Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Mặt phẳng số phức Phần 2複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん） 第（だい）2部（ぶ）

Công thức公式

|z|^2=z\overline{z}
z=r(\cos\theta+i\sin\theta)
z_1 z_2 = r_1 r_2 \{\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\}
|z_1 z_2|=|z_1||z_2|

Ví dụ例題

Cho hai số phức \(z 1 = 2 (\cos (\pi / 6) + i \sin (\pi / 6))\) và \(z 2 = 3 (\cos (\pi / 3) + i \sin (\pi / 3))\). Hãy tính tích z1 z2 dưới dạng lượng giác và dạng chính quy a + bi.

2つの複素（ふくそ）数（すう） z1 = 2(cos(π/6) + i sin(π/6)) および z2 = 3(cos(π/3) + i sin(π/3)) が与（あた）えられています。積（せき） z1 z2 を極（ごく）形式（けいしき）および a + bi の形（かたち）で求（もと）めなさい。

  1. Tính độ dài của tích: r = r1 * r2 = 2 * 3 = 6.積（せき）の絶対（ぜったい）値（ち）を計算（けいさん）します: r = r1 * r2 = 2 * 3 = 6。
  2. Tính argument của tích: \(\theta = \pi / 6 + \pi / 3 = \pi / 2\).積（せき）の偏角（へんかく）を計算（けいさん）します: θ = π/6 + π/3 = π/2。
  3. Viết dạng lượng giác: z1 \(z 2 = 6 (\cos (\pi / 2) + i \sin (\pi / 2))\). Vì \(\cos (\pi / 2) = 0\) và \(\sin (\pi / 2) = 1\), ta có z1 z2 = 6i.極（ごく）形式（けいしき）で表（あらわ）します: z1 z2 = 6(cos(π/2) + i sin(π/2))。cos(π/2) = 0 かつ sin(π/2) = 1 より、z1 z2 = 6i となります。
Tích z1 z2 dạng lượng giác là \(6 (\cos (\pi / 2) + i \sin (\pi / 2))\) và ở dạng a + bi là 6i.積（せき） z1 z2 の極（ごく）形式（けいしき）は 6(cos(π/2) + i sin(π/2)) であり、a + bi の形（かたち）では 6i です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho \(z 1 = \cos (\pi / 4) + i \sin (\pi / 4)\) và \(z 2 = 2 (\cos (\pi / 12) + i \sin (\pi / 12))\). Giá trị của z1 z2 dưới dạng a + bi là gì?z1 = cos(π/4) + i sin(π/4) および z2 = 2(cos(π/12) + i sin(π/12)) とします。z1 z2 の a + bi 表示（ひょうじ）はどれですか。

2. Cho \(z = \cos (\pi / 6) + i \sin (\pi / 6)\). Giá trị của \(z^{3}\) là gì?z = cos(π/6) + i sin(π/6) とします。\(z^{3}\) の値（あたい）はどれですか。

3. Cho z có độ dài |z| = 3. Giá trị của z * \(\overline{z}\) bằng bao nhiêu?z の絶対（ぜったい）値（ち）が |z| = 3 であるとき、z * \(\overline{z}\) の値（あたい）はいくらですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.14.2 · MATH.15.1 · MATH.15.2 · MATH.15.3. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.14.2 · MATH.15.1 · MATH.15.2 · MATH.15.3。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Biểu diễn số phức dưới dạng lượng giác và xác định argument.複素（ふくそ）数（すう）を極（ごく）形式（けいしき）で表（あらわ）し、偏角（へんかく）を求（もと）める。
  2. Tính tích của hai số phức thông qua độ dài và tổng các argument.絶対（ぜったい）値（ち）の積（せき）と偏角（へんかく）の和（わ）を用（もち）いて、2つの複素（ふくそ）数（すう）の積（せき）を計算（けいさん）する。
  3. Vận dụng định lý De Moivre để nâng lũy thừa số phức.ド・モアブルの定理（ていり）を用（もち）いて、複素（ふくそ）数（すう）の累乗（るいじょう）を計算（けいさん）する。
Trực giác · イメージ

Phép nhân số phức là sự kết hợp giữa co giãn độ dài và quay góc.複素（ふくそ）数（すう）の乗法（じょうほう）は、絶対（ぜったい）値（ち）の拡大（かくだい）・縮小（しゅくしょう）と偏角（へんかく）の回転（かいてん）の組み合（くみあ）わせである。

Khi nhân hai số phức, độ dài của số phức tích bằng tích hai độ dài, còn argument bằng tổng hai argument. Nhờ biểu diễn lượng giác, các phép tính lũy thừa phức tạp trở nên đơn giản hơn rất nhiều.

2つの複素（ふくそ）数（すう）を掛け合（かけあ）わせるとき、積（せき）の絶対（ぜったい）値（ち）は絶対（ぜったい）値（ち）の積（せき）になり、偏角（へんかく）は偏角（へんかく）の和（わ）になります。極（ごく）形式（けいしき）を利用（りよう）することで、複雑（ふくざつ）な累乗（るいじょう）計算（けいさん）も非常（ひじょう）に簡単（かんたん）に行（おこな）うことができます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 偏角（へんかく）Argument của số phức

    Argument là góc quay \(\theta\) từ trục thực dương đến tia biểu diễn số phức z trên mặt phẳng số phức. Góc này xác định hướng của số phức khi viết dưới dạng lượng giác.

    偏角（へんかく）とは、複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）で実（じつ）軸（じく）の正（せい）の部分（ぶぶん）から複素（ふくそ）数（すう）zを表（あらわ）す半（はん）直線（ちょくせん）までの回転（かいてん）角（かく）θのことです。極（ごく）形式（けいしき）において複素（ふくそ）数（すう）の方向（ほうこう）を決定（けってい）します。

  • ド・モアブルの定理（ていり）Định lý De Moivre

    Định lý De Moivre phát biểu rằng lũy thừa bậc n của số phức dạng lượng giác có góc quay tăng lên n lần. Định lý này giúp tính nhanh các lũy thừa của số phức.

    ド・モアブルの定理（ていり）は、極（ごく）形式（けいしき）の複素（ふくそ）数（すう）のn乗（のり）において偏角（へんかく）がn倍（ばい）になることを示（しめ）します。この定理（ていり）により、複素（ふくそ）数（すう）の高次（こうじ）累乗（るいじょう）を迅速（じんそく）に計算（けいさん）できます。

  • 複素（ふくそ）数（すう）のn乗（のり）根（ね）Căn bậc n của số phức

    Căn bậc n của số phức là các số phức mà khi nâng lên lũy thừa bậc n sẽ cho kết quả bằng số phức ban đầu. Các căn bậc n chia đều vòng tròn bán kính tương ứng trên mặt phẳng.

    複素（ふくそ）数（すう）のn乗（のり）根（ね）とは、n乗（のり）すると元（もと）の複素（ふくそ）数（すう）になるような複素（ふくそ）数（すう）のことです。これらの根（ね）は複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）上（じょう）で円周（えんしゅう）を等（とう）分割（ぶんかつ）します。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1: 複素（ふくそ）数（すう）を極（ごく）形式（けいしき）に変換（へんかん）する

    Bước 1: Chuyển số phức sang dạng lượng giác

    Tìm độ dài r bằng căn bậc hai của tổng bình phương phần thực và phần ảo, sau đó xác định góc argument \(\theta\). Dạng lượng giác thu được có dạng \(z = r (\cos \theta + i \sin \theta)\).

    実部（じつぶ）と虚部（きょぶ）の平方（へいほう）和（わ）の平方（へいほう）根（ね）から絶対（ぜったい）値（ち）rを求（もと）め、偏角（へんかく）θを特定（とくてい）します。これにより極（ごく）形式（けいしき）z = r(cos θ + i sin θ)を得（え）ます。

  2. 02
    ステップ2: 2つの複素（ふくそ）数（すう）の積（せき）を計算（けいさん）する

    Bước 2: Thực hiện phép nhân hai số phức

    Nhân hai độ dài với nhau để tìm độ dài tích |z1 z2| = |z1||z2|. Argument của tích bằng tổng hai argument \(\theta 1 + \theta 2\).

    絶対（ぜったい）値（ち）同士（どうし）を掛（か）けて積（せき）の絶対（ぜったい）値（ち）|z1 z2| = |z1||z2|を求（もと）めます。積（せき）の偏角（へんかく）は偏角（へんかく）の和（わ）θ1 + θ2となります。

  3. 03
    ステップ3: ド・モアブルの定理（ていり）を適用（てきよう）する

    Bước 3: Ứng dụng định lý De Moivre

    Khi tính \(z^{n}\), nâng độ dài r lên lũy thừa n và nhân góc argument \(\theta\) với n. Kết quả thu được là \(z^{n} = r^{n}\) \((\cos n \theta + i \sin n \theta)\).

    \(z^{n}\)を計算（けいさん）する際（さい）、絶対（ぜったい）値（ち）rをn乗（の）し、偏角（へんかく）θをn倍（ばい）します。結果（けっか）として\(z^{n} = r^{n}\) (\(\cos n\)θ + \(i \sin n\)θ)を得（え）ます。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn giữa việc nhân hai argument thay vì cộng hai argument khi tính tích hai số phức.複素（ふくそ）数（すう）の積（せき）を計算（けいさん）する際（さい）、偏角（へんかく）を足（た）すのではなく掛け合（かけあ）わせてしまう誤（あやま）り。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Theo công thức tích dạng lượng giác, argument của tích z1 z2 luôn là tổng \(\theta 1 + \theta 2\), không phải tích \(\theta 1\cdot \theta 2\).極（ごく）形式（けいしき）の積（せき）の公式（こうしき）によれば、積（せき） z1 z2 の偏角（へんかく）は常（つね）に和（わ） θ1 + θ2 であり、積（せき） θ1 * θ2 ではありません。

Quên rằng độ dài r trong dạng lượng giác \(z = r (\cos \theta + i \sin \theta)\) phải luôn là một số thực không âm (r >= 0).極（ごく）形式（けいしき） z = r(cos θ + i sin θ) において、絶対（ぜったい）値（ち） r は常（つね）に非（ひ）負（ふ）の実数（じっすう）（r >= 0）でなければならないことを忘（わす）れる誤（あやま）り。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Nếu hệ số phía trước là số âm, cần đưa dấu âm vào trong các hàm lượng giác bằng cách cộng thêm \(\pi\) vào argument \(\theta\).前（まえ）の係数（けいすう）が負（ふ）の数（かず）の場合（ばあい）、偏角（へんかく）θにπを加（くわ）えることで負（ふ）の符号（ふごう）を三角（さんかく）関数（かんすう）内（ない）に含（ふく）める必要（ひつよう）があります。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Dạng lượng giác \(z = r (\cos \theta + i \sin \theta)\) thể hiện rõ độ dài r và góc quay argument \(\theta\) của số phức.極（ごく）形式（けいしき） z = r(cos θ + i sin θ) は、複素（ふくそ）数（すう）の絶対（ぜったい）値（ち） r と偏角（へんかく） θ を明確（めいかく）に表（あらわ）します。
  • Khi nhân hai số phức, độ dài nhân với nhau và argument cộng với nhau: |z1 z2| = |z1||z2| và arg(z1 z2) = arg z1 + arg z2.複素（ふくそ）数（すう）の積（せき）では、絶対（ぜったい）値（ち）は積（せき）になり偏角（へんかく）は和（わ）になります: |z1 z2| = |z1||z2| および arg(z1 z2) = arg z1 + arg z2。
  • Định lý De Moivre giúp tính lũy thừa bậc n của số phức dễ dàng bằng cách nhân argument với n.ド・モアブルの定理（ていり）により、偏角（へんかく）を n 倍（ばい）することで複素（ふくそ）数（すう）の n 乗（のり）を簡単（かんたん）に計算（けいさん）できます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

|z|^2=z\overline{z}

Bình phương độ dài của một số phức bằng tích của số phức đó với số phức liên hợp của nó. Công thức này giúp biến đổi giữa độ dài và tích liên hợp.

複素（ふくそ）数（すう）の絶対（ぜったい）値（ち）の2乗（のり）は、その複素（ふくそ）数（すう）と共役（きょうやく）複素（ふくそ）数（すう）の積（せき）に等（ひと）しくなります。この公式（こうしき）は絶対（ぜったい）値（ち）と共役（きょうやく）の変換（へんかん）に役立（やくだ）ちます。

z=r(\cos\theta+i\sin\theta)

Biểu diễn lượng giác của số phức z với độ dài r và argument \(\theta\). Công thức này là nền tảng cho phép nhân và nâng lũy thừa số phức.

絶対（ぜったい）値（ち）rと偏角（へんかく）θを用（もち）いた複素（ふくそ）数（すう）zの極（ごく）形式（けいしき）表示（ひょうじ）です。この公式（こうしき）は複素（ふくそ）数（すう）の乗法（じょうほう）や累乗（るいじょう）計算（けいさん）の基礎（きそ）となります。

z_1 z_2 = r_1 r_2 \{\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\}

Tích hai số phức dạng lượng giác có độ dài bằng tích hai độ dài và argument bằng tổng hai argument. Đây là quy tắc nhân quan trọng trên mặt phẳng phức.

極（ごく）形式（けいしき）の2つの複素（ふくそ）数（すう）の積（せき）は、絶対（ぜったい）値（ち）が積（せき）になり偏角（へんかく）が和（わ）になります。これは複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）における重要（じゅうよう）な乗法（じょうほう）規則（きそく）です。

|z_1 z_2|=|z_1||z_2|

Độ dài của tích hai số phức bằng tích độ dài của từng số phức. Tính chất này áp dụng cho mọi số phức.

2つの複素（ふくそ）数（すう）の積（せき）の絶対（ぜったい）値（ち）は、それぞれの絶対（ぜったい）値（ち）の積（せき）に等（ひと）しくなります。この性質（せいしつ）はすべての複素（ふくそ）数（すう）に成り立（なりた）ちます。

EJU 2026 · MATH.14.2 · MATH.15.1 · MATH.15.2 · MATH.15.3

Bài học này giúp bạn nắm vững dạng lượng giác, argument và phép nhân số phức trên mặt phẳng số phức. Qua đó, bạn sẽ hiểu rõ cách tính tích số phức và áp dụng định lý De Moivre một cách chính xác.

本課（ほんか）では、複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）における極（ごく）形式（けいしき）、偏角（へんかく）、および複素（ふくそ）数（すう）の乗法（じょうほう）について学（まな）びます。これにより、複素（ふくそ）数（すう）の積（せき）の計算（けいさん）やド・モアブルの定理（ていり）の応用（おうよう）を正確（せいかく）に理解（りかい）できるようになります。

複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん） 第（だい）2部（ぶ）
偏角ド・モアブルの定理複素数のn乗根