Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Mặt phẳng số phức Phần 3複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん） 第（だい）3部（ぶ）

Công thức公式

\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}
\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=\arg z_1-\arg z_2
(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta
z_k=\sqrt[n]{r}\left\{\cos\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)\right\}

Ví dụ例題

Cho hai số phức \(z 1 = 4 (\cos (\pi / 3) + i \sin (\pi / 3))\) và \(z 2 = 2 (\cos (\pi / 6) + i \sin (\pi / 6))\). Hãy tính thương z1 / z2 dưới dạng lượng giác và tìm số phức z chia trong đoạn nối z1 và z2 theo tỷ lệ 1:1 (trung điểm).

2つの複素（ふくそ）数（すう） z1 = 4(cos(π/3) + i sin(π/3)) および z2 = 2(cos(π/6) + i sin(π/6)) が与（あた）えられています。商（しょう） z1 / z2 を極（ごく）形式（けいしき）で求（もと）め、z1 と z2 を結（むす）ぶ線分（せんぶん）を 1:1 に内分（ないぶん）する点（てん）（中点（なかてん））z を求（もと）めなさい。

  1. Tính thương z1 / z2: Độ dài bằng 4 / 2 = 2. Argument bằng \(\pi / 3 - \pi / 6 = \pi / 6\). Vậy \(z 1 / z 2 = 2 (\cos (\pi / 6) + i \sin (\pi / 6))\).商（しょう） z1 / z2 を計算（けいさん）します: 絶対（ぜったい）値（ち）は 4 / 2 = 2。偏角（へんかく）は π/3 - π/6 = π/6。したがって z1 / z2 = 2(cos(π/6) + i sin(π/6))。
  2. Đổi z1 và z2 sang dạng a + bi: \(z 1 = 4 (1 / 2 + i \sqrt{3} / 2) = 2 + 2 \sqrt{3}\) i. z2 = 2(\(\sqrt{3} / 2 + i\) 1/2) = \(\sqrt{3} + i\).z1 と z2 を a + bi の形（かたち）に変換（へんかん）します: \(z 1 = 4 (1 / 2 + i \sqrt{3} / 2) = 2 + 2 \sqrt{3} i\)。z2 = 2(\(\sqrt{3} / 2 + i\) 1/2) = \(\sqrt{3} + i\)。
  3. Điểm chia trong tỷ lệ 1:1 là trung điểm \(z = (z 1 + z 2) / 2 = ((2 + \sqrt{3}) + (2 \sqrt{3} + 1) i) / 2\).1:1 の内分（ないぶん）点（てん）（中点（なかてん））z は \(z = (z 1 + z 2) / 2 = ((2 + \sqrt{3}) + (2 \sqrt{3} + 1) i) / 2\) となります。
Thương \(z 1 / z 2 = 2 (\cos (\pi / 6) + i \sin (\pi / 6))\) và trung điểm \(z = ((2 + \sqrt{3}) + (2 \sqrt{3} + 1) i) / 2\).商（しょう） z1 / z2 = 2(cos(π/6) + i sin(π/6)) であり、中点（なかてん） \(z = ((2 + \sqrt{3}) + (2 \sqrt{3} + 1) i) / 2\) です。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho \(z 1 = 6 (\cos (\pi / 2) + i \sin (\pi / 2))\) và \(z 2 = 2 (\cos (\pi / 6) + i \sin (\pi / 6))\). Thương z1 / z2 dạng lượng giác là gì?z1 = 6(cos(π/2) + i sin(π/2)) および z2 = 2(cos(π/6) + i sin(π/6)) とします。商（しょう） z1 / z2 の極（ごく）形式（けいしき）はどれですか。

2. Số phức z = 1 + i có hai căn bậc hai. Căn bậc hai ứng với k = 0 có argument bằng bao nhiêu?複素（ふくそ）数（すう） z = 1 + i には2つの平方（へいほう）根（ね）があります。k = 0 に対応（たいおう）する平方（へいほう）根（ね）の偏角（へんかく）はいくらですか。

3. Cho điểm A biểu diễn z1 = 1 + 2i và điểm B biểu diễn z2 = 4 + 5i. Số phức z biểu diễn điểm chia trong đoạn AB theo tỷ lệ 2:1 là bao nhiêu?点（てん）Aが z1 = 1 + 2i、点（てん）Bが z2 = 4 + 5i を表（あらわ）すとき、線分（せんぶん）ABを 2:1 に内分（ないぶん）する点（てん）を表（あらわ）す複素（ふくそ）数（すう） z はいくらですか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.14.2 · MATH.15.1 · MATH.15.2 · MATH.15.3. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.14.2 · MATH.15.1 · MATH.15.2 · MATH.15.3。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Tính thương hai số phức dựa trên tỉ số độ dài và hiệu hai argument.絶対（ぜったい）値（ち）の比（ひ）と偏角（へんかく）の差（さ）を用（もち）いて、複素（ふくそ）数（すう）の商（しょう）を計算（けいさん）する。
  2. Tìm các căn bậc n của số phức bằng định lý De Moivre.ド・モアブルの定理（ていり）を用（もち）いて、複素（ふくそ）数（すう）のn乗（のり）根（ね）を求（もと）める。
  3. Xác định tọa độ số phức của điểm chia trong và điểm chia ngoài đoạn thẳng.線分（せんぶん）の内分（ないぶん）点（てん）および外分（がいぶん）点（てん）を表（あらわ）す複素（ふくそ）数（すう）を特定（とくてい）する。
Trực giác · イメージ

Phép chia số phức là phép thu phóng độ dài và quay ngược góc.複素（ふくそ）数（すう）の除法（じょほう）は、絶対（ぜったい）値（ち）の縮小（しゅくしょう）・拡大（かくだい）と逆（ぎゃく）方向（ほうこう）への回転（かいてん）である。

Khi chia z1 cho z2, độ dài thu được bằng |z1| chia cho |z2|, còn argument bằng argument của z1 trừ đi argument của z2. Việc chia đoạn thẳng trên mặt phẳng phức cũng hoàn toàn tương tự công thức tọa độ điểm chia trong hình học vector.

z1 を z2 で割（わ）るとき、商（しょう）の絶対（ぜったい）値（ち）は |z1| を |z2| で割（わ）った値（あたい）になり、偏角（へんかく）は z1 の偏角（へんかく）から z2 の偏角（へんかく）を引（ひ）いた値（あたい）になります。複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）での線分（せんぶん）の分点（ぶんてん）公式（こうしき）も、ベクトル幾何（きか）学（がく）の分点（ぶんてん）公式（こうしき）と全（まった）く同（おな）じ形式（けいしき）になります。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 内分（ないぶん）点（てん）Điểm chia trong

    Điểm chia trong đoạn thẳng nối hai điểm z1 và z2 theo tỷ lệ m:n là điểm biểu diễn số phức z = (n z1 + m z2) / (m + n). Điểm này nằm giữa hai điểm ban đầu.

    2点（てん） z1, z2 を結（むす）ぶ線分（せんぶん）を m:n に内分（ないぶん）する点（てん）は、複素（ふくそ）数（すう） z = (n z1 + m z2) / (m + n) で表（あらわ）されます。この点（てん）は元（もと）の2点（てん）のあいに位置（いち）します。

  • 外分（がいぶん）点（てん）Điểm chia ngoài

    Điểm chia ngoài đoạn thẳng nối hai điểm z1 và z2 theo tỷ lệ m:n là điểm biểu diễn số phức z = (-n z1 + m z2) / (m - n). Điểm này nằm ngoài đoạn thẳng ban đầu.

    2点（てん） z1, z2 を結（むす）ぶ線分（せんぶん）を m:n に外分（がいぶん）する点（てん）は、複素（ふくそ）数（すう） z = (-n z1 + m z2) / (m - n) で表（あらわ）されます。この点（てん）は線分（せんぶん）の延長（えんちょう）上（じょう）に位置（いち）します。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1: 複素（ふくそ）数（すう）の商（しょう）を計算（けいさん）する

    Bước 1: Tính thương hai số phức

    Độ dài của thương z1/z2 bằng |z1|/|z2|, và argument của thương bằng arg z1 - arg z2. Dạng lượng giác của thương là \((r 1 / r 2) (\cos (\theta 1 - \theta 2) + i \sin (\theta 1 - \theta 2))\).

    商（しょう） z1/z2 の絶対（ぜったい）値（ち）は |z1|/|z2| であり、商（しょう）の偏角（へんかく）は arg z1 - arg z2 となります。商（しょう）の極（ごく）形式（けいしき）は (r1/r2)(cos(θ1 - θ2) + i sin(θ1 - θ2)) です。

  2. 02
    ステップ2: 複素（ふくそ）数（すう）のn乗（のり）根（ね）を求（もと）める

    Bước 2: Tìm các căn bậc n của số phức

    Với số phức \(r (\cos \phi + i \sin \phi)\), căn bậc n có độ dài \(r^{1 / n}\) và các góc argument \((\phi + 2 k \pi) / n\) với k = 0, 1, ..., n-1. Đúng n căn bậc n tạo thành các đỉnh của một đa giác đều.

    極（ごく）形式（けいしき） r(cos φ + i sin φ) に対（たい）し、n乗（のり）根（ね）の絶対（ぜったい）値（ち）は \(r^{1 / n}\) で偏角（へんかく）は (φ + 2kπ)/n (k = 0, 1, ..., n-1) となります。n個（こ）の根（ね）は正（せい）多角（たかく）形（けい）の頂点（ちょうてん）をなします。

  3. 03
    ステップ3: 内分（ないぶん）点（てん）と外（そと）分点（ぶんてん）を求（もと）める

    Bước 3: Xác định điểm chia trong và chia ngoài

    Áp dụng công thức z = (n z1 + m z2)/(m + n) cho điểm chia trong và z = (-n z1 + m z2)/(m - n) cho điểm chia ngoài. Công thức này hoàn toàn tương tự như trong hình học tọa độ.

    内分（ないぶん）点（てん）には z = (n z1 + m z2)/(m + n)、外分（がいぶん）点（てん）には z = (-n z1 + m z2)/(m - n) を適用（てきよう）します。これは座標（ざひょう）幾何（きか）学（がく）の公式（こうしき）と同様（どうよう）です。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Nhầm lẫn thứ tự trừ argument khi tính thương z1 / z2, lấy arg z2 - arg z1 thay vì arg z1 - arg z2.商（しょう） z1 / z2 を計算（けいさん）する際（さい）、偏角（へんかく）の引き算（ひきざん）の順序（じゅんじょ）を誤（あやま）り arg z1 - arg z2 ではなく arg z2 - arg z1 としてしまう誤（あやま）り。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Argument của thương z1 / z2 luôn lấy argument của tử số trừ đi argument của mẫu số, tức là arg z1 - arg z2.商（しょう） z1 / z2 の偏角（へんかく）は、常（つね）に「分子（ぶんし）の偏角（へんかく）」マイナス「分母（ぶんぼ）の偏角（へんかく）」、すなわち arg z1 - arg z2 となります。

Nhầm lẫn tỷ lệ m:n trong công thức điểm chia trong, ghi z = (m z1 + n z2) / (m + n) thay vì z = (n z1 + m z2) / (m + n).内分（ないぶん）点（てん）公式（こうしき）において比（ひ） m:n の係数（けいすう）を誤（あやま）り、z = (n z1 + m z2) / (m + n) ではなく z = (m z1 + n z2) / (m + n) と書（か）いてしまう誤（あやま）り。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Tỷ lệ m:n có nghĩa hệ số n nhân với z1 và hệ số m nhân với z2 (chéo nhau) ở tử số: z = (n z1 + m z2) / (m + n).比（ひ） m:n では、分子（ぶんし）において係数（けいすう） n を z1 に、係数（けいすう） m を z2 にクロスして掛（か）けます: z = (n z1 + m z2) / (m + n)。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Thương hai số phức có độ dài bằng thương hai độ dài và argument bằng hiệu hai argument: |z1/z2| = |z1|/|z2| và arg(z1/z2) = arg z1 - arg z2.複素（ふくそ）数（すう）の商（しょう）の絶対（ぜったい）値（ち）は絶対（ぜったい）値（ち）の商（しょう）、偏角（へんかく）は偏角（へんかく）の差（さ）になります: |z1/z2| = |z1|/|z2| および arg(z1/z2) = arg z1 - arg z2。
  • Căn bậc n của số phức \(r (\cos \phi + i \sin \phi)\) có n giá trị phân bố đều quanh gốc tọa độ với góc argument \((\phi + 2 k \pi) / n\).複素（ふくそ）数（すう） r(cos φ + i sin φ) の n乗（のり）根（ね）には n 個（こ）の値（あたい）があり、偏角（へんかく） (φ + 2kπ)/n で原点（げんてん）のまわりに等（とう）間隔（かんかく）に分布（ぶんぷ）します。
  • Điểm chia trong và chia ngoài đoạn thẳng nối z1, z2 được tính theo công thức vector tương ứng z = (n z1 + m z2)/(m + n) và z = (-n z1 + m z2)/(m - n).z1, z2 を結（むす）ぶ線分（せんぶん）の内分（ないぶん）点（てん）・外分（がいぶん）点（てん）は、対応（たいおう）するベクトル公式（こうしき） z = (n z1 + m z2)/(m + n) および z = (-n z1 + m z2)/(m - n) で計算（けいさん）できます。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}

Độ dài của thương hai số phức bằng thương các độ dài của chúng. Điều kiện là số phức ở mẫu z2 khác 0.

2つの複素（ふくそ）数（すう）の商（しょう）の絶対（ぜったい）値（ち）は、それぞれの絶対（ぜったい）値（ち）の商（しょう）に等（ひと）しくなります。ただし分母（ぶんぼ） z2 ≠ 0 です。

\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=\arg z_1-\arg z_2

Argument của thương hai số phức bằng hiệu giữa argument của tử số và argument của mẫu số. Công thức này áp dụng khi z1, z2 khác 0.

複素（ふくそ）数（すう）の商（しょう）の偏角（へんかく）は、分子（ぶんし）の偏角（へんかく）から分母（ぶんぼ）の偏角（へんかく）を引（ひ）いたものに等（ひと）しくなります。z1, z2 ≠ 0 のときに成り立（なりた）ちます。

(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta

Công thức De Moivre cho số phức có độ dài bằng 1 khi nâng lên lũy thừa n. Công thức này giúp tính lũy thừa và tìm căn bậc n nhanh chóng.

絶対（ぜったい）値（ち）が1の複素（ふくそ）数（すう）のn乗（のり）に関（かん）するド・モアブルの公式（こうしき）です。累乗（るいじょう）計算（けいさん）やn乗（のり）根（ね）の導出（どうしゅつ）に利用（りよう）されます。

z_k=\sqrt[n]{r}\left\{\cos\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)\right\}

Công thức tổng quát cho n căn bậc n của số phức \(z = r (\cos \phi + i \sin \phi)\) với k = 0, 1, ..., n-1. Các căn này phân bố đều trên đường tròn.

複素（ふくそ）数（すう） z = r(cos φ + i sin φ) の n個（こ）のn乗（のり）根（ね）を表（あらわ）す一般（いっぱん）公式（こうしき）です（k = 0, 1, ..., n-1）。根（ね）は円周（えんしゅう）上（じょう）に等（とう）間隔（かんかく）に分布（ぶんぷ）します。

EJU 2026 · MATH.14.2 · MATH.15.1 · MATH.15.2 · MATH.15.3

Bài học này tập trung vào phép chia số phức, căn bậc n và biểu diễn điểm chia trong, điểm chia ngoài đoạn thẳng. Nhờ đó, bạn sẽ làm chủ các phép biến đổi hình học và thương của số phức trên mặt phẳng phức.

本課（ほんか）では、複素（ふくそ）数（すう）の商（しょう）、n乗（のり）根（ね）、および線分（せんぶん）の内分（ないぶん）点（てん）・外分（がいぶん）点（てん）の表示（ひょうじ）について学（まな）びます。これにより、複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん）における幾何（きか）学（がく）的（てき）変換（へんかん）と商（しょう）の扱（あつか）いをマスターできます。

複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん） 第（だい）3部（ぶ）
内分点外分点