくせい）の活用（かつよう）

    Khai thác dạng cardioid (đường hình tim)

    Đường cardioid có phương trình r = a(1 + cos theta), có dạng đối xứng qua trục cực và lõm tại gốc cực khi theta = pi.

    カージオイドはr = a(1 + cos theta)で表（あらわ）され、始線（しせん）に関（かん）して対称（たいしょう）でtheta = piのときに極（きょく）で窪（くぼ）む特徴（とくちょう）を持（も）ちます。

  4. 04
    放物（ほうぶつ）線（せん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）の検討（けんとう）

    Khảo sát phương trình đường parabol dạng cực

    Phương trình r = 2p / (1 - cos theta) biểu diễn đường parabol có tiêu điểm tại gốc cực. Khoảng cách r tiến tới vô cùng khi cos theta tiến tới 1 (theta -> 0).

    方程（ほうてい）式（しき）r = 2p / (1 - cos theta)は極（きょく）を焦点（しょうてん）とする放物（ほうぶつ）線（せん）を表（あらわ）します。cos thetaが1に近（ちか）づくとき（theta -> 0）、rは無限（むげん）大（だい）に向（む）かいます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn giữa phương trình đường xoắn ốc r = a theta và phương trình đường tròn r = a.渦巻（うずまき）線（せん）r = a thetaの方程（ほうてい）式（しき）と、円（えん）r = aの方程（ほうてい）式（しき）を混同（こんどう）すること。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Đường tròn r = a có bán kính không đổi độc lập với theta, trong khi đường xoắn ốc r = a theta có bán kính r tăng liên tục khi theta tăng.円（えん）r = aはthetaに依存（いぞん）せず距離（きょり）が一定（いってい）ですが、渦巻（うずまき）線（せん）r = a thetaはthetaの増加（ぞうか）に従（したが）って距離（きょり）rが連続（れんぞく）的（てき）に増加（ぞうか）します。

Bỏ qua điều kiện góc theta làm cho mẫu số bằng 0 trong phương trình dạng phân thức r = 2p / (1 - cos theta).分数（ぶんすう）形（けい）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）r = 2p / (1 - cos theta)において、分母（ぶんぼ）が0になる角度（かくど）の条件（じょうけん）を見落（みお）とすこと。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Lưu ý rằng khi cos theta = 1 (tức theta = 2k pi), mẫu số 1 - cos theta bằng 0 nên r không xác định, tương ứng với nhánh mở của parabol.cos theta = 1（すなわちtheta = 2k pi）のとき、分母（ぶんぼ）1 - cos thetaが0となりrが定義（ていぎ）されないことに注意（ちゅうい）し、これが放物（ほうぶつ）線（せん）の無限（むげん）遠（えん）への開（ひら）きに対応（たいおう）することを理解（りかい）します。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Đường xoắn ốc Archimedes r = a theta có bán kính tăng tuyến tính theo góc theta.アルキメデスの渦巻（うずまき）線（せん）r = a thetaは、距離（きょり）が角度（かくど）thetaに比例（ひれい）して線形（せんけい）に増加（ぞうか）します。
  • Đường hoa r = a sin n theta và đường cardioid r = a(1 + cos theta) là các đường cong chu kỳ có tính đối xứng cao trong hệ tọa độ cực.正葉（せいよう）線（せん）r = a sin n thetaやカージオイドr = a(1 + cos theta)は、極（ごく）座標（ざひょう）系（けい）において高（たか）い対称（たいしょう）性（せい）を持（も）つ周期（しゅうき）曲線（きょくせん）です。
  • Phương trình r = 2p / (1 - cos theta) biểu diễn đường parabol nhận gốc cực làm tiêu điểm.方程（ほうてい）式（しき）r = 2p / (1 - cos theta)は極（きょく）を焦点（しょうてん）とする放物（ほうぶつ）線（せん）を表現（ひょうげん）します。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

r = a \theta

Phương trình cực của đường xoắn ốc Archimedes với hằng số tỉ lệ a.

比例（ひれい）定数（ていすう）aを持（も）つアルキメデスの渦巻（うずまき）線（せん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）。

r = a \sin n\theta

Phương trình cực của đường hoa nhiều cánh với biên độ a và hệ số số cánh n.

振幅（しんぷく）aと花弁（はなびら）の係数（けいすう）nを持（も）つ正葉（せいよう）線（せん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）。

r = a(1 + \cos \theta)

Phương trình cực của đường cardioid (đường hình tim) có định kích thước a.

サイズパラメータaを持（も）つカージオイド（心臓（しんぞう）形（けい））の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）。

r = \frac{2p}{1 - \cos \theta}

Phương trình cực của parabol với tiêu điểm tại gốc cực và tham số p.

極（きょく）を焦点（しょうてん）とする放物（ほうぶつ）線（せん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）（パラメータp）。

EJU 2026 · MATH.16.3

Hệ tọa độ cực cho phép biểu diễn các đường cong đặc biệt như xoắn ốc Archimedes, đường hoa nhiều cánh hay cardioid một cách đơn giản. Việc hiểu rõ phương trình chuẩn giúp nhận dạng nhanh hình dáng đồ thị trong bài thi EJU.

極（ごく）座標（ざひょう）系（けい）を使（つか）うことで、アルキメデスの渦巻（うずまき）線（せん）や正葉（せいよう）線（せん）、カージオイドなどの多様（たよう）な曲線（きょくせん）を簡潔（かんけつ）に表現（ひょうげん）できます。標準（ひょうじゅん）的（てき）な極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）を理解（りかい）することは、EJUでのグラフ形状（けいじょう）の迅速（じんそく）な判定（はんてい）に役立（やくだ）ちます。

いろいろな曲線（きょくせん）の極（ごく）方程（ほうてい）式（しき）
アルキメデスの渦巻線正葉線心臓形カージオイド