Bỏ qua điều hướng本文へ移動
Trí Lữ · EJU数学III · Toán III

Mặt phẳng số phức Phần 2複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん） 第（だい）2部（ぶ）

Công thức公式

\overline{z} = -z
\overline{\overline{z}} = z
\overline{\alpha + \beta} = \overline{\alpha} + \overline{\beta}
\overline{\alpha - \beta} = \overline{\alpha} - \overline{\beta}

Ví dụ例題

Cho hai số phức alpha = 2 + 3i và beta = 1 - i. Hãy tính overline{alpha + beta} và kiểm tra xem z = 2i có thỏa mãn overline{z} = -z không.

2つの複素（ふくそ）数（すう） alpha = 2 + 3i, beta = 1 - i について、overline{alpha + beta} を計算（けいさん）し、z = 2i が overline{z} = -z を満（み）たすか確認（かくにん）しなさい。

  1. Ta có alpha + beta = (2 + 1) + (3 - 1)i = 3 + 2i. Do đó overline{alpha + beta} = 3 - 2i.alpha + beta = (2 + 1) + (3 - 1)i = 3 + 2i です。したがって overline{alpha + beta} = 3 - 2i となります。
  2. Với z = 2i, ta có overline{z} = -2i. Mặt khác -z = -(2i) = -2i. Vì overline{z} = -z nên z = 2i thỏa mãn đẳng thức.z = 2i のとき、overline{z} = -2i です。一方（いっぽう）、-z = -(2i) = -2i です。overline{z} = -z が成り立（なりた）つため、z = 2i は等式（とうしき）を満（み）たします。
Vậy overline{alpha + beta} = 3 - 2i và z = 2i thỏa mãn overline{z} = -z.したがって、overline{alpha + beta} = 3 - 2i であり、z = 2i は overline{z} = -z を満（み）たします。

3 câu kiểm tra確認（かくにん）問題（もんだい） 3問（もん）

Đã trả lời 0 / 3

1. Cho số phức alpha = 3 - 4i. Giá trị của overline{overline{alpha}} bằng bao nhiêu?複素（ふくそ）数（すう） alpha = 3 - 4i に対（たい）し、overline{overline{alpha}} の値（あたい）はいくらか。

2. Cho alpha = 2 + 5i và beta = 1 + 2i. Hãy tính overline{alpha - beta}.alpha = 2 + 5i, beta = 1 + 2i のとき、overline{alpha - beta} を求（もと）めよ。

3. Số phức z nào sau đây thỏa mãn điều kiện overline{z} = -z?次（つぎ）の複素（ふくそ）数（すう）のうち、条件（じょうけん） overline{z} = -z を満（み）たすものはどれか。

Nội dung Trí Lữ viết mới theo JASSO 2026 · nguồn sách riêng tư không được tái xuất bảnJASSO 2026に沿（そ）ったTrí Lữの新規（しんき）教材（きょうざい） · 非（ひ）公開（こうかい）書籍（しょせき）資料（しりょう）は転載（てんさい）していません

設定 · Cài đặt

Ngôn ngữ và nguồn言語（げんご）と出典（しゅってん）

Chọn ngôn ngữ giảng. Câu hỏi, lời giải và tiến độ giữ nguyên khi chuyển.学習（がくしゅう）言語（げんご）を選（えら）べます。切り替（きりか）えても解答（かいとう）と進捗（しんちょく）は保持（ほじ）されます。

Furigana tiếng Nhậtふりがな表示（ひょうじ）

JASSO 2026: MATH.15.1. Bài Trí Lữ được viết mới sau khi đối chiếu 1 phân đoạn nguồn riêng tư. Scan, văn bản, câu hỏi và đáp án sách không được xuất bản.JASSO 2026：MATH.15.1。非（ひ）公開（こうかい）資料（しりょう）1区分（くぶん）を照合（しょうごう）してTrí Lữが新規（しんき）執筆（しっぴつ）しました。書籍（しょせき）の画像（がぞう）・本文（ほんぶん）・問題（もんだい）・解答（かいとう）は公開（こうかい）していません。

Thuật ngữ và giải thích thêm用語・補足
Mục tiêu · 目標

Sau bài nàyこの課（か）の目標（もくひょう）

  1. Nắm vững khái niệm mặt phẳng Gauss, số phức liên hợp và số ảo thuần.ガウス平面（へいめん）、共役（きょうやく）な複素（ふくそ）数（すう）、および純（じゅん）虚数（きょすう）の概念（がいねん）を理解（りかい）する。
  2. Sử dụng thành thạo các tính chất liên hợp của tổng, hiệu và liên hợp của liên hợp.和（わ）や差（さ）の共役（きょうやく）、および共役（きょうやく）の共役（きょうやく）に関（かん）する性質（せいしつ）を使（つか）いこなす。
  3. Nhận biết điều kiện để một số phức là số ảo thuần thông qua đẳng thức liên hợp.共役（きょうやく）の関係（かんけい）式（しき）を用（もち）いて、複素（ふくそ）数（すう）が純（じゅん）虚数（きょすう）となる条件（じょうけん）を判定（はんてい）できる。
Trực giác · イメージ

Trực giác về phép lấy liên hợp trên mặt phẳng Gaussガウス平面（へいめん）における共役（きょうやく）計算（けいさん）の直感（ちょっかん）

Trên mặt phẳng Gauss, lấy số phức liên hợp tương ứng với phép đối xứng qua trục thực. Nhờ các tính chất đại số của liên hợp, việc xét tính chất thực hay ảo thuần của số phức trở nên rõ ràng và ngắn gọn.

ガウス平面（へいめん）上（じょう）において、共役（きょうやく）複素（ふくそ）数（すう）をとる操作（そうさ）は実（じつ）軸（じく）に関（かん）する対称（たいしょう）移動（いどう）に対応（たいおう）します。共役（きょうやく）の代数（だいすう）的（てき）性質（せいしつ）を用（もち）いることで、複素（ふくそ）数（すう）が実数（じっすう）か純（じゅん）虚数（きょすう）かの判定（はんてい）を簡潔（かんけつ）に行（おこな）えます。

Khái niệm · 用語

Nhật · Việt · bản chất用語（ようご）と本質（ほんしつ）

  • 共役（きょうやく）な複素（ふくそ）数（すう）số phức liên hợp

    Số phức liên hợp của z = a + bi (với a, b là số thực) là số phức overline{z} = a - bi.

    z = a + bi（a, bは実数（じっすう））に対（たい）して、その共役（きょうやく）な複素（ふくそ）数（すう）は overline{z} = a - bi で表（あらわ）されます。

  • 純（じゅん）虚数（きょすう）số ảo thuần

    Số ảo thuần là số phức có phần thực bằng 0 và phần ảo khác 0, thỏa mãn điều kiện overline{z} = -z (với z khác 0).

    純（じゅん）虚数（きょすう）は実部（じつぶ）が0で虚部（きょぶ）が0でない複素（ふくそ）数（すう）であり、z ≠ 0 のとき overline{z} = -z を満（み）たします。

  • ガウス平面（へいめん）mặt phẳng Gauss

    Mặt phẳng Gauss là mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z = a + bi bằng điểm có tọa độ (a, b).

    ガウス平面（へいめん）とは、複素（ふくそ）数（すう） z = a + bi を座標（ざひょう） (a, b) の点（てん）として表（あらわ）す座標（ざひょう）平面（へいめん）のことです。

Cơ chế · 仕組み

Đi từng bước順番（じゅんばん）に理解（りかい）する

  1. 01
    ステップ1：ガウス平面（へいめん）での複素（ふくそ）数（すう）の表示（ひょうじ）

    Bước 1: Biểu diễn số phức trên mặt phẳng Gauss

    Mỗi số phức z = a + bi được biểu diễn bằng một điểm duy nhất trên mặt phẳng Gauss. Trục nằm ngang là trục thực và trục thẳng đứng là trục ảo.

    各（かく）複素（ふくそ）数（すう） z = a + bi はガウス平面（へいめん）上（じょう）の1点（てん）に対応（たいおう）します。横軸（よこじく）が実（じつ）軸（じく）、縦軸（たてじく）が虚（きょ）軸（じく）となります。

  2. 02
    ステップ2：2重（じゅう）の共役（きょうやく）演算（えんざん）と代数（だいすう）的（てき）性質（せいしつ）

    Bước 2: Phép lấy liên hợp hai lần và tính chất đại số

    Lấy liên hợp của liên hợp cho lại chính số phức ban đầu: overline{overline{z}} = z. Ngoài ra, liên hợp của tổng hoặc hiệu bằng tổng hoặc hiệu các liên hợp.

    共役（きょうやく）の共役（きょうやく）は元（もと）の複素（ふくそ）数（すう）に戻（もど）ります：overline{overline{z}} = z。また、和（わ）や差（さ）の共役（きょうやく）はそれぞれの共役（きょうやく）の和（わ）や差（さ）に等（ひと）しくなります。

  3. 03
    ステップ3：overline{z} = -z による純（じゅん）虚数（きょすう）の判定（はんてい）

    Bước 3: Nhận diện số ảo thuần qua điều kiện overline{z} = -z

    Một số phức khác 0 là số ảo thuần khi và chỉ khi liên hợp của nó bằng số đối của nó, tức là overline{z} = -z. Đây là công cụ hữu ích để chứng minh một số phức là số ảo thuần.

    0でない複素（ふくそ）数（すう）が純（じゅん）虚数（きょすう）であるための必要（ひつよう）十（じゅう）分（ふん）条件（じょうけん）は、その共役（きょうやく）が元（もと）の数（かず）の符号（ふごう）反転（はんてん）に等（ひと）しいこと、すなわち overline{z} = -z です。これは複素（ふくそ）数（すう）が純（じゅん）虚数（きょすう）であることを証明（しょうめい）する強力（きょうりょく）な道具（どうぐ）です。

Bẫy · 注意

Sửa sai trước khi thiよくある誤解（ごかい）

Cho rằng overline{alpha - beta} = overline{alpha} + overline{beta} do nhầm lẫn dấu trừ thành dấu cộng khi đổi liên hợp.共役（きょうやく）をとる際（さい）に符号（ふごう）を勘違（かんちが）いして、overline{alpha - beta} = overline{alpha} + overline{beta} としてしまう誤（あやま）り。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Phép lấy liên hợp giữ nguyên phép trừ: overline{alpha - beta} = overline{alpha} - overline{beta}.差（さ）の共役（きょうやく）演算（えんざん）では引き算（ひきざん）の記号（きごう）が保持（ほじ）され、overline{alpha - beta} = overline{alpha} - overline{beta} となります。

Khẳng định z = 0 không thỏa mãn overline{z} = -z vì nghĩ overline{z} = -z chỉ dành cho số ảo thuần khác 0.overline{z} = -z は0以外（いがい）の純（じゅん）虚数（きょすう）のみに成り立（なりた）つと思い込（おもいこ）み、z = 0 がこの式（しき）を満（み）たさないと判定（はんてい）する誤（あやま）り。

Sửa cách hiểu正（ただ）しい理解（りかい）Số z = 0 thỏa mãn overline{0} = -0 = 0, tuy nhiên khái niệm số ảo thuần thường xét với z khác 0.z = 0 も overline{0} = -0 = 0 を満（み）たしますが、純（じゅん）虚数（きょすう）の定義（ていぎ）としては通常（つうじょう） z ≠ 0 を対象（たいしょう）とします。

Ghi nhớ · まとめ

Ba điều mang theo三（みっ）つの要点（ようてん）

  • Mặt phẳng Gauss biểu diễn số phức z = a + bi dưới dạng điểm (a, b) với trục thực và trục ảo.ガウス平面（へいめん）は複素（ふくそ）数（すう） z = a + bi を実（じつ）軸（じく）と虚（きょ）軸（じく）上（じょう）の点（てん） (a, b) として表（あらわ）します。
  • Phép lấy liên hợp thỏa mãn overline{overline{z}} = z, overline{alpha + beta} = overline{alpha} + overline{beta} và overline{alpha - beta} = overline{alpha} - overline{beta}.共役（きょうやく）演算（えんざん）は overline{overline{z}} = z、overline{alpha + beta} = overline{alpha} + overline{beta}、overline{alpha - beta} = overline{alpha} - overline{beta} を満（み）たします。
  • Một số phức z khác 0 là số ảo thuần khi và chỉ khi liên hợp của nó thỏa mãn overline{z} = -z.0でない複素（ふくそ）数（すう） z が純（じゅん）虚数（きょすう）であるための必要（ひつよう）十（じゅう）分（ふん）条件（じょうけん）は、その共役（きょうやく）が overline{z} = -z を満（み）たすことです。
Công thức · 式

Đọc đúng ký hiệu式（しき）を正（ただ）しく読（よ）む

\overline{z} = -z

Đẳng thức đặc trưng cho số ảo thuần (và số 0), biểu thị liên hợp của z bằng số đối của z.

純（じゅん）虚数（きょすう）（および0）の特性（とくせい）を表（あらわ）し、z の共役（きょうやく）が z の符号（ふごう）反転（はんてん）に等（ひと）しいことを示（しめ）す等式（とうしき）です。

\overline{\overline{z}} = z

Tính chất lấy liên hợp hai lần của một số phức trả lại số phức ban đầu.

複素（ふくそ）数（すう）の共役（きょうやく）を2回（かい）取（と）ると、元（もと）の複素（ふくそ）数（すう）に戻（もど）るという性質（せいしつ）です。

\overline{\alpha + \beta} = \overline{\alpha} + \overline{\beta}

Tính chất liên hợp của một tổng hai số phức bằng tổng các liên hợp của chúng.

2つの複素（ふくそ）数（すう）の和（わ）の共役（きょうやく）は、それぞれの共役（きょうやく）の和（わ）に等（ひと）しいという性質（せいしつ）です。

\overline{\alpha - \beta} = \overline{\alpha} - \overline{\beta}

Tính chất liên hợp của một hiệu hai số phức bằng hiệu các liên hợp của chúng.

2つの複素（ふくそ）数（すう）の差（さ）の共役（きょうやく）は、それぞれの共役（きょうやく）の差（さ）に等（ひと）しいという性質（せいしつ）です。

EJU 2026 · MATH.15.1

Bài học này hướng dẫn các tính chất cơ bản của số phức liên hợp và số ảo thuần trên mặt phẳng Gauss. Bạn sẽ nắm chắc các phép biến đổi liên hợp đối với tổng, hiệu và số đối.

本課（ほんか）では、ガウス平面（へいめん）における共役（きょうやく）複素（ふくそ）数（すう）と純（じゅん）虚数（きょすう）の基本（きほん）性質（せいしつ）を解説（かいせつ）します。和（わ）、差（さ）、および符号（ふごう）反転（はんてん）に対（たい）する共役（きょうやく）演算（えんざん）の法則（ほうそく）をしっかり理解（りかい）します。

複素（ふくそ）数（すう）平面（へいめん） 第（だい）2部（ぶ）
共役な複素数純虚数ガウス平面